Теорема 1 (Теорема Фалеса) . Пусть через точки ( small A, B, C, D ) расположенные на одной стороне угла проведены параллельные прямые, которые пересекают другую сторону этого угла в точках ( small A_1, B_1, C_1, D_1, ) соответственно. Тогда если равны отрезки ( small AB ) и ( small CD, ) то равны и отрезки ( small A_1B_1 ) и ( small C_1D_1. )
 |
Доказательство. Пусть ( small AB=CD ) и пусть прямые ( small AA_1, BB_1, CC_1, DD_1 ) параллельны (Рис.1). Докажем, что ( small A_1B_1=C_1D_1. ) Проведем прямые ( small AB_2 ) и ( small CD_2 ) параллельно стороне ( small OD_1. ) Получили два четырехугольника ( small AB_2B_1A_1 ) и ( small CD_2D_1C_1. ) Эти четырехугольники являются параллелограммами поскольку противоположные стороны этих четырехугольников параллельны. Тогда
| ( small AB_2=A_1B_1, ) ( small CD_2=C_1D_1. ) | (1) |
Углы ( small BAB_2 ) и ( small DCD_2 ) являются соответствующими углами при пересечении параллельных прямых ( small AB_2 ) и ( small CD_2 ) секущей ( small AD ) (см. статью Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Тогда
| ( small ∠BAB_2=∠DCD_2. ) | (2) |
Углы ( small ABB_2 ) и ( small CDD_2 ) являются соответствующими углами при пересечении параллельных прямых ( small BB_2 ) и ( small DD_2 ) секущей ( small AD. ) Тогда
| ( small ∠ABB_2=∠CDD_2. ) | (3) |
Треугольники ( small ABB_2 ) и ( small CDD_2 ) равны по второму признаку равенства треугольников так как ( small AB=CD ) и выполнены равенства (2) и (3). Следовательно ( small AB_2 = CD_2. ) Отсюда, учитывая (1) получим: ( small A_1B_1=C_1D_1. ) Теорема доказана.
Видео:Геометрия 8. Урок 8 - Теорема Фалеса - теорияСкачать
Теорема Фалеса
Одна из основополагающих теорем (теорема Фалеса) в геометрии говорит о том, что проведенные через концы одинаковых отрезков прямой параллельные линии отсекают на другой прямой тоже одинаковые по длине отрезки. Причем происходит это независимо от угла между прямыми. Это достаточно произвольная формулировка теоремы Фалеса, но достаточно емко описывающая ее суть. Разные учебники приводят разные формулировки, но суть остается неизменной.
Ключевые слова в теореме (при любой формулировке) — прямые, отрезки, равные, пропорциональные, параллельные. Это говорит о том, что теорема Фалеса касается только планиметрии, то есть изображения линий на плоскости. Она очень важна для картографии и навигации, широко используется в архитектуре и живописи, строительстве и проектировании.
Классической формулировки, единой в своем роде нет. Например, формулировку можно услышать в такой редакции:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
А можно и в такой:
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Если внимательно присмотреться, то можно увидеть, что одно утверждение не противоречит другому, а рисунки практически идентичны. Если продолжить прямые на первом рисунке по получим тот же угол.
Кроме прямых, которые проходят под углом, такая же картина происходит при пересечении параллельных прямых. Разница состоит в том, что на пересекающихся прямых отрезки АВ и А1В1 могут быть как одинаковыми, так и пропорциональными, в зависимости от угла наклона секущих. А для случая параллельных — только одинаковыми. Если обобщить два случая, то обобщенная теорема Фалеса звучит так: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.
Для иллюстрации можно воспользоваться рисунком 1.
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать
Как пользоваться теоремой Фалеса на практике
Теорема Фалеса это не только теоретическое утверждение, доказанное методами математики, но и практический инструмент для построения различных фигур. Простейшая задача — разделить на равные части произвольный отрезок ВА. Пусть этих частей будет 7.
Для решения задачи нарисуем отрезок ВС, образующий с данным ВА угол. Как видим, отрезок ВС проходит вдоль клеток на бумаге, что позволяет выбрать на нем равные отрезки. В нашем случае, это:
BD=DE=EF=FG=GH=HJ=JC.
Начиная от крайних точек А и С проведем параллельные линии, пересекающие отрезок ВА. На нем тоже получиться семь равных отрезков: BR=RP=PN=NM=ML=LK=KA.
С таким же успехом мы можем разделить отрезок на 5, 6, 4 или любое другое количество равных частей. Суть метода состоит в том, что длину отрезка ВС мы заведомо выбираем такой, чтобы его можно было легко разделить на заданное количество частей. Например, длина отрезка ВА 37 см, а его нужно разделить на 5 частей. Выбираем длину отрезка ВС в 25 см, отмечаем точки и выполняем построение по теореме Фалеса.
Видео:Теорема Фалеса. 8 класс.Скачать
Обратная теорема Фалеса
Не менее широко используется и теорема, названная обратной. То есть, доказательства требует не равность или пропорциональность отрезков, а параллельность прямых. Формулируется обратная теорема Фалеса так:
Если две или более прямых (a, b, c) отсекают от двух других прямых (d, f) равные или пропорциональные отрезки, то они параллельные.
Утверждение справедливо, независимо от того, параллельные d, f или пересекаются.
Видео:Теорема фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках - геометрия 8 классСкачать
Доказательство теоремы Фалеса
Математика, тем более, геометрия, наука точная. Каждое утверждение, кроме аксиом, требует доказательства. В геометрии под термином «теорема» подразумевается утверждение, которое доказано на базе ранее полученных знаний в виде аксиом и других теорем.
Теорема Фалеса с доказательством приведена в большинстве учебников. В отличие от теоремы Пифагора, доказательств у нее меньше, но все они четкие, понятные и аргументированные. Покажем одно из них.
Не будем повторять формулировок, продемонстрируем только ход мыслей и выполним необходимые построения:
Выберем точку В2 и проведем прямую, параллельную стороне угла ОС. При этом отмечаем, что А1А3 || EF. Рассматривая четырехугольник
А1FЕА3 замечаем, что А1F и ЕА3 параллельны по определению, а А1А3 и FВ3 параллельны по построению. Отсюда вытекает, что А1 FЕА 3 — параллелограм и А1А3 = EF.
Аналогичным образом доказываем равенство других сторон и получаем, что по равенству вертикальных и внутренних углов ∠B1B2F=∠B3B2E и ∠B2FB1=∠B2EB3 треугольники B2B1F и B2B3E равны, откуда вытекает, что B1B2=B2B3.
Именно это и требовалось доказать.
Видео:ТЕОРЕМА ФАЛЕСА доказательство 384 Атанасян 8 классСкачать
Кто впервые доказал теорему о пропорциональных отрезках
По легенде, впервые на практике использовал теорему греческий философ Фалес Милетский. Он применил ее для измерения высоты пирамиды Хеопса, пользуясь падающей на песок тенью. Для сравнения длины отрезков использовалась воткнутая рядом палка.
Но доказательство теоремы, самое давнее из известных, зафиксированных в письменных источниках, дано в книге «Элементы» другого философа и математика — Эвклида. Тем не менее, утверждение получило имя Фалеса, под которым известно до сих пор.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Теорема Фалеса. Доказательство
Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Дано : ∠COD,
A1B1 ∥ A2B2 ∥ A3B3,
A1, A2, A3 ∈OC, B1, B2, B3 ∈OD,
1) Через точку B2 проведем прямую EF, EF ∥ A1A3.
2) Рассмотрим четырехугольник A1FB2A2.
— A1F ∥ A2B2 (по условию),
— A1A2 ∥ FB2 (по построению).
Следовательно, A1FB2A2 — параллелограмм (по определению).
По свойству противолежащих сторон параллелограмма, A1A2=FB2.
3) Аналогично доказываем, что A2B2EA3 — параллелограмм и A2A3=B2E.
4) Так как A1A2=A2A3 (по условию), то FB2=B2E.
5) Рассмотрим треугольники B2B1F и B2B3E.
— FB2=B2E (по доказанному),
— ∠B2FB1=∠B2EB3 (как внутренние накрест лежащие при A1B1 ∥ A3B3 и секущей EF).
Следовательно, треугольники B2B1F и B2B3E равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: B1B2=B2B3.
Что и требовалось доказать.
Видео:№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АССкачать
8 Comments
Там где вертикальные углы равны, угол второй не тот выбран.
Спасибо, Eldar! Подкорректировано.
Спаcибо огромное*-*
Вы спасли мне жизнь, я таки всё понял
Пожалуйста! Успехов Вам в усвоении новых знаний! Разобраться в геометрии не так уж и сложно. Главное — делать это систематически.
📺 Видео
ТЕОРЕМА ФАЛЕСА . §11 геометрия 8 классСкачать
Теорема Фалеса. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
Геометрия 8 класс Урок 6 Теорема Фалеса Теорема о пропорциональных отрезкахСкачать
№385. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательноСкачать
Теорема ФалесаСкачать
Теорема Фалеса. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
Бомбическая задача на теорему ФалесаСкачать
Теорема Фалеса. Доказательство.Скачать
Теорема ФалесаСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Геометрия 8 класс : Теорема ФалесаСкачать
Пропорциональные отрезки. Теорема о пропорциональных отрезкахСкачать
ЕГЭ математика 2020 | Теорема Фалеса за 10 минут | PARTAСкачать
