Формула для расстояния между центрами окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Видео:Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

Ответ

Проверено экспертом

Уравнение окружности с центром (a;b) и радиусом R

центр окружности (-2;6) радиус 6

центр окружности (4;-5)радиус 5

по формуле расстояние между двумя точками :

находим расстояние между центрами заданных окружностей

Видео:Планиметрия 12 | mathus.ru | расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

Основные теоремы, связанные с окружностями

Радикальная ось — прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей.
Линия центров окружностей — прямая, проходящая через центры двух окружностей.

Теорема 1.

1) Радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей.
2) Отрезки касательных, проведенных из любой точки радикальной оси к этим окружностям, равны.

Доказательство:

1) Рассмотрим (triangle BMN) и (triangle AMN) : они равны по трем сторонам ( (BM=AM=R_1, BN=AN=R_2) — радиусы первой и второй окружностей соответственно). Таким образом, (angle BNM=angle ANM) , следовательно, (MN) — биссектриса в равнобедренном (triangle ANB) , следовательно, (MNperp AB) .

2) Отметим произвольную точку (O) на радикальной оси и проведем касательные (OK_1, OK_3) к первой окружности и (OK_2, OK_4) ко второй окружности. Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то (OK_1^2=OK_2^2=OK_3^2=OK_4^2=OBcdot OA) .

Теорема 2.

Пусть две окружности с центрами (M) и (N) касаются внешним образом в точке (A) . Две общие касательные (внутренняя и внешняя) (a) и (b) этих окружностей пересекаются в точке (B) . Точки касания — точки (A, K_1, K_2) (как показано на рисунке). Тогда [(1) <large>] [(2) <large>]

Доказательство:

1) Т.к. (BA) и (BK_1) — две касательные, проведенные к первой окружности из одной точки, то отрезки касательных равны: (BA=BK_1) . Аналогично, (BA=BK_2) . Таким образом, (BA=BK_1=BK_2) .

2) Значит, (BA) — медиана в (triangle K_1AK_2) , равная половине стороны, к которой она проведена. Значит, (angle A=90^circ) .

Теорема 3.

Пусть две окружности касаются внешним образом в точке (A) . Через точку (A) проведены две прямые (B_1B_2) и (C_1C_2) , пересекающие каждую окружность в двух точках, как показано на рисунке. Тогда: [(1) <large>] [(2) <large>]

Доказательство:

1) Проведем через точку (A) общую касательную этих окружностей (OQ) . (angle OAC_2=angle QAC_1=alpha) как вертикальные. Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle OAC_2=frac12buildrelsmileover) , (angle QAC_1=frac12buildrelsmileover) . Следовательно, (buildrelsmileover=buildrelsmileover=2alpha) . Таким образом, (angle AB_1C_1=angle AB_2C_2=alpha) . Значит, по двум углам (triangle AB_1C_1sim triangle AB_2C_2) .

2) Т.к. (angle AB_1C_1=angle AB_2C_2) , то прямые (B_1C_1parallel B_2C_2) по накрест лежащим углам при секущей (B_1B_2) .

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: [ACcdot BD=ABcdot CD+BCcdot AD]

Доказательство

Пусть для определенности (angle ABD . Проведем отрезок (BO) так, чтобы (O) лежала на (AC) и (angle ABD=angle CBO) :

Т.к. (angle ACB=angle ADB) (опираются на одну и ту же дугу), то по двум углам (triangle OBCsim triangle ABD) . Значит: [dfrac=dfrac Rightarrow ADcdot BC=OCcdot BDphantom (1)]

Т.к. (angle BAC=angle BDC) (опираются на одну и ту же дугу), (angle ABO=angle CBD) (состоят из равных по построению (оранжевых) углов и общего угла (angle DBO) ), то по двум углам (triangle ABOsim triangle BDC) . Значит: [dfrac=dfrac Rightarrow ABcdot CD=AOcdot BD phantom (2)]

Сложим равенства ((1)) и ((2)) : (ADcdot BC+ABcdot CD=OCcdot BD+AOcdot BD=ACcdot BD) , чтд.

Формула Эйлера:

Пусть (R) — радиус описанной около треугольника (ABC) окружности, (r) — радиус вписанной окружности. Тогда расстояние (d) между центрами этих окружностей вычисляется по формуле: [<large>]

Доказательство:

а) Предположим, что (dne 0) . Пусть (O, Q) — центры описанной и вписанной окружности соответственно. Проведем диаметр описанной окружности (PS) через точку (Q) . Проведем также биссектрисы углов (angle A, angle B) — (AA_1, BB_1) соответственно (заметим, что они пересекутся в точке (Q) , т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис). Хорды (PS) и (BB_1) пересекаются, следовательно, отрезки этих хорд равны: (PQcdot QS=BQcdot QB_1) .

Т.к. (OP=OS=R, OQ=d) , то последнее равенство можно переписать в виде ((R-d)(R+d)=BQcdot QB_1 (*)) .

Заметим, что т.к. (AA_1, BB_1) — биссектрисы, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover=x, buildrelsmileover=buildrelsmileover=y) . Т.к. угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними, то:
(angle AQB_1=frac12(x+y)) .

С другой стороны, (angle B_1AA_1=frac12big(buildrelsmileover+buildrelsmileoverbig)=frac12(x+y))

Таким образом, (angle AQB_1=angle B_1AA_1) . Следовательно, (triangle QB_1A) — равнобедренный и (B_1Q=B_1A) . Значит, равенство ((*)) можно переписать как:
(R^2-d^2=BQcdot AB_1 (**)) .

Проведем еще один диаметр описанной окружности (B_1B_2) . Тогда (triangle B_1AB_2) — прямоугольный ( (angle A) опирается на диаметр). Пусть также вписанная окружность касается стороны (AB) в точке (K) . Тогда (triangle BKQ) — прямоугольный.
Заметим также, что (angle KBQ=angle AB_2B_1) (т.к. они опираются на одну и ту же дугу).
Значит, (triangle B_1AB_2sim triangle BKQ) по двум углам, следовательно:

(dfrac=dfrac Rightarrow dfrac=dfrac Rightarrow BQcdot AB_1=2Rr) .

Подставим это в ((**)) и получим:

(R^2-d^2=2Rr Rightarrow d^2=R^2-2Rr) .

б) Если (d=0) , т.е. центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то (AK=BK=sqrt Rightarrow AB=2sqrt) . Аналогично (AC=BC=AB=sqrt) , т.е. треугольник равносторонний. Следовательно, (angle A=60^circ Rightarrow angle KAO=30^circ Rightarrow r=frac12R Rightarrow R=2r) или (0=R^2-2Rr) (т.е. в этом случае формула также верна).

Теорема о бабочке:

Пусть через середину хорды (AB) — точку (O) , проведены две хорды (MN) и (KP) . Пусть (MPcap AB=X, KNcap AB=Y) . Тогда [<large>]

Доказательство:

Проведем перпендикуляры (XX_1, YY_2perp MN, XX_2, YY_1perp KP) .
Следующие углы равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу: (angle PMO=angle NKO, angle MPO=angle KNO) .
Следующие углы равны, т.к. вертикальные: (angle XOX_1=angle YOY_2, angle XOX_2=angle YOY_1) .

Следующие прямоугольные треугольники подобны:

1) (triangle XX_1Osim triangle YY_2O Rightarrow dfrac=dfrac)

2) (triangle XX_2Osim triangle YY_1O Rightarrow dfrac=dfrac)

3) (triangle MXX_1sim triangle KYY_1 Rightarrow dfrac=dfrac)

4) (triangle PXX_2sim triangle NYY_2 Rightarrow dfrac=dfrac)

Из 1) и 2) следует, что

Из 3) и 4) следует, что

Совместив последние два равенства, получим:

Заметим, что для пересекающихся хорд (AB) и (MP) : (AXcdot XB=MXcdot PX) . Аналогично (AYcdot YB=KYcdot NY) . Значит:

Обозначим (OX=x, OY=y, OA=OB=t Rightarrow)

📽️ Видео

#234. Формула Эйлера | Свойства отрезков хорд и секущихСкачать

Как найти расстояние между центрами | Олимпиадная математикаСкачать

М1152. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностейСкачать

7 9 2011 М1152 формула Эйлера расстояния между центрами вписанной и описанной окружностейСкачать

Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать

12.7 - Формула Эйлера расстояния между центрами...Скачать

Планиметрия 5 | mathus.ru | расстояние между центрами окружностей в параллелограммеСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Длина отрезкаСкачать

Сможешь найти расстояние между центрами пересекающихся окружностей?Скачать

расстояние между центрамиСкачать

ЕГЭ и ОГЭ. Окружности и касательные, секущие, подобие. Свойства. Расстояние между центрами.Скачать

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

Уравнение окружности (1)Скачать