Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Геометрия. 10 класс
Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 8 Перпендикулярность прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых по теме

  1. Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
  2. Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых;
  3. Решать задачи по теме.

Глоссарий по теме

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень

Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.

Открытые электронные ресурсы:

Перпендикулярность прямой и плоскости. http://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как ас, то ∠АМС=90 о .

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90 о , т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90 о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 о , то есть b ⊥ с.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то аx.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.

Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α

Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.

Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что аb. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, аb, т.е. b ∊ β, b1 ∊ β, α Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетβ = c (невозможно)→ аb

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с1, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с1 параллельны. Но по построению прямые с и с1пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Теоретический материал для углубленного изучения

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет. В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Выбор элемента из выпадающего списка

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DCДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет).

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Подсказка: в кубе все углы по Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет. Плоскость (DCДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет), проходит через грань куба DCДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет.

  • Разбор задания: Куб – это геометрическая фигура у которой все углы прямые, следовательно нужно увидеть ребра которые перпендикулярны к плоскости (DCДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет), к грани куба (DDCДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет).Эти ребра — AD, A1D1, BC, B1C1

Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.

  • Две прямые называются перпендикулярными, если …..
  • Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

  • Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет
  • Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет
  • параллельны
  • один
  • она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.
  • перпендикулярна плоскости.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Две прямые называются перпендикулярными, если …

угол между ними равен 90Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …

перпендикулярна и другой

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.

Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Лекция по геометрии на тему: «Перпендикулярность в пространстве». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение: Две прямые в пространстве могут пересекаться. (Привести примеры перпендикулярных прямых, используя окружающую обстановку).

Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: a || b, a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетc

Доказать: b Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетc

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Через т.М | М Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетa, М Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетb и М Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетc проведем прямые MA || a и MC || c. Так как a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетc (по условию), то Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетАМС =90 0 . По условию a || b и MA || a (по построению) значит, b || MA (по теореме о трех параллельных прямых). Тогда прямые b и c параллельны соответственно МА и МС, угол между которыми 90 0 Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетb Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетc, что и требовалось доказать.

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

(Возможна запись: a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетили Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетa).

Прямая, перпендикулярная к плоскости пересекает эту плоскость.

a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетa Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетb, a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетc, a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетd.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: a || b, a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет.

Доказать: b Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Проведем в плоскости Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетпроизвольную прямую с. Так как a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, то a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетс (по определению). Согласно лемме, если а перпендикулярна с, то и b, параллельная а также перпендикулярна с. Так как с – произвольная прямая, то b перпендикулярна Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет. (по определению). Что и требовалось доказать.

Теорема (обратная): Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

(Доказать предлагается учащимся самостоятельно).

Теорема: Если прямая, не лежащая в плоскости перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то прямая и плоскость перпендикулярны.

Предлагается 2 способа доказательства.

Дано: a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, bДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, cДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, b x c=0, a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетb, a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетc

Доказать: a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Проведем в плоскости Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетпроизвольную прямую р. (Если р не проходит через т.О, то можно провести р | || р через т.О) На прямых a, b, c, и p’ отложим векторы Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нети Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетсоответственно. Так как Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нети Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, то Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет=xДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет+y Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет(известно из курса планиметрии). Так как a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетb, тоДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет· Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет=0; так как a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетc , то Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет·Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет=0. Докажем, что Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет. Найдем их скалярное произведение Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет·Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет= Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет( xДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет+yДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет)=xДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет·Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет+yДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет·Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет=0 Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетa Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетp. Так как p произвольная прямая плоскости Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, то a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет(по определению). Что и требовалось доказать.

Дано: mДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, nДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, m x n=0, l Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетm, l Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетn

Доказать: l Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

Проведем прямую p так, чтобы O Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетp и p || l. l Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетm, l Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетn и p || l Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетp Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетn и p Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетm. Пусть P и P1 – точки прямой p такие, что OP=OP1. Тогда m и n –оси симметрии и значит, Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет— плоскость симметрии для этих точек, а следовательно, p Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет. p Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нети p || l Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетl Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет. Что и требовалось доказать.

Замечание: Еще одно доказательство теоремы в учебнике “Геометрия 10-11” Л.С. Атанасяна и др.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости:

  • Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
  • Если две плоскости Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нети Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетперпендикулярны к прямой а ,то они параллельны.
  • Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.
  • Теорема: Через любую точку пространства не принадлежащую плоскости проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

    Дано: Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, А Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет.

    Доказать: Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетa | A Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетa, a Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет.

    Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

    Доказательство:

    1. Проведем в Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетпроизвольную прямую а; построим плоскость Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нета, проходящую через т.А Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет=b В плоскости Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетчерез А проведем прямую с | c Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет(c Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетb по построению c Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нета, т.к. Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет). Значит, с и есть искомая прямая.
    2. Докажем, что она единственная. Допустим, что это не так и существует прямая с1Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, тогда с || c1 ,что не возможно т.к. с х с1=А. Таким образом, через А проходит только одна прямая к Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

    . Что и требовалось доказать

    Можно предложить учащимся подготовить к семинару ответы на следующие вопросы:

  • Верно ли что: если 2 прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то это утверждение при условии, что все три прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?
  • Прямая а || Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет, а b Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нетДва перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет
  • . Существует ли прямая перпендикулярная к прямым а и b?

    Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

    Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

    Перпендикулярность прямых и плоскостей

    Видео:Теорема о двух перпендикулярах к одной прямойСкачать

    Теорема о двух перпендикулярах к одной прямой

    Перпендикулярные прямые

    Две прямые в пространстве называются перпендикулярными , если угол между ними составляет Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет.

    При этом прямые могут пересекаться,

    Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

    а могут быть скрещивающимися:Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

    Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

    Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

    Перпендикулярность прямой и плоскости

    Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

    Признак перпендикулярности прямой и плоскости

    Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

    Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

    Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

    1). Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

    Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

    Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

    2). Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

    3). Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой

    Видео:7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

    7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямой

    Перпендикулярность плоскостей

    Пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными , если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

    Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

    Признак перпендикулярности плоскостей

    Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

    Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

    Свойство перпендикулярных плоскостей

    Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

    Два перпендикуляра к одной прямой параллельны верно или нет

    Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

    🎦 Видео

    7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

    7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

    10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

    10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

    Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

    Перпендикулярные прямые. 6 класс.

    Перпендикулярные прямыеСкачать

    Перпендикулярные прямые

    Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

    Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

    10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

    10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

    Геометрия 7 класс (Урок№11 - Перпендикуляр к прямой.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№11 - Перпендикуляр к прямой.)

    Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.Скачать

    Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.

    Теорема о единственности перпендикуляраСкачать

    Теорема о единственности перпендикуляра

    Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

    Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

    Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

    Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

    №51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые mСкачать

    №51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

    Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

    Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

    7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

    7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
    Поделиться или сохранить к себе: