Докажите что при осевой симметрии плоскости прямая параллельная оси симметрии отображается на прямую (8 видео)

§ 1. Понятие движения

Содержание

Отображение плоскости на себя
Понятие движения
Наложения и движения
Задачи
Ответы к задачам
П.4 Определение и свойства осевой симметрии плоскости
Прямая, параллельная оси симметрии
Симметрия
🎦 Видео

Отображение плоскости на себя

Слово «движение» вам знакомо. Но в геометрии оно имеет особый смысл. Какой именно, об этом вы узнаете из данной главы. А пока отметим, что с помощью движений удаётся находить красивые решения многих геометрических задач. Примеры таких решений вы найдёте в этой главе.

Представим себе, что каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Фактически мы уже встречались с отображениями плоскости на себя — вспомним осевую симметрию (см. п. 48). Она даёт нам пример такого отображения. В самом деле, пусть а — ось симметрии (рис. 321). Возьмём произвольную точку М, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку М₁ относительно прямой а. Для этого нужно провести перпендикуляр МР к прямой а и отложить на прямой МР отрезок РМ₁, равный отрезку МР, так, как показано на рисунке 321. Точка М₁ и будет искомой. Если же точка М лежит на прямой а, то симметричная ей точка М₁ совпадает с точкой М. Мы видим, что с помощью осевой симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется точка М, этой же плоскости. При этом любая точка М₁ оказывается сопоставленной некоторой точке М. Это ясно из рисунка 321.

Итак, осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Рассмотрим теперь центральную симметрию плоскости (см. п. 48). Пусть О — центр симметрии. Каждой точке М плоскости сопоставляется точка М₁, симметричная точке М относительно точки О (рис. 322). Попытайтесь самостоятельно убедиться в том, что центральная симметрия плоскости также представляет собой отображение плоскости на себя.

Понятие движения

Осевая симметрия обладает следующим важным свойством — это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками.

Поясним, что это значит. Пусть М и N — какие-либо точки, а М₁ и N₁ — симметричные им точки относительно прямой а (рис. 323). Из точек N и N₁ проведём перпендикуляры NP и N₁P₁ к прямой ММ₁. Прямоугольные треугольники MNP и M₁N₁P₁ равны по двум катетам: МР = М₁Р₁ и NP = N₁P₁ (объясните, почему эти катеты равны). Поэтому гипотенузы MN и M₁N₁ также равны.

Следовательно, расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М₁ и N₁. Другие случаи расположения точек М, N и М₁, N₁ рассмотрите самостоятельно и убедитесь в том, что и в этих случаях MN = M₁N₁ (рис. 324). Таким образом, осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением (или перемещением).

Итак, движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Почему отображение, сохраняющее расстояния, называют движением (или перемещением), можно пояснить на примере осевой симметрии. Её можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180° вокруг оси а. На рисунке 325 показано, каким образом происходит такой поворот.

Отметим, что центральная симметрия плоскости также является движением (пользуясь рисунком 326, убедитесь в этом самостоятельно).

Докажем следующую теорему:

При движении отрезок отображается на отрезок.

Пусть при заданном движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки М₁ и N₁ (рис. 327). Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Пусть Р — произвольная точка отрезка MN, Р₁ — точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР + PN = MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то

Из равенств (1) получаем, что М₁Р₁ + P₁N₁ = M₁N₁, и, значит, точка Р₁ лежит на отрезке M₁N₁ (если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство М₁Р₁ +P₁N₁ > M₁N₁). Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁.

Нужно ещё доказать, что в каждую точку Р₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка Р отрезка MN. Докажем это. Пусть Р₁ — произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка Р при заданном движении отображается в точку Р₁. Из соотношений (1) и равенства M₁N₁ = М₁Р₁ + P₁N₁ следует, что МР + PN = MN, и, значит, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана.

При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник.

Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч — на луч, а угол — на равный ему угол.

Наложения и движения

Напомним, что в нашем курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре Фп если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф₁. Понятие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому определение наложения не даётся. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф₁ мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф₁ Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13). Эти аксиомы позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и решении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.

В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф₁, состоящая из точек А и В, равна фигуре Ф₂, состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Ф₂ = Ф₁ (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура Ф₂ отображается в фигуру Ф₁. Но это невозможно, так как наложение — это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.

Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А₁ и В₁. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А₁В₁ (аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку А₁В₁. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости.

Докажем, что верно и обратное утверждение.

Любое движение является наложением.

Рассмотрим произвольное движение (обозначим его буквой g) и докажем, что оно является наложением. Возьмём какой-нибудь треугольник АВС. При движении g он отображается на равный ему треугольник А₁В₁С₁. По определению равных треугольников существует наложение ƒ, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и С₁.

Докажем, что движение g совпадает с наложением ƒ. Предположим, что это не так. Тогда на плоскости найдётся хотя бы одна такая точка М, которая при движении g отображается в точку М„ а при наложении ƒ — в другую точку М2. Так как при отображениях ƒ u g сохраняются расстояния, то AM = А₁М₁, AM = А₁М₂, поэтому A₁M₁ = А₁М₂, т. е. точка А₁ равноудалена от точек М₁ и М₂ (рис. 328). Аналогично доказывается, что точки В₁ и С₁ равноудалены от точек М₁ и М₂. Отсюда следует, что точки А₁, В₁ и С₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М₁М₂. Но это невозможно, так как вершины треугольника А₁В₁С₁ не лежат на одной прямой. Таким образом, отображения ƒ u g совпадают, т. е. движение g является наложением. Теорема доказана.

При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

Задачи

1148. Докажите, что при осевой симметрии плоскости:

а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии;
б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

1149. Докажите, что при центральной симметрии плоскости:

а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;
б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

1150. Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол A₁O₁B₁, причём точки А, О, В отображаются соответственно в точки A₁, О₁, В₁. Так как при движении сохраняются расстояния, то ОА = О₁А₁, ОВ = О₁В₁. Если угол АОВ неразвёрнутый, то треугольники АОВ и А₁О₁В₁ равны по трём сторонам, и, следовательно, ∠AOB = ∠A₁O₁B₁. Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А₁О₁В₁ развёрнутый (докажите это), поэтому эти углы равны.

1151. Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

1152. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

1153. Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

1154. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.

1155. АВС и А₁В₁С₁ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁, С₁.

1156. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁ и С₁, и притом только одно.

По условию задачи треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по трём сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движение, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и С₁. Это движение является единственным движением, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и C₁ (задача 1155).

1157. Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

1158. Даны две прямые а и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью а.

1159. Даны прямая а и четырёхугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырёхугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F?

1160 Даны точка О и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром О.

1161 Даны точка О и треугольник АВС. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник АВС при центральной симметрии с центром О. Что представляет собой фигура F?

Ответы к задачам

1151. Указание. Доказать методом от противного.

1154. Указание. Воспользоваться теоремой п. 119.

1155. Указание. Доказательство провести методом от противного (см. доказательство теоремы п. 119).

1157. Указание. Воспользоваться задачами 1156 и 1051.

1158. Указание. Сначала построить образы каких-нибудь двух точек прямой b.

1159. F — четырёхугольник.

1160. Указание. Задача решается аналогично задаче 1158.

Видео:Задание № 1148 - Геометрия 9 класс (Атанасян)Скачать

П.4 Определение и свойства осевой симметрии плоскости

Точки М и М1 называются симметричными относительно заданной прямой L, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку МM1 (рис 1). Каждая точка прямой L симметрична сама себе. Преобразование плоскости, при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной прямой L, называется осевой симметрией с осью L и обозначается SL: SL (M) = M1.

Точки М и М1 взаимно симметричны относительно L, поэтому SL(M1)=M. Следовательно, преобразование, обратное осевой симметрии, есть та же осевая симметрия: SL -1 = SL, SL ° SL = E. Иначе говоря, осевая симметрия плоскости является инволютивным преобразованием.

Образ данной точки при осевой симметрии можно просто построить, пользуясь только одним циркулем. Пусть L — ось симметрии, A и B — произвольные точки этой оси (рис 2). Если и SL(M) = M1, то по свойству точек серединного перпендикуляра к отрезку имеем: AM = AM1 и BM = BM1. Значит, точка M1 принадлежит двум окружностям: окружности с центром A радиуса AM и окружности с центром B радиуса BM (M — данная точка). Фигура F и её образ F1 при осевой симметрии называются симметричными фигурами относительно прямой L (рис 3).

Теорема. Осевая симметрия плоскости есть движение.

Если А и В — любые точки плоскости и SL(A) = A1, SL(B) = B1, то надо доказать, что A1B1 = AB. Для этого введем прямоугольную систему координат OXY так, чтобы ось OX совпала с осью симметрии. Точки А и В имеют координаты А(x1,-y1) и B(x1,-y2).Точки А1 и В1 имеют координаты A1(x1,y1) и B1(x1,y2) (рис 4 — 8). По формуле расстояния между двумя точками находим:

Из этих соотношений ясно, что АВ=А1В1, что и требовалось доказать.

Из сравнения ориентаций треугольника и его образа получаем, что осевая симметрия плоскости есть движение второго рода.

Осевая симметрия отображает каждую прямую на прямую. В частности, каждая из прямых, перпендикулярных оси симметрии, отображается этой симметрией на себя.

Теорема. Прямая, отличная от перпендикуляра к оси симметрии, и её образ при этой симметрии пересекаются на оси симметрии или ей параллельны.

Доказательство. Пусть дана прямая, не перпендикулярная оси L симметрии. Если m ? L= P и SL(m)=m1, то m1?m и SL(P)=P, поэтому Pm1 (рис 9). Если же m || L , то m1 || L , так как в противном случае прямые m и m1 пересекались бы в точке прямой L, что противоречит условию m ||L (рис 10).

В силу определения равных фигур, прямые, симметричные относительно прямой L, образуют с прямой L равные углы (рис 9).

Прямая L называется осью симметрии фигуры F, если при симметрии с осью L фигура F отображается на себя: SL (F) =F. Говорят, что фигура F симметрична относительно прямой L.

Например, всякая прямая, содержащая центр окружности, является осью симметрии этой окружности. Действительно, пусть М — произвольная точка окружности щ с центром О, ОL, SL(M)= M1. Тогда SL(O) = O и OM1=OM, т. е. M1 є щ. Итак, образ любой точки окружности принадлежит этой окружности. Следовательно, SL(щ)=щ.

Осями симметрии пары непараллельных прямых служат две перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов между данными прямыми. Осью симметрии отрезка является содержащая его прямая, а также серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Свойства осевой симметрии

1. При осевой симметрии образом прямой является прямая, образом параллельных прямых являются параллельные прямые
3. Осевая симметрия сохраняет простое отношение трех точек.
3. При осевой симметрии отрезок переходит в отрезок, луч — в луч, полуплоскость — в полуплоскость.
4. При осевой симметрии угол переходит в равный ему угол.
5. При осевой симметрии с осью d всякая прямая, перпендикулярная оси d остается на месте.
6. При осевой симметрии ортонормированный репер переходит в ортонормированный репер. При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку M` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.
7. Осевая симметрия плоскости переводит правый ортонормированный репер в левый и, наоборот, левый ортонормированный репер — в правый.
8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с параллельными осями есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный данным прямым, длина которого в два раза больше расстояния между данными прямыми

Видео:8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

Прямая, параллельная оси симметрии

Скачать
презентациюСимметричная прямая >>

Докажите, что при осевой симметрии плоскости прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллелью оси симметрии.

Картинка 22 из презентации «Понятие осевой симметрии» к урокам геометрии на тему «Симметрия»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока геометрии, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Понятие осевой симметрии.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива — 739 КБ.

Видео:№ 1148 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

Симметрия

«В мире симметрии» — Что такое симметрия? Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Обратимся к растениям. Симметрия широко встречается в прикладном искусстве. Орнаменты, фризы имеют в своей основе периодически повторяющийся узор. Зачем надо знать о симметрии, изучая технические науки? С симметрии в живой природе.

«Задачи по осевой симметрии» — Сформулируйте свойства осевой симметрии. Осевая симметрия. Имеет ли параллелограмм оси симметрии. Треугольник A’B’C’ симметричен треугольнику ABC. Осевая симметрия переводит точку А в точку А’. Сколько осей симметрии имеет восьмиугольник. Свойства. Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник.

«Задания на симметрию» — Усеченный кубооктаэдр. Наклонный параллелепипед. Осевая симметрия. Квадраты. Пятиугольная антипризма. Два центра симметрии. Кубооктаэдр. Прямоугольный параллелепипед. Пятиугольная призма. Тетраэдр. Грани. Правильная четырехугольная пирамида. Октаэдр. Оси симметрии. Икосододекаэдр. Какие оси симметрии имеет кубооктаэдр.

«Симметрия в искусстве» — «В наслаждении красотою есть элемент наслаждения мышления». В искусстве велика и разнообразна роль ритма. Корабельная роща. IV.Перспектива в искусстве. Айвазовский . Тут Апеллес прервал нетерпеливо: «Суди, дружок, не выше сапога!». Ф.Бэкон. Iii.2. Периодичность в живописи. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии.

«Виды симметрии» — Виды движения. Доказать, что параллельный перенос является движением Доказательство: Параллельный перенос – один из видов движения. Зеркальный двойник оказывается «вывернутым» вдоль направления перпендикулярного к плоскости зеркала. Теорема. Понятие движения. Параллельный перенос. Зеркальная симметрия является движением.

«Симметрия относительно оси» — Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии. А роза упала на лапу Азора. Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии. Я иду с мечем судия. (Г. Р. Державин.). Могут быть палиндромическими и предложения. Написаны тысячи таких предложений. Прямую m называют осью симметрии.