Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.
а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 24.
а) Пусть BD и AC пересекаются в точке M. Так как ABCD — описанный четырёхугольник, 
Будем считать, что 
и 
Углы ABC и ADC прямые, так как AC — диаметр. По теореме Пифагора получаем 
и 
Отсюда следует, что 
то есть 
и 
Это значит, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников, поэтому 
Следовательно, CM — биссектриса треугольника DBC, а также его высота и медиана.
б) Пусть O — центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD. Тогда её радиус 
поэтому 
Допустим, что 
тогда 
и 
Рассматривая прямоугольные треугольники AMB и ABC, можем записать 
следовательно, 
Аналогично 
поэтому полупериметр четырёхугольника ABCD равен 
Площадь же четырёхугольника ABCD равна 
Искомый радиус вписанной окружности равен 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | ||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание
Видео:Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O Известно что угол A = углу D AO=ODСкачать  Диагональ АС выпуклого четырехугольника является диаметром описанной около него окружности?Геометрия | 10 — 11 классы Диагональ АС выпуклого четырехугольника является диаметром описанной около него окружности. Найти отношение площадей треугольника ABC и ACD, если известно, что диагональ BD делит AC в отношении 2 / 1, считая от точки А, а величина угла ВАС составляет 30 градусов.
Решение изложено как можно конкретнее.
Видео:Диагонали четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, взаимно перпендикулярны. Из вершин В и ССкачать  В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S ?В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S . Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 44 , SQ = 22 .
Видео:№521. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 +ВС2 =AB2+CСкачать  В треугольнике авс биссектриса угла а делит высоту, проведенную из вершины в в отношении 13 : 12, считая от точки в?В треугольнике авс биссектриса угла а делит высоту, проведенную из вершины в в отношении 13 : 12, считая от точки в. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника авс, если вс = 10.
Видео:Геометрия Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD являются диаметрами окружности. Докажите, чтоСкачать  Найдите величину меньшего из углов треугольника (выразите в градусах), если вершины этого треугольника делят длину описанной окружности в отношении 1 : 3 : 4?Найдите величину меньшего из углов треугольника (выразите в градусах), если вершины этого треугольника делят длину описанной окружности в отношении 1 : 3 : 4.
Видео:Геометрия В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8Скачать  В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B в отношении 13 : 12, считая от точки B?В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B в отношении 13 : 12, считая от точки B. Найдите радиус окружности , описанной окого треугольника ABC, если BC = 10.
Видео:№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать  Прямая, содержащая биссектрису угла B треугольника ABC, пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке D?Прямая, содержащая биссектрису угла B треугольника ABC, пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке D. Сторона AC = 5 и делит отрезок BD в отношении 3 : 1, считая от точки B. Найдите периметр треугольника ABC.
Видео:Геометрия Найдите диагональ AC четырехугольника ABCD если около него можно описать окружность и ABСкачать  Диагональ AC трапеции ABCD является биссектрисой ее острого угла A и делит диагональ BD этой трапеции в отношении m : n (считая от B)?Диагональ AC трапеции ABCD является биссектрисой ее острого угла A и делит диагональ BD этой трапеции в отношении m : n (считая от B). Точка M пересечения диагоналей трапеции удалена от боковой стороны AB на расстояние a, а ее средняя линия равна b. Найти площадь треугольника BMC.
Видео:Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD вписанного в окружность перпендикулярны, угол ACB = 10Скачать  В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S?В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 86, SQ = 43.
Видео:Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.Скачать  Найдите величину меньшего из углов треугольника (выразите в градусах), если вершины этого треугольника делят длину описанной окружности в отношении 3 : 5 : 10?Найдите величину меньшего из углов треугольника (выразите в градусах), если вершины этого треугольника делят длину описанной окружности в отношении 3 : 5 : 10.
Видео:Геометрия Найдите диагональ четырехугольника, если его периметр равен 80 см, а периметрыСкачать  В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В в отношении 5 6 4, считая от точки В?В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В в отношении 5 6 4, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 6.
Видео:ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите уголСкачать  Правильный треугольник вписан в окружность, а правильный четырехугольник описан около этой оружности?Правильный треугольник вписан в окружность, а правильный четырехугольник описан около этой оружности. Найти отношение сторон правильных треугольника и четырехугольника. Вы перешли к вопросу Диагональ АС выпуклого четырехугольника является диаметром описанной около него окружности?. Он относится к категории Геометрия, для 10 — 11 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей. Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать  Четырехугольникитеория по математике 📈 планиметрияЧетырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки. Выпуклый четырехугольникЧетырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD. Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD. Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать  Виды и свойства выпуклых четырехугольниковСумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов. ПрямоугольникПрямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.
S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника. КвадратКвадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
ПараллелограммПараллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
ТрапецияТрапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.
Виды трапецийТрапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.
углы А и С равны по 90 градусов Средняя линия трапецииСделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.
Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN. Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC. По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС. Ответ: см. решение pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17 Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.
Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов). Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . . Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2 Ответ: см. решение pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции. Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63 pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата. Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.
Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 . Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные: с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88 pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8 Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу: 12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . . В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . . Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2 Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4 pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение. Задание №1Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.
Решение Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно: при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5. Итак, получили следующее: 1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом. Заполняем нашу таблицу:
Записываем ответ: 3517 Задание №2Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом? Решение Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).
Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м». Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок. Задание №3Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах. Решение Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.
Задание №4Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах. Решение Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).
Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м Задание №5Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.
Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой? Решение Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м: 1 магазин: 232х0,25=58 кг 2 магазин: 232х0,4=92,8 кг Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке: 1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа) 2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок. Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка: 1 магазин: 10х3000+500=30500 руб. 2 магазин: 19х1900+800=36900 руб. Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей. Ответ: см. решение pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить 🎥 ВидеоДиагональ AC параллелограмма ABCD образует ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать  Геометрия Диагонали четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаютсяСкачать  Один отрезок - диагональ четырёхугольника, диаметр окружности, высота ромбаСкачать  №785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD.Скачать  Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали #огэ #математикаСкачать  16 задача ЕГЭ | Планиметрия 4 вариант Ященко 2021 математика профильный уровень 🔴Скачать  ОГЭ Задание 25 Свойства вписанного и описанного четырехугольникаСкачать  |
Определение
На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь 
Свойства квадрата
