Две хорды одной окружности образуют угол

Углы, связанные с окружностью
Две хорды одной окружности образуют уголВписанные и центральные углы
Две хорды одной окружности образуют уголУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Две хорды одной окружности образуют уголДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Две хорды одной окружности образуют угол

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Две хорды одной окружности образуют угол

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголДве хорды одной окружности образуют угол
Вписанный уголДве хорды одной окружности образуют уголВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголДве хорды одной окружности образуют уголВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголДве хорды одной окружности образуют уголДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголДве хорды одной окружности образуют уголВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаДве хорды одной окружности образуют угол

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Две хорды одной окружности образуют угол

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Две хорды одной окружности образуют угол

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Две хорды одной окружности образуют угол

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Две хорды одной окружности образуют угол

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Две хорды одной окружности образуют угол

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Две хорды одной окружности образуют угол

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиДве хорды одной окружности образуют уголДве хорды одной окружности образуют угол
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаДве хорды одной окружности образуют уголДве хорды одной окружности образуют угол
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияДве хорды одной окружности образуют уголДве хорды одной окружности образуют угол
Угол, образованный касательной и секущейДве хорды одной окружности образуют уголДве хорды одной окружности образуют угол
Угол, образованный двумя касательными к окружностиДве хорды одной окружности образуют уголДве хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Две хорды одной окружности образуют угол
Формула: Две хорды одной окружности образуют угол
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Две хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Две хорды одной окружности образуют угол
Формула: Две хорды одной окружности образуют угол
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Две хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Две хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Две хорды одной окружности образуют угол

В этом случае справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Две хорды одной окружности образуют угол

В этом случае справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Две хорды одной окружности образуют угол

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Две хорды одной окружности образуют

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Углы, связанные с окружностью

Две хорды одной окружности образуют уголВписанные и центральные углы
Две хорды одной окружности образуют уголУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Две хорды одной окружности образуют уголДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32Скачать

№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Две хорды одной окружности образуют угол

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Две хорды одной окружности образуют угол

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Теоремы о вписанных и центральных углах

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголДве хорды одной окружности образуют угол

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный уголДве хорды одной окружности образуют уголВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголДве хорды одной окружности образуют уголВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголДве хорды одной окружности образуют уголДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголДве хорды одной окружности образуют уголВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаДве хорды одной окружности образуют угол

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Две хорды одной окружности образуют угол

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Две хорды одной окружности образуют угол

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Две хорды одной окружности образуют угол

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Две хорды одной окружности образуют угол

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Две хорды одной окружности образуют угол

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Две хорды одной окружности образуют угол

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиДве хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Две хорды одной окружности образуют уголУгол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаДве хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Две хорды одной окружности образуют уголУгол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияДве хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Две хорды одной окружности образуют уголУгол, образованный касательной и секущейДве хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Две хорды одной окружности образуют уголУгол, образованный двумя касательными к окружностиДве хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Две хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Две хорды одной окружности образуют угол

В этом случае справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Две хорды одной окружности образуют угол

В этом случае справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Две хорды одной окружности образуют угол

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Две хорды одной окружности образуют угол

Две хорды одной окружности образуют угол

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Центральные и вписанные углы

Две хорды одной окружности образуют угол

О чем эта статья:

Видео:Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Две хорды одной окружности образуют угол

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Две хорды одной окружности образуют угол

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Две хорды одной окружности образуют угол

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Две хорды одной окружности образуют угол

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Две хорды одной окружности образуют угол

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Две хорды одной окружности образуют угол

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Две хорды одной окружности образуют угол

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Две хорды одной окружности образуют угол

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Две хорды одной окружности образуют угол

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Две хорды одной окружности образуют угол

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Две хорды одной окружности образуют угол

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Две хорды одной окружности образуют угол

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Две хорды одной окружности образуют угол

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Две хорды одной окружности образуют угол

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Углы, связанные с окружностью.

Центральный угол — угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.

Вписанный угол в два раза меньше центрального , опирающегося на ту же дугу.

Две хорды одной окружности образуют угол

Все вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Две хорды одной окружности образуют угол

Все вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

Две хорды одной окружности образуют угол

Все вписанные углы , опирающиеся на диаметр, прямые.

Две хорды одной окружности образуют угол

Любые два вписанных угла , опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Две хорды одной окружности образуют угол

Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Две хорды одной окружности образуют угол

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Две хорды одной окружности образуют угол

Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Две хорды одной окружности образуют угол

Угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Две хорды одной окружности образуют угол

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равняется половине центрального угла, опирающегося на данную хорду:

Видео:Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

Центральные и вписанные углы

Две хорды одной окружности образуют угол

О чем эта статья:

Видео:Теорема об угле между касательной и хордой. Доказательство | Как понимать математику #огэматематикаСкачать

Теорема об угле между касательной и хордой. Доказательство | Как понимать математику #огэматематика

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Две хорды одной окружности образуют угол

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Две хорды одной окружности образуют угол

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Две хорды одной окружности образуют угол

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Две хорды одной окружности образуют угол

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Две хорды одной окружности образуют угол

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Две хорды одной окружности образуют угол

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Две хорды одной окружности образуют угол

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Две хорды одной окружности образуют угол

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Две хорды одной окружности образуют угол

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Две хорды одной окружности образуют угол

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Две хорды одной окружности образуют угол

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Две хорды одной окружности образуют угол

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Две хорды одной окружности образуют угол

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Две хорды одной окружности образуют угол

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

🔥 Видео

№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащейСкачать

№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей
Поделиться или сохранить к себе:
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Две хорды одной окружности образуют угол
Формула: Две хорды одной окружности образуют угол
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Две хорды одной окружности образуют угол
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Две хорды одной окружности образуют угол
Формула: Две хорды одной окружности образуют угол
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Две хорды одной окружности образуют угол
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Две хорды одной окружности образуют угол