Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Докажите, что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей взаимно перпендикулярны

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Ваш ответ

Видео:№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы

решение вопроса

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,688
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

Внутренние односторонние углы — теория, правило и свойства

Чтобы дать верное определение внутренним односторонним углам, нужно отличать их от вертикальных, смежных, соответственных и накрест лежащих. Их объединяет то, что они могут быть образованы двумя параллельными прямыми и пересекающей их линией. Утверждение о том, что сумма внутренних односторонних углов составляет 180 градусов, позволяет доказать теорему о параллельности прямых.

Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Углы по определению

Прямая, которая пересекает другие линии, идущие параллельно друг другу, образует не только внутренние, но и внешние углы. Один из них дополняет другой до 180 градусов. Это свойство можно доказать как для смежных, так и односторонних внутренних, каждый из которых имеет соответственный внешний.

Углы, расположенные на одной стороне от секущей, пересекающей 2 линии, идущие параллельно, называются накрест лежащими. Они отличаются от односторонних, образуя с ними смежные. В сумме они составляют 180 градусов.

Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.

Видео:№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать

№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°

Доказательство теоремы

Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.

Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.

Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.

Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.

Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.

Видео:№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Следствие из свойства прямых

На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:

Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

  • Вначале следует отметить на прямой а произвольную точку, обозначив ее С1.
  • Далее можно провести через С1 линию с, перпендикулярную а.
  • Затем через точку А нужно начертить АС2, которая параллельна с.
  • После этого следует предположить о существовании перпендикуляра, который вместе с АС2 пересекает линию а с образованием третьего отрезка АС3.
  • Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.

    Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.

    Видео:№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать

    №201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210

    Построение параллелограмма

    Если односторонние углы не прямые, то один из них является острым, а другой — тупым, то есть меньшим или большим по величине. Если через каждый из них провести биссектрисы, то они должны пересечь противоположные стороны в определенных точках. Для этого достаточно отложить отрезки на параллельных линиях, равные AB, используя циркуль.

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Секущая и отрезки, принадлежащие проведенным биссектрисам, образуют 2 треугольника вместе с параллельными. Напротив большего угла будет находиться биссектриса, отсекающая наибольший отрезок. Это подтверждает теорема о соотношении между углами и сторонами разностороннего треугольника.

    Соединив точки пересечения биссектрис с параллельными прямыми, можно построить четырехугольник ABCD. Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, достаточно учесть следующее:

  • По построению AB=BD=AD.
  • Следовательно, AB=CD.
  • Точки C и D равноудалены от A и B.
  • Отрезки AB и CD параллельны.
  • Полученная фигура ABCD представляет собой параллелограмм, так как ее стороны попарно равны и параллельны.

    Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.

    Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.

    Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

    Параллельные прямые (задачи).

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    § 15. Свойства параллельных прямых

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    (обратная теореме 14.1)

    Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

    На рисунке 224 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

    Пусть ∠ 1 ≠ ∠ 2. Тогда через точку K проведём прямую a 1 так, чтобы ∠ 3 = ∠ 2 (рис. 224). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых a 1 и b и секущей c . Тогда по теореме 14.1 a 1 ‖ b . Получили, что через точку K проходят две прямые, параллельные прямой b . Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно, ∠ 1 = ∠ 2. Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    (обратная теореме 14.3)

    Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.

    На рисунке 225 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

    По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 равны как вертикальные. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2. Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    (обратная теореме 14.2)

    Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180° .

    На рисунке 226 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

    По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 смежные, поэтому ∠ 1 + ∠ 3 = 180°. Следовательно, ∠ 1 + ∠ 2 = 180°. Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой ( рис. 227 ).

    Докажите это следствие самостоятельно.

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

    Решение. Пусть прямые a и b параллельны (рис. 228), M и N — две произвольные точки прямой a . Опустим из них перпендикуляры MK и NP на прямую b . Докажем, что MK = NP .

    Рассмотрим треугольники MKN и PNK . Отрезок KN — их общая сторона. Так как MK ⊥ b и NP ⊥ b , то MK ‖ NP , а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и NP и секущей KN .

    Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KP и секущей KN . Следовательно, треугольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам.

    Тогда MK = NP . Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

    Например, на рисунке 228 длина отрезка MK — это расстояние между параллельными прямыми a и b .

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Задача. На рисунке 229 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC , MK ‖ AC . Докажите, что треугольник AMK — равнобедренный.

    Решение. Так как AK — биссектриса треугольника ABC , то ∠ MAK = ∠ KAC .

    Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей AK . Следовательно, ∠ MAK = ∠ MKA .

    Тогда треугольник AMK — равнобедренный. Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    1. Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
    2. Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
    3. Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
    4. Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?
    5. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    326. На рисунке 230 найдите угол 1.

    327. На рисунке 231 найдите угол 2.

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    328. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.

    329. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

    330. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

    1) один из этих углов равен 48°;

    2) отношение градусных мер двух из этих углов равно 2 : 7.

    331. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на 24° меньше другого.

    332. На рисунке 232 m ‖ n , p ‖ k , ∠1 = 50°. Найдите ∠ 2, ∠ 3 и ∠ 4.

    333. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC , пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный.

    334. На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC ( AB = BC ) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK ‖ AB . Докажите, что треугольник KPC — равнобедренный.

    335. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , AO = BO , AC ‖ BD . Докажите, что CO = DO .

    336. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F , DK ‖ ME , DK = ME . Докажите, что ∆ MEF = ∆ DKF .

    337. Ответьте на вопросы.

    1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

    2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

    3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    338. На рисунке 233 AB ‖ CD , BC ‖ AD . Докажите, что BC = AD .

    339. На рисунке 233 BC = AD , BC ‖ AD . Докажите, что AB ‖ CD .

    340. На рисунке 234 MK ‖ EF , ME = EF , ∠ KMF = 70°. Найдите ∠ MEF .

    341. Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK , параллельную прямой AC , ∠ MBA = 42°, ∠ CBK = 56°. Найдите углы треугольника ABC .

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    342. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC . Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

    343. На рисунке 236 ∠ MAB = 50°, ∠ ABK = 130°, ∠ ACB = 40°, CE — биссектриса угла ACD . Найдите углы треугольника ACE .

    344. На рисунке 237 BE ⊥ AK , CF ⊥ AK , CK — биссектриса угла FCD , ∠ ABE = 32°. Найдите ∠ ACK .

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    345. На рисунке 238 BC ‖ MK , BK = KE , CK = KD . Докажите, что AD ‖ MK .

    346. На рисунке 239 AB = AC , AF = FE , AB ‖ EF . Докажите, что AE ⊥ BC .

    347. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC . Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF .

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    348. На рисунке 240 AB ‖ DE . Докажите, что ∠ BCD = ∠ ABC + ∠ CDE .

    349. На рисунке 241 AB ‖ DE , ∠ ABC = 120°, ∠ CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD .

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    350. Через вершину B треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM . Эта прямая пересекает прямую AC в точке K . Докажите, что ∆ BAK — равнобедренный.

    351. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC . Эта прямая пересекает сторону AB в точке M , а сторону BC — в точке K . Докажите, что MK = AM + CK .

    352. Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O . Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC .

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Упражнения для повторения

    353. На отрезке AB отметили точку C так, что AC : BC = 2 : 1. На отрезке AC отметили точку D так, что AD : CD = 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AB ?

    354. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O , AB = BC = CD = AD . Докажите, что AC ⊥ BD .

    355. В треугольнике MOE на стороне MO отметили точку A , в треугольнике TPK на стороне TP — точку B так, что MA = TB . Какова градусная мера угла BKP , если MO = TP , ∠ M = ∠ T , ∠ O = ∠ P , ∠ AEO = 17°?

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Докажите что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей

    Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

    356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

    💡 Видео

    № 211 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

    № 211 - Геометрия 7-9 класс Атанасян

    7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

    7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

    § 4 № 1-51 - Геометрия 7-9 класс ПогореловСкачать

    § 4 № 1-51 - Геометрия 7-9 класс Погорелов

    ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 классСкачать

    ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 класс

    Углы при пересечении двух прямых третьейСкачать

    Углы при пересечении двух прямых  третьей

    Признаки параллельности прямых. Геометрия 7 класс.Скачать

    Признаки параллельности прямых. Геометрия 7 класс.

    Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямымСкачать

    Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямым

    Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

    Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

    Свойства параллельных прямых и секущей. 4 задачи.Скачать

    Свойства параллельных прямых и секущей. 4 задачи.

    8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

    8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла
  • Поделиться или сохранить к себе: