Пусть требуется построить Проекции прямой правильной пирамиды высотой h, с треугольным основанием вписанным в окружность заданного диаметра. Основание пирамиды параллельно горизонтальной плоскости проекций H.
Построение начинаем с горизонтальной проекции прямой правильной пирамиды потому, что основание пирамиды, в данном случае, проецируются на нее без искажения: — проводим окружность радиусом R и через ее центр осевые линии; — отмечаем точку C на окружности и из центра находящегося на окружности напротив нее описываем дугу тем же радиусом R до пересечения с окружностью, где отмечаем точки A и B; — отмеченные точки соединяем прямыми линиями; — центр описанной окружности совпадает с проекцией вершины пирамиды S`; — соединяем прямыми линиями вершины пирамиды S` с вершинами A`, B`, C` основания, получая, тем самым, проекции S`A`, S`B`и S`C` боковых ребер пирамиды. Делаем графический анализ построенной проекции: — плоскость треугольника A`B`C` — это горизонтальная проекция основания пирамиды, которая является горизонтальной плоскостью уровня; — треугольники S`A`B`, S`B`C` и S`C`A` — это горизонтальные проекции боковых граней пирамиды, которые является: задняя боковая грань SAB — профильно проецирующей плоскостью, передние боковые грани SBC и SCA плоскостями общего положения.
Далее выполняем построение фронтальной Проекции прямой правильной пирамиды потому, что для этого есть все данные: — строим проекцию основания пирамиды, которое вырождается в горизонтальную прямую уровня A»B»≡ B»C»≡ C»A» ≡ x; => ABC ≡ H; — откладываем высоту пирамиды — h и находим проекцию S» вершины пирамиды; — соединяем прямыми линиями вершину пирамиды S» с вершинами A», B», C» основания, получая, тем самым, проекции S»A», S»B» и S»C» боковых ребер пирамиды. — проводим проекции нижнего и верхнего оснований параллельных плоскости H и следовательно перпендикулярных плоскости V, которые представляют прямые линии. Делаем графический анализ построенной проекции: Треугольники S»A»C» и S»C»B» — проекции передних (видимых) боковых граней пирамиды, которые представляют собой их искаженную величину. Треугольник S»A»B» — проекция задней (невидимой) грани пирамиды, представляет собой ее искаженную величину.
Далее выполняем построение профильной проекции прямой правильной пирамиды потому, что для этого есть все данные: — строим проекцию основания пирамиды, которое вырождается в горизонтальную прямую уровня A»`B»`≡ B»`C»`≡ C»`A»`≡ y; => ABC ≡ H; — соединяем прямыми линиями вершину пирамиды S»` с вершинами A»`, B»`, C»` основания, получая, тем самым, проекции S»`A»`, S»`B»` и S»`C»` боковых ребер пирамиды. Делаем графический анализ построенной проекции: — треугольник S»`A»`C»` — проекция передней (видимой) боковой грани пирамиды, которая представляют собой их искаженную величину; — треугольник S»`B»`C»` — проекция задней (невидимой) боковой грани пирамиды, которая представляют собой их искаженную величину; — S»`A»`B»` — проекция задней (невидимой) боковой грани пирамиды, которая представляют собой их искаженную величину; — профильная проекция ребра AB вырождается в точку A»` ≡ B»`, следовательно задняя боковая грань перпендикулярна плоскости W; — профильная проекция двухгранного угла при ребре AB представляют собой натуральную величину.
Видео:Пересечение многогранников. Пирамида с призматическим вырезом.Скачать
Проекции пирамид
Построение проекции правильной четырехугольной пирамиды начинается с построения основания, горизонтальная проекция которого представляет собой четырехугольник без искажения (рисунок 171, а). Фронтальная проекция основания — отрезок горизонтальной прямой.
Из горизонтальной проекции точки S’ (вершины, пирамиды) проводят вертикальную линию связи, на которой от оси х откладывают высоту пирамиды и получают фронтальную проекцию S» вершины. Соединяя точку S» с точками Г‘, 2″, 3″ и 4″, получают фронтальные проекции ребер пирамиды.
Горизонтальные проекции ребер получают, соединяя горизонтальную проекцию точки S’ с горизонтальными проекциями точек Г, 2‘, 3′ и 4′.
Пусть, например, дана фронтальная проекция А» точки А, расположенной на грани пирамиды 1″, S», 2″ и требуется найти другую проекцию этой точки. Для решения этой задачи проведем через А» вспомогательную прямую, проходящую через вершину пирамиды и точку N«,
расположенную на ее грани. Горизонтальную проекцию N’S’ вспомогательной прямой находят, применяя линию связи. Искомая горизонтальная проекция А’ точки А находится на пересечении линии связи, проведенной из точки А» с горизонтальной проекцией N’S’ вспомогательной прямой.
Изометрическая проекция пирамиды выполняется следующим образом (рисунок 171, б).
Вначале строят основание, для чего по оси х откладывают длину диагонали 13, а по оси у — длину диагонали 24. Из точки О пересечения диагоналей проводят ось z и на ней откладывают высоту пирамиды. Вершину S соединяют с вершинами основания прямыми линиями — ребрами.
Изометрическую проекцию точки А, расположенной на грани пирамиды, строят по координатам, которые берут с комплексного чертежа. От начала координат О по оси х откладывают координату хА, из ее конца параллельно оси у — координату уА и из конца этой координаты параллельно оси z — третью координату zA. Построение точки В, расположенной на ребре пирамиды, более простое. От точки О по оси х откладывают координату хв и из конца ее проводят прямую, параллельную оси z, до пересечения с ребром пирамиды в точке В.
Видео:Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать
Проекции геометрических тел с примерами и образцами выполнения
Содержание:
Формы деталей, встречающихся в технике, представляют собой сочетание различных геометрических тел или их частей.
Видео:Построение проекции пирамиды. Метод прямого треугольника.Скачать
Формы геометрических тел
Деталь любой формы можно представить как совокупность отдельных геометрических тел.
Для примера возьмем деталь (рис. 159. а) и проанализируем се форму. Мысленно разделив ее на отдельные элементы, получим следующие геометрические тела (рис. 159, б): 1 — усеченный прямой круговой конус с цилиндрическим отверстием, 2 — прямой круговой цилиндр, 3 — прямоугольный параллелепипед, 4 — два прямоугольных параллелепипеда с цилиндрическими отверстиями, 5 — два полых полуцилиндра. Для выполнения комплексных чертежей необходимо усвоить методы проецирования отдельных геометрических тел, а также точек и линий, расположенных на поверхности этих тел.
Геометрические тела, ограниченные плоскими многоугольниками, называются многогранниками (рис. 160, а). Эти многоугольники называются гранями, их пересечения — ребрами. Угол, образованный гранями, сходящимися в одной точке — вершине, называется многогранным углом.
Тела вращения ограничены поверхностями, которые получаются в результате вращения какой-либо линии вокруг неподвижной оси (рис. 160, б и в). Линия АВ, которая при своем движении образует поверхность, называется образующей. Наиболее часто встречаются такие тела вращения, как цилиндр, конус, шар, тор.
Видео:Пирамиды, в которых высота проходит через центр вписанной в основание окружностиСкачать
Проекции призм
Построение проекций правильной прямой шестиугольной призмы (рис. 161) начинается с выполнения ее горизонтальной проекции — правильного шестиугольника. Из вершин этого шестиугольника провопят вертикальные линии связи и строят фронтальную проекцию нижнего основания призмы. Эта проекция изображается отрезком горизонтальной прямой. От этой прямой вверх откладывают высоту призмы и строят фронтальную проекцию верхнего основания. Затем вычерчивают фронтальные проекции ребер — отрезки вертикальных прямых, равные высоте призмы. Фронтальные проекции передних и задних ребер совпадают. Горизонтальные проекции боковых граней изображаются в виде отрезков прямых. Передняя боковая грань 1243 изображается на плоскости V без искажения, а на плоскости W— в виде прямой линии. Фронтальные и профильные проекции остальных боковых граней изображаются с искажением.
На чертеже оси х, у и z не показывают, что делает чертеж более простым.
Несколько сложнее построение проекций наклонной призмы.
Рассмотрим порядок построения проекций наклонной шестиугольной призмы.
1. Призма, основание которой лежит на плоскости Н, наклонена к этой плоскости под утлом α (рис. 162, а). Ребра призмы параллельны плоскости V, т.е. являются фронталями.
Вначале выполняется построение горизонтальной проекции основания призмы, которое проецируется на плоскость Н без искажения (правильный шестиугольник). Фронтальная проекция основания представляет собой отрезок прямой, параллельной оси х.
Из точек 1‘, 2′, 3’ фронтальной проекции основания проводят прямые проекции ребер под углом α к оси х и на них откладывают действительную длину бокового ребра призмы.
Строят фронтальную проекцию верхнего основания призмы в виде отрезка прямой, равного и параллельного фронтальной проекции нижнего основания.
Из точек 1, 2, 3, 4. 5. 6 горизонтальной проекции нижнего основания проводят прямые — проекции ребер — параллельно оси х и на них с помощью вертикальных линий связи находят шесть точек — горизонтальные проекции вершин верхнего основания призмы.
2. Прямая правильная шестиугольная призма наклонена под углом α к плоскости Н. Основание призмы наклонено к плоскости Н под углом β (рис. 162, б).
В этом случае необходимо вначале построить фронтальную проекцию основания. Эта проекция представляет собой отрезок, равный расстоянию между параллельными сторонами шестиугольника. Если этот отрезок разделить пополам и из его середины провести линию связи, то на ней будут расположены точки 2 и 5 — горизонтальные проекции вершин основания призмы. Расстояние между точками 2, 5 равно действительному расстоянию между вершинами основания призмы. Так как горизонтальные проекции сторон 16 и 34 представляют собой их действительные длины, то, воспользовавшись этим обстоятельством, можно построить полностью горизонтальную проекцию основания.
Дальнейший процесс построения, показанный на рис. 162, б, аналогичен приведенному на рис. 162, а.
На комплексных чертежах предметов часто приходится строить проекции линий и точек, расположенных на поверхности этих тел, имея только одну проекцию линии или точки. Рассмотрим решение такой задачи.
Дан комплексный чертеж четырехугольной прямой призмы и фронтальная проекция а’ точки А.
Прежде всего надо отыскать на комплексном чертеже две проекции грани, на которой расположена точка А. На комплексном чертеже видно (рис. 163, а), что точка А лежит на грани призмы 1265. Фронтальная проекция а’ точки А лежит на фронтальной проекции 1‘2’6’5‘ грани призмы. Горизонтальная проекция 1562 этой грани — отрезок 56. На этом отрезке и находится горизонтальная проекция а точки А. Профильную проекцию призмы и точки А строят, применяя линии связи.
По имеющемуся комплексному чертежу призмы можно выполнить ее изометрическую проекцию по координатам вершин. Для этого вначале строят нижнее основание призмы (рис. 163, б), а затем вертикальные ребра и верхнее основание (рис. 163, в).
По координатам т и п точки А, взятым с комплексного чертежа, можно построить аксонометрическую проекцию этой точки.
Видео:Построение проекций пирамиды. Метод вращения.Скачать
Проекции пирамид
Построение проекций треугольной пирамиды начинается с построения основания, горизонтальная проекция которого представляет собой треугольник без искажения (рис. 164, а). фронтальная проекция основания — отрезок горизонтальной прямой.
Из горизонтальной проекции точки s (вершины. пирамиды) проводят вертикальную линию связи, на которой от оси х откладывают высоту пирамиды и получают фронтальную проекцию s’ вершины. Соединяя точку s’ с точками 1‘, 2′ и 3′, получают фронтальные проекции ребер пирамиды.
Горизонтальные проекции ребер получают, соединяя горизонтальную проекцию точки s с горизонтальными проекциями точек 1, 2 и 3.
Пусть, например, дана фронтальная проекция а’ точки А, расположенной на грани пирамиды 1s2, и требуется найти другую проекцию этой точки. Для решения этой задачи проведем через а’ произвольную вспомогательную прямую и продолжим ее до пересечения с фронтальными проекциями 1’s’ и 2’s’ ребер в точках п’ и т‘. Затем проведем из точек п’ и т‘ линии связи до пересечения с горизонтальными проекциями 1s и 2s этих ребер в точках п и т. Соединив п с т, получим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой, на которой с помощью линии связи найдем искомую горизонтальную проекцию а точки А Профильную проекцию этой точки находят по линиям связи.
Другой способ решения задачи на построение проекции точки по заданной ее проекции показан на рис. 164, б. Дана четырехугольная правильная пирамида. Через заданную фронтальную проекцию а’ точки А проводят вспомогательную прямую, проходящую через вершину пирамиды и расположенную на ее грани. Горизонтальную проекцию ns вспомогательной прямой находят с помощью линии связи. Искомая горизонтальная проекция а точки А находится на пересечении линии связи, проведенной из точки а’, с горизонтальной проекцией ns вспомогательной прямой.
Фронтальная диметрическая проекция рассматриваемой пирамиды выполняется следующим образом (рис. 164, в).
Вначале строят основание, для чего по оси х откладывают длину диагонали 13, а по оси у — половину длины диагонали 24. Из точки О пересечения диагоналей проводят ось z и на ней откладывают высоту пирамиды. Вершину S соединяют с вершинами основания прямыми линиями — ребрами.
Фронтальную диметрическую проекцию точки А, расположенной на грани пирамиды, строят по координатам, которые берут с комплексного чертежа. От качала координат О по оси х откладывают координату xА, из се конца параллельно оси у — половину координаты yА и из конца этой координаты параллельно оси z — третью координату zА. Построение точки В, расположенной на ребре пирамиды, более простое. От точки О по оси х откладывают координату xB и из конца ее проводят прямую, параллельную оси z, до пересечения с ребром пирамиды в точке В.
Видео:Построение линии пересечения поверхности пирамиды с проецирующей плоскостьюСкачать
Проекции цилиндров
Боковая поверхность прямого кругового цилиндра получается вращением отрезка АВ образующей вокруг оси, параллельной этому отрезку. На рис. 165, а представлена изометрическая проекция цилиндра.
Построение горизонтальной и фронтальной проекций цилиндра показано на рис. 165, б и в.
Построение начинают с изображения основания цилиндра, т.е. двух проекций окружности (рис. 165, б). Так как окружность расположена на плоскости Н, то она проецируется на эту плоскость без искажения. Фронтальная проекция окружности представляет собой отрезок горизонтальной прямой линии, равный диаметру окружности основания.
После построения основания на фронтальной проекции проводят две очерковые (крайние) образующие и на них откладывают высоту цилиндра. Проводят отрезок горизонтальной прямой, который является фронтальной проекцией верхнего основания цилиндра (рис. 165, в).
Определение недостающих проекции точек А и В, расположенных на поверхности цилиндра, по заданным фронтальным проекциям в данном случае затруднений нс вызывает, так как вся горизонтальная проекция боковой поверхности цилиндра представляет собой окружность (рис. 166. а). Следовательно, горизонтальные проекции точек А и В можно найти, проводя из данных точек а’ и b‘ вертикальные линии связи до их пересечения с окружностью в искомых точках а и Ь.
Профильные проекции точек А и В строят также с помощью вертикальных и горизонтальных линий связи.
Изометрическую проекцию цилиндра вычерчивают, как показано на рис. 166, б.
В изометрии точки A и В строят по координатам. Например, для построения точки В от начала координат О по оси х откладывают координату xB = n, а затем через ее конец проводят прямую, параллельную оси у, до пересечения с контуром основания в точке 1. Из этой точки параллельно оси x проводят прямую, на которой откладывают координату xB = h1 точки В.
Видео:Математика это не ИсламСкачать
Проекции конусов
Нагляднее изображение прямого кругового конуса показано на рис. 167, а. Боковая поверхность конуса получена вращением отрезка BS вокруг оси, пересекающей отрезок в точке S. Последовательность построения двух проекций конуса показана на рис. 167, б и в. Сначала строят две проекции основания. Горизонтальная проекция основания — окружность. Фронтальной проекцией будет отрезок горизонтальной прямой, равный диаметру этой окружности (рис. 167, б). На фронтальной проекции из середины основания восставляют перпендикуляр и на нем откладывают высоту конуса (рис. 167, в). Полученную фронтальную проекцию вершины конуса соединяют прямыми с концами фронтальной проекции основания и получают фронтальную проекцию конуса.
Если на поверхности конуса задана одна проекция точки А (например, фронтальная проекция на рис. 168, а). то две другие проекции этой точки определяют с помощью вспомогательных линий — образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А, или окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.
В первом случае (рис 168. а) проводят фронтальную проекцию s’a‘f ’ вспомогательной образующей. Пользуясь вертикальной линией связи, проведенной из точки f, расположенной на фронтальной проекции окружности основания, находят горизонтальную проекцию sf этой образующей, на которой с помощью линии связи, проходящей через а’, находят искомую точку а.
Во втором случае (рис. 168. б) вспомогательной линией, проходящей через точку А, будет окружность. расположенная на конической поверхности и параллельная плоскости Н. Фронтальная проекция этой окружности изображается в виде отрезка Ь’с’ горизонтальной прямой, величина которого равна диаметру вспомогательной окружности. Искомая горизонтальная проекция а точки А находится на пересечении линии связи, опущенной из точки а’, с горизонтальной проекцией вспомогательной окружности.
Если заданная фронтальная проекция Ь’ точки В расположена на контурной (очерковой) образующей SK, то горизонтальная проекция точки находится без вспомогательных линий (рис. 168. б).
В изометрической проекции точку А, находящуюся на поверхности конуса, строят по трем координатам (рис. 168, в): xА = n, yА = m, zА = h. Эти координаты последовательно откладывают по направлениям, параллельным изометрическим осям. В рассматриваемом примере от точки О по оси х отложена координата xА = n; из конца ее параллельно оси у проведена прямая, на которой отложена координата yА = m; из конца отрезка, равного т, параллельно оси z проведена прямая, на которой отложена координата zА = h. В результате построений получим искомую точку А.
Видео:Построение недостающих проекции сквозного отверстия в сфереСкачать
Проекции шара
На рис. 169, а изображена половина шара, сферическая поверхность этого шара образована вращением четверти окружности АВ вокруг радиуса АО.
Проекции этой фигуры приведены на рис. 169, б. Горизонтальная проекция — окружность радиуса, равного радиусу сферы, а фронтальная — полуокружность того же радиуса.
Если точка А расположена на сферической поверхности (рис. 169, в), то вспомогательная линия Ь’с’, проведенная через эту точку параллельно горизонтальной плоскости проекций, проецируется на горизонтальную плоскость проекций окружностью. На горизонтальной проекции вспомогательной окружности находят с помощью линии связи искомую горизонтальную проекцию а точки А.
Величина диаметра вспомогательной окружности равна фронтальной проекции Ь’с’.
Видео:Пирамиды и статуи из бетона? | Ученые против мифов 21-8 | Павел Селиванов, Александр СоколовСкачать
Проекции кольца и тора
Поверхность кругового кольца (рис. 170, а) образована вращением образующей окружности ABCD вокруг оси ОО1.
Тор — поверхность, образованная вращением части дуги окружности, являющейся образующей, вокруг оси ОО1, расположенной в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр.
На рис. 171, а и б приведены два вида тора. В первом случае образующая дуга окружности радиуса R отстоит от оси вращения на расстоянии меньше радиуса R, а во втором случае — больше.
В обоих случаях фронтальные проекции тора представляют собой действительный вид двух образующих дуг окружности радиуса R, расположенных симметрично относительно фронтальной проекции оси вращения. Профильными проекциями тора будут окружности.
Круговое кольцо (или открытый тор) имеет горизонтальную проекцию в виде двух концентрических окружностей, разность радиусов которых равна толщине кольца или диаметру образующей окружности (рис. 170, б). Фронтальная проекция ограничивается справа и слева дугами полуокружностей диаметра образующей окружности.
В случае, когда точка А лежит на поверхности кругового кольца и дана одна се проекция, для нахождения второй проекции этой точки применяется вспомогательная окружность, проходящая через данную точку А и расположенная на поверхности кольца в плоскости, перпендикулярной оси кольца (рис. 172).
Если задана фронтальная проекция а’ точки А, лежащей на поверхности кольца, то для нахождения ее второй проекции (в данном случае — профильной) через а’ проводят фронтальную проекцию вспомогательной окружности — отрезок вертикальной прямой линии b‘c‘. Затем строят профильную проекцию b«с» этой окружности и на ней, применяя линию связи, находят точку а“.
Если задана профильная проекция а» точки D, расположенной на поверхности этого кольца, то для нахождения фронтальной проекции точки D через d« проводят профильную проекцию вспомогательной окружности радиуса O«d“. Затем через верхнюю и нижнюю точки е» f« этой окружности проводят горизонтальные линии связи до пересечения с фронтальными проекциями образующей окружности радиуса r и получают точки e‘ и f‘. Эти точки соединяют вертикальной прямой, которая представляет собой фронтальную проекцию вспомогательной окружности (она будет невидима). Проводя горизонтальную линию связи из точки d« до пересечения с прямой e‘f ‘, получаем искомую точку d‘.
Такие же приемы построения применимы и для точек, находящихся на поверхности тора.
Видео:Пересечение пирамиды с призмойСкачать
Комплексные чертежи группы геометрических тел и моделей
Для развития пространственного воображения полезно выполнять комплексные чертежи группы геометрических тел и несложных моделей с натуры.
Наглядное изображение группы геометрических тел показано на рис. 173, а. Построение комплексного чертежа этой группы геометрических тел следует начинать с горизонтальной проекции, так как основания цилиндра, конуса и шестигранной пирамиды проецируются на горизонтальную плоскость проекции без искажений. С помощью вертикальных линий связи строят фронтальную проекцию. Профильную проекцию строят с помощью вертикальных и горизонтальных линий связи (рис. 173, б).
Чтобы перейти к более сложным моделям, необходимо усвоить построение простых комплексных чертежей. Проекции моделей следует располагать таким образом, чтобы фронтальная проекция давала наиболее полное представление о форме и размерах модели (рис. 174).
Примеры и образцы решения задач:
Услуги по выполнению чертежей:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
🎥 Видео
Лекция 5 Задача 4Скачать
ПЛОСКАЯ ЗЕМЛЯ ( Flat Earth Simulator )Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
[Начертательная геометрия] Замена плоскостей проекций построение пирамидыСкачать
![[Начертательная геометрия] Замена плоскостей проекций построение пирамиды](https://i.ytimg.com/vi/jkj_LFxL6aY/0.jpg)
Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать
ПИРАМИДА в ИЗОМЕТРИИСкачать
Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать
Развертка пирамидыСкачать
Шестиугольная пирамида.Ортогональные и изометрическая проекции.Урок31.(Часть2.ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать
