Два прямоугольных треугольника в окружности

Теорема синусов

Два прямоугольных треугольника в окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Два прямоугольных треугольника в окружности

Формула теоремы синусов:

Два прямоугольных треугольника в окружности

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Два прямоугольных треугольника в окружности

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Два прямоугольных треугольника в окружности

Два прямоугольных треугольника в окружности
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Два прямоугольных треугольника в окружности

  • Два прямоугольных треугольника в окружности
    bc sinα = ca sinβ
    Два прямоугольных треугольника в окружности
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Геометрия Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружностиСкачать

    Геометрия Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружности

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

    Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Два прямоугольных треугольника в окружности
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

    7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

    Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

    Прямоугольный треугольник

    Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

    Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

    Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Признаки равенства прямоугольных треугольников

    Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

    Два прямоугольных треугольника в окружностиЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Свойства прямоугольного треугольника

    1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

    2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

    И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    3. Теорема Пифагора:

    Два прямоугольных треугольника в окружности, где Два прямоугольных треугольника в окружности– катеты, Два прямоугольных треугольника в окружности– гипотенуза. Видеодоказательство

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    4. Площадь Два прямоугольных треугольника в окружностипрямоугольного треугольника с катетами Два прямоугольных треугольника в окружности:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    5. Высота Два прямоугольных треугольника в окружностипрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Два прямоугольных треугольника в окружностии гипотенузу Два прямоугольных треугольника в окружностиследующим образом:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    7. Радиус Два прямоугольных треугольника в окружностиописанной окружности есть половина гипотенузы Два прямоугольных треугольника в окружности:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

    9. Радиус Два прямоугольных треугольника в окружностивписанной окружности выражается через катеты Два прямоугольных треугольника в окружностии гипотенузу Два прямоугольных треугольника в окружностиследующим образом:

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Треугольник вписанный в окружность

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

    №711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

    Определение

    Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
    находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

    На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
    треугольника
    и окружность, вписанная в треугольник.

    ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

    O — центр вписанной в треугольник окружности.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    Видео:Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.Скачать

    Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.

    Формулы

    Радиус вписанной окружности в треугольник

    r — радиус вписанной окружности.

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
      если известна площадь и все стороны:

    Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны площадь и периметр:

    Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны полупериметр и все стороны:

    Радиус описанной окружности около треугольника

    R — радиус описанной окружности.

    1. Радиус описанной окружности около треугольника,
      если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

    Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и площадь:

    Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и полупериметр:

    Площадь треугольника

    S — площадь треугольника.

    1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
      если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен высота и основание:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и синус угла между ними:

    [ S = fracab cdot sin angle C ]

    Периметр треугольника

    P — периметр треугольника.

    1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
      если известны все стороны:

    Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и радиус вписанной окружности:

    Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и угол между ними:

    Сторона треугольника

    a — сторона треугольника.

    1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
      если известны две стороны и косинус угла между ними:

    Сторона треугольника вписанного в
    окружность, если известна сторона и два угла:

    Средняя линия треугольника

    l — средняя линия треугольника.

    1. Средняя линия треугольника вписанного
      в окружность, если известно основание:

    Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
    если известныдве стороны, ни одна из них не является
    основанием, и косинус угламежду ними:

    Высота треугольника

    h — высота треугольника.

    1. Высота треугольника вписанного в окружность,
      если известна площадь и основание:

    Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен сторона и синус угла прилежащего
    к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

    [ h = b cdot sin alpha ]

    Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен радиус описанной окружности и
    две стороны, ни одна из которых не является основанием:

    Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

    Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

    Свойства

    • Центр вписанной в треугольник окружности
      находится на пересечении биссектрис.
    • В треугольник, вписанный в окружность,
      можно вписать окружность, причем только одну.
    • Для треугольника, вписанного в окружность,
      справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
      и Теорема Пифагора.
    • Центр описанной около треугольника окружности
      находится на пересечении серединных перпендикуляров.
    • Все вершины треугольника, вписанного
      в окружность, лежат на окружности.
    • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
    • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
      треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
      формуле Герона.

    Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

    Доказательство

    Около любого треугольника, можно
    описать окружность притом только одну.

    Два прямоугольных треугольника в окружности

    окружность и треугольник,
    которые изображены на рисунке 2.

    окружность описана
    около треугольника.

    1. Проведем серединные
      перпендикуляры — HO, FO, EO.
    2. O — точка пересечения серединных
      перпендикуляров равноудалена от
      всех вершин треугольника.
    3. Центр окружности — точка пересечения
      серединных перпендикуляров — около
      треугольника описана окружность — O,
      от центра окружности к вершинам можно
      провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

    окружность описана около треугольника,
    что и требовалось доказать.

    Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
    вписанный в окружность
    — это треугольник,
    в котором все серединные перпендикуляры
    пересекаются в одной точке, и эта точка
    равноудалена от всех вершин треугольника.

    📽️ Видео

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

    Прямоугольные треугольники, вписанные в окружностьСкачать

    Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

    Построить описанную окружность (Задача 1)

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

    Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

    Прямоугольный треугольник и описанная окружностьСкачать

    Прямоугольный треугольник и описанная окружность

    №701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

    №701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).
    Поделиться или сохранить к себе: