Две окружности могут пересекаться в 3 точках

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R₁ .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R₁, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO₁.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R₁, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R₁, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:ОГЭ Задание 25 Две окружностиСкачать

Учебный лист по геометрии «Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Геометрия Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этихСкачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

по теме «Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей»

— условия взаимного расположения прямой и окружности;

— определение секущей и касательной к окружности;

— свойства касательной к окружности;

— теорему о о перпендикулярности диаметра и хорды и обратную к ней;

— условия взаимного расположение двух окружностей;

— определение концентрических окружностей.

— проводить касательную к окружности;

— использовать свойства касательной при решении задач;

— решать задачи на применение теоремы о перпендикулярности диаметра и хорды;

— решать задачи на условия взаимного расположения прямой и окружности и двух окружностей.

В результате изучения темы нужно:

1. Геометрия. 7 класс. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдиев. Алматы «Мектеп». 2012

2. Геометрия. 7 класс. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы « Атамұра ». 2012

3. Геометрия. 7 класс. Методическое руководство. К.О.Букубаева. Алматы « Атамұра ». 2012

4. Геометрия. 7 класс. Дидактический материал. А.Н.Шыныбеков. Алматы « Атамұра ». 2012

5. Геометрия. 7 класс. Сборник задач и упражнений. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы « Атамұра ». 2012

Приобретать знания – храбрость,

Приумножать их – мудрость,

А умело применять их – великое искусство.

Помни, что работать нужно по алгоритму.

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.

Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.

1) Рассмотри в заимное расположение прямой и окружности и заполни таблицу (3б):

Случай 1: Прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки (не пересекаются)

a d — расстояние от точки (центра окружности) до прямой

r – радиус окружности

d > r ,

Случай 2 : Прямая и окружность имеют только одну общую точку ( касаются )

d — расстояние от точки (центра окружности) до прямой

r – радиус окружности

d = r ,

Случай 3: Прямая имеет с окружностью две общие точки (пересекаются)

d — расстояние от точки (центра окружности) до прямой

r – радиус окружности

d r ,

Условия взаимодействия (расстояние до прямой и радиус (d и r ))

Количество общих точек

2) Прочти определения, теоремы, следствия и выучи их (5б):

Определение: Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Определение : Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку и перпендикулярная радиусу, называется касательной к окружности.

Теорема 1:

Диаметр окружности, разделяющий хорду пополам, перпендикулярен к этой хорде.

Теорема 2 (обратная теореме 1):

Если диаметр окружности перпендикулярен к хорде, то он разделит хорду на две равные части.

Следствие 1 : Если расстояние от центра окружности до секущей прямой меньше длины радиуса окружности, тогда прямая пересекает окружность в двух точках.

Следствие 2: Хорды окружности, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, равны.

Теорема 3: Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Следствие 3 : Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной.

Следствие 4 : Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не пересекается с окружностью.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

3) Ответь на вопросы (3б):

1) Как могут располагаться прямая и окружность на плоскости?

2) Может ли прямая иметь с окружностью три общие точки?

3) Как нужно провести касательную к окружности через точку, лежащую на окружности?

4) Сколько касательных можно провести к окружности через точку:

а) лежащую на окружности;

б) лежащую внутри окружности;

в) лежащую вне окружности?

5) Дана окружность ω (O; r) и точка А, лежащая внутри окружности. Сколько точек пересечения будет иметь: а) прямая ОА; б) луч ОА; в) отрезок ОА?

6) Как разделить хорду окружности пополам?

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 1

1) Прочти текст и рассмотри рисунки. Сделай рисунки в тетради, запиши выводы и выучи их (3б):

Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения двух окружностей. Взаимное расположение двух окружностей связано с расстоянием между их центрами.

Пересекающиеся окружности: две окружности пересекаются, если они имеют две общие точки. Пусть R ₁ и R ₂ – радиусы окружностей ω ₁ и ω ₂ , d – расстояние между их центрами. Окружности ω ₁ и ω ₂ пересекаются тогда и только тогда, когда числа R ₁ , R ₂ , d являются длинами сторон некоторого треугольника, т. е. удовлетворяют всем неравенствам треугольника:

Касающиеся окружности: две окружности касаются, если они имеют одну общую точку. Имеют общую касательную а . Пусть R ₁ и R ₂ – радиусы окружностей ω ₁ и ω ₂ , d – расстояние между их центрами.

Окружности касаются внешним образом , если они расположены

вне друг друга. При внешнем касании центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной. Окружности ω ₁ и ω ₂ касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R ₁ + R ₂ = d .

Окружности касаются внутренним образом , если одна из них расположена внутри другой. При внешнем касании центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Окружности ω ₁ и ω ₂ касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда | R ₁ − R ₂ |= d .

Непересекающиеся окружности: две окружности не пересекаются , если они не имеют общих точек . В этом случае одна из них лежит внутри другой, либо они лежат вне друг друга.

Пусть R ₁ и R ₂ – радиусы окружностей ω ₁ и ω ₂ , d – расстояние между их центрами.

2) Запиши определение и выучи его (1б):

Определение: Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими (d = 0).

3) Ответь на вопросы (3 б):

1) Как могут располагаться две окружность на плоскости?

2) От чего зависит расположение окружностей?

3) Верно ли утверждение, что две окружности могут пересекаться в трех точках?

4) Как располагаются окружности, если:

а) расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов;

б) расстояние между центрами окружностей меньше суммы их радиусов;

в) расстояние между центрами больше суммы двух радиусов;

г) расстояние между центрами окружностей равно нулю.

5) К какому из перечисленных трех случаев взаимного расположения двух окружностей, относятся концентрические окружности?

6) Как называется прямая, проходящая через точку касания окружностей?

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 2

Молодец! Можно приступить к проверочной работе №1.

1) Реши на выбор четные или нечетные задачи (2б.):

1. Ука­зать ко­ли­че­ство общих точек пря­мой и окруж­но­сти, если:

а) рас­сто­я­ние от пря­мой до цен­тра окруж­но­сти – 6 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти – 7 см;

б) рас­сто­я­ние от пря­мой до цен­тра окруж­но­сти – 7 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти – 6 см;

в) рас­сто­я­ние от пря­мой до цен­тра окруж­но­сти – 8 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти – 8 см.

2. Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:

1. R=16cм, d=12см; 2. R=8 см, d=1,2 дм; 3. R=5 см, d=50мм

3. Каково взаимное расположения окружностей если:

d = 1дм, R ₁ = 0,8дм, R ₂ = 0,2дм

d = 4 0см, R ₁ = 110см, R ₂ = 70см

d = 12см, R ₁ = 5см, R ₂ = 3см

d = 15дм, R ₁ = 10дм, R ₂ = 22см

4. Укажите количество точек взаимодействия двух окружностей по радиусам и по расстоянию между центрами:

а) R = 4 см, r = 3 см, ОО ₁ = 9 см; б) R = 10 см, r = 5 см, ОО ₁ = 4 см

в) R = 4 см, r = 3 см, ОО ₁ = 6 см; г) R = 9 см, r = 7 см, ОО ₁ = 4 см.

2) Реши одну задачу на выбор (2б.):

1. Найти длины двух от­рез­ков хорды, на ко­то­рые раз­де­ля­ет ее диа­метр окруж­но­сти, если длина хорды – 16 см, а диа­метр ей пер­пен­ди­ку­ля­рен.

2. Найти длину хорды, если диа­метр ей пер­пен­ди­ку­ля­рен, а один из от­рез­ков, от­се­ка­е­мых диа­мет­ром от нее, равен 2 см.

3) Выполни на выбор четные или нечетны задачи на построение (2б):

1. Постройте две окружности радиусами 2 см и 4 см, расстояние между центрами которых равно нулю.

2. Начертите две окружности разных радиусов (3 см и 2 см), чтобы они касались. Отметьте отрезком расстояние между их центрами. Рассмотрите возможные варианты.

3. Постройте окружность с радиусом равным 3 см и прямую расположенную на расстоянии 4 см от центра окружности.

4. Постройте окружность с радиусом равным 4 см и прямую расположенную на расстоянии 2 см от центра окружности.

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 4

Молодец! Можно приступить к проверочной работе №2.

1) Найди ошибку в утверждении и исправь ее, обосновав свое мнение. Выбери любых два утверждения (4б.):
А) Две окружности касаются внешним образом. Радиусы их равны R = 8 см и r = 2 см, расстояние между центрами d = 6.
Б) Две окружности имеют, по крайней мере, три общие точки.
В) R = 4, r = 3, d = 5. Окружности не имеют общих точек.
Г) R = 8, r = 6, d = 4. Меньшая окружность расположена внутри большей.
Д) Две окружности не могут располагаться так, что одна находится внутри другой.

2) Реши на выбор четные или нечетные задачи (66.):

1. Две окружности касаются друг друга. Радиус большей окружности равен 19 см, а радиус малой окружности меньше на 4 см. Найдите расстояние между центрами окружностей.

2. Две окружности касаются друг друга. Радиус большей окружности равен 26 см, а радиус малой окружности в 2 раза меньше. Найдите расстояние между центрами окружностей.

3. Возьмите две точки D и F так, чтобы DF = 6 см . Начертите две окружности (D, 2см) и (F, 3 см). Как расположены между собой эти две окружности? Сделайте вывод.

4. Расстояние между точками А и В равно 7 см. Начертите окружности с центрами в точках А и В , радиусами, равными 3 см и 4 см . Как расположены окружности? Сделайте вывод.

5. Между двумя концентрическими окружностями с радиусами 4 см и 8 см расположена третья окружность так, что она касается первые две окружности. Чему равен радиус этой окружности?

6. Окружности, радиусы которых равны 6 см и 2 см, пересекаются. Причем большая окружность проходит через центр меньшей окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

№ 14*. 1) Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.

1) Докажем, что АВ ⊥ ОО₁.

ОА = ОВ (как радиусы),

Таким образом, ΔОАО₁ = ΔОВО₁ по 3-му признаку равенства треугольников, откуда ∠AOK = ∠KOB, ∠AO₁K = ∠BO₁K.

ОА = ОВ, следовательно, ΔАОВ — равнобедренный, ∠AOK = ∠KOB, таким образом, OK — биссектриса, которая является и высотой, т.к. ΔАОВ — равнобедренный, то есть OK ⊥ АВ.

Таким образом, АВ ⊥ ОО₁.

2) Докажем, что окружности не могут пересекаться более чем в двух различных точках.

Допустим, что две окружности с центрами О и О₁ пересекаются хотя бы в трех различных точках А, В, С, тогда из п. 1 АС ⊥ ОО₁, АВ ⊥ ОО₁, но это невозможно, так как через данную точку А можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную ОО₁.

Таким образом, мы пришли к противоречию.

Решебник по геометрии за 7 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №14
к главе «§ 5. Геометрические построения».

💡 Видео

ЕГЭ задание 16Скачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

№3. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались.Скачать

Геометрия Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второйСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

Две окружности на плоскости. Математика. 6 класс.Скачать

ТОП-3 конструкции с окружностями для №16 из ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Встреча с Путиным в общежитии МГУ на Воробьевых горах!Скачать

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать