Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать
Доказательство теоремы синусов
Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:
Формула теоремы синусов:
Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
bc sinα = ca sinβ
Из этих двух соотношений получаем:
Теорема синусов для треугольника доказана.
Эта теорема пригодится, чтобы найти:
Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Доказательство следствия из теоремы синусов
У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:
Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:
Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.
1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.
Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.
Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.
Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.
BA1 = 2R, где R — радиус окружности
Следовательно: R = α/2 sinα
Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.
Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.
Следовательно, ∠А1 = 180° — α.
Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:
Также известно, что sin(180° — α) = sinα.
В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα
Следовательно: R = α/2 sinα
Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Часто используемые тупые углы:
sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.
3. Угол ∠А = 90°.
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.
Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.
Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.
Формула теоремы о вписанном угле:
Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).
Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.
Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:
Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.
Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.
Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.
Следовательно: α + γ = 180°.
Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.
Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле
Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:
sinγ = sin(180° — α)
Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα
Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать
Примеры решения задач
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.
Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.
Согласно теореме о сумме углов треугольника:
∠B = 180° — 45° — 15° = 120°
Сторону AC найдем по теореме синусов:
Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.
В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:
Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.
Ответ: угол составляет примерно 53,1°.
Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Запоминаем
Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
>
Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3.Теорема Пифагора:
, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Треугольник вписанный в окружность
Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD= FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.Скачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
Радиус описанной окружности около треугольника, если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника, если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника, если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и синус угла между ними:
[ S = fracab cdot sin angle C ]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
Сторона треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
Средняя линия треугольника вписанного в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность, если известныдве стороны, ни одна из них не является основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
Высота треугольника вписанного в окружность, если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность, если известен сторона и синус угла прилежащего к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности и две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать
Свойства
Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность, можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность, справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и треугольника, в который вписана окружность, можно найти по формуле Герона.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать
Доказательство
Около любого треугольника, можно описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник, которые изображены на рисунке 2.
окружность описана около треугольника.
Проведем серединные перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров — около треугольника описана окружность — O, от центра окружности к вершинам можно провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника, что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, в котором все серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, и эта точка равноудалена от всех вершин треугольника.
📽️ Видео
Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать
Прямоугольные треугольники, вписанные в окружностьСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать