Дуга окружности равная 45 градусов

Длина дуги

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Онлайн калькулятор

Дуга окружности равная 45 градусовЧему равна длина дуги, если:

радиус r =
угол α =

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Теория

Чему равна длина дуги окружности L если её радиус r, а угол между двумя прямыми, проведёнными от центра окружности к конечным точкам дуги — центральный угол α?

Формула

Если угол в градусах:

Если угол в радианах:

Пример

Для примера посчитаем чему равна длина дуги окружности с радиусом r = 2 см и центральным углом α = 45° :

L = 3.14 ⋅ 2 ⋅ 45/180 = 6.28 ⋅ 0.25 = 1.57 см

Видео:№1109. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30°; б) 45°Скачать

№1109. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30°; б) 45°

Центральные и вписанные углы

Дуга окружности равная 45 градусов

О чем эта статья:

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Дуга окружности равная 45 градусов

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Дуга окружности равная 45 градусов

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Дуга окружности равная 45 градусов

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Дуга окружности равная 45 градусов

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Дуга окружности равная 45 градусов

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Дуга окружности равная 45 градусов

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Дуга окружности равная 45 градусов

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Дуга окружности равная 45 градусов

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Дуга окружности равная 45 градусов

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Дуга окружности равная 45 градусов

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Дуга окружности равная 45 градусов

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Дуга окружности равная 45 градусов

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Дуга окружности равная 45 градусов

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Дуга окружности равная 45 градусов

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Углы, связанные с окружностью

Дуга окружности равная 45 градусовВписанные и центральные углы
Дуга окружности равная 45 градусовУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Дуга окружности равная 45 градусовДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Дуга окружности равная 45 градусов

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Дуга окружности равная 45 градусов

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45Скачать

2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголДуга окружности равная 45 градусов
Вписанный уголДуга окружности равная 45 градусовВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголДуга окружности равная 45 градусовВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголДуга окружности равная 45 градусовДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголДуга окружности равная 45 градусовВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаДуга окружности равная 45 градусов

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Дуга окружности равная 45 градусов

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Дуга окружности равная 45 градусов

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Дуга окружности равная 45 градусов

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Дуга окружности равная 45 градусов

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Дуга окружности равная 45 градусов

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Дуга окружности равная 45 градусов

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиДуга окружности равная 45 градусовДуга окружности равная 45 градусов
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаДуга окружности равная 45 градусовДуга окружности равная 45 градусов
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияДуга окружности равная 45 градусовДуга окружности равная 45 градусов
Угол, образованный касательной и секущейДуга окружности равная 45 градусовДуга окружности равная 45 градусов
Угол, образованный двумя касательными к окружностиДуга окружности равная 45 градусовДуга окружности равная 45 градусов

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Дуга окружности равная 45 градусов
Формула: Дуга окружности равная 45 градусов
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Дуга окружности равная 45 градусов

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Дуга окружности равная 45 градусов
Формула: Дуга окружности равная 45 градусов
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Дуга окружности равная 45 градусов

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Дуга окружности равная 45 градусов

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | ИнфоурокСкачать

Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | Инфоурок

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Дуга окружности равная 45 градусов

В этом случае справедливы равенства

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Дуга окружности равная 45 градусов

В этом случае справедливы равенства

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Дуга окружности равная 45 градусов

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Дуга окружности равная 45 градусов

Дуга окружности равная 45 градусов

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

🔥 Видео

72. Градусная мера дуги окружностиСкачать

72. Градусная мера дуги окружности

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

2160 Центральный угол на 45 градусов больше острого вписанного углаСкачать

2160 Центральный угол на 45 градусов больше острого вписанного угла

2169 дуга окружности AC не содержащая точки B составляет 165 градусовСкачать

2169 дуга окружности AC не содержащая точки B составляет 165 градусов

ДУГА ОКРУЖНОСТИ задачи 8 класс АтанасянСкачать

ДУГА ОКРУЖНОСТИ задачи 8 класс Атанасян

Окружнось. Градусная мера дуги. Дуговой градус.Скачать

Окружнось. Градусная мера дуги. Дуговой градус.

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.

Центральный угол в окружностиСкачать

Центральный угол в окружности

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104
Поделиться или сохранить к себе: