Определение 12. Разностью Двух векторов A и B, называются такой третий вектор С, обозначаемый символом A — B, при сложении которого с вектором B получаем вектор A.
Теорема 7. Для любых векторов A, B Разность A — B существует, единственна и вычисляется по формуле:
Доказательство. Так как
Разность векторов A И B геометрически можно найти двумя способами по определению 12 (см. рис. 13) и по теореме 7 (см. рис 14). По определению 12 разность A — B равна вектору, выходящему из конца второго вектора B в начало первого A, если векторы A И B отложены от одной точки. По теореме 7 разность A — B равна сумме векторов A + (-B).
Вычитание векторов. Как найти разность векторов
Вы будете перенаправлены на Автор24
Откладывание вектора от данной точки
Для того, чтобы ввести разность векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Введем следующую теорему:
От любой точки $K$ можно отложить вектор $overrightarrow$ и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $overrightarrow$.
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».
Теорема доказана.
Вычитание векторов. Правило первое
Пусть нам даны векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$.
Готовые работы на аналогичную тему
Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.
Решение.
Рисунок 3. Разность двух векторов
По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что
Из определения 2, получаем, что
Вычитание векторов. Правило второе
Вспомним следующее необходимое нам понятие.
Вектор $overrightarrow$ называется произвольным для вектора $overrightarrow$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.
Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.
Доказательство.
По определению 2, имеем
Прибавим к обеим частям вектор $left(-overrightarrowright)$, получим
Так как векторы $overrightarrow$ и $left(-overrightarrowright)$ противоположны, то $overrightarrow+left(-overrightarrowright)=overrightarrow$. Имеем
Теорема доказана.
Пример задачи на понятие разности векторов
Рисунок 4. Параллелограмм
Решение.
а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим
Из первого правила разности двух векторов, получаем
б) Так как $overrightarrow=overrightarrow$, получим
По теореме 2, имеем
Используя правило треугольника, окончательно имеем
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 04 2022
Геометрия, 9 класс, урок: «Вычитание векторов»
ГЕОМЕТРИЯ, 9 КЛАСС, УРОК: «ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ»
Тема: Вычитание векторов
Знать, какой вектор является разностью двух векторов, теорему о разности векторов.
Уметь строить разность двух векторов двумя способами, применять эти знания при решении задач.
I. Организационный момент: назвать уели урока.
II. Проверка пройденного материала:
1. Как называются векторы, имеющие равные модули и противоположно направленные?
Б) противоположно направленные
2. Тело переместили из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С. Какой вектор представляет суммарное перемещение тела?
А) 
Б) 
В) 
3. Закончите предложение:
Суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу. (треугольника)
4. Вставьте пропущенное слово:
Чтобы сложить два неколлинеарных вектора 
и
, нужно отложить от произвольной точки О векторы 
= и 
= и построить. ОАСВ, тогда 
=+
5. Изображенный на рисунке способ построения суммы нескольких векторов называется правилом.
III. Объяснение нового материала:
Вычитание векторов, как и вычитание чисел, — это действие, обратное сложению. Разность двух векторов и называется такой вектор 
, который в сумме с вектором дает вектор . Разность векторов и обозначается так: — . Построить разность векторов и можно следующим образом. Отложим от произвольной точки О векторы и . Получим векторы = и =. Тогда вектор 
и будет разностью — , поскольку
=+. Итак, == — = — .
Вычитание векторов можно свести к сложению точно так же, как и в случае чисел а и b:
а — b = а + (- b), где числа b и + (- b) — противоположные.
Итак, нам надо доказать, что результат вычитания вектора из вектора тот же, что и результат сложения векторов а + (- b).
2. Теорема о разности двух векторов.
Теорема (о разности векторов)
Для любых векторов и справедливо равенство — = + (- ).
Отложим от произвольной точки О векторы и . Получим векторы = и =. Тогда, согласно определению, разность векторов и есть вектор , т. е. = — = — . По правилу треугольника = 
+ . Кроме того, = — = —. Поэтому — = = + = (-) + =+(-)=+(-). Теорема доказана.
3. Построение разности векторов.
Доказанная теорема подсказывает еще один способ построения разности векторов и .
Отложим от произвольной точки О отложим вектор = , затем от точки А отложим вектор 
= —. Тогда по теореме о разности двух векторов — = + (-), поэтому — = + = . Итак, мы построили разность векторов и .
Выводы по уроку:
1. Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .
2. Теорема ( о разности двух векторов): Для любых векторов и справедливо равенство:
— = + (-).
IV. Закрепление полученных знаний.
А) Разностью двух векторов и называется такой вектор , построенный по правилу треугольника.
Б) Разностью двух векторов и называется такой вектор , который получается после ряда последовательных сложений
В) Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор
2. Какой вектор, изображенный на рисунке, является разностью векторов и ?
А)
Б)
В)
3. № 000. Дан треугольник АВС. Выразите векторы = и = вектор 
.
а) —
б) —
в) +
4. № 000. Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Модуль ½ — ½ = а
V. Подведение итогов.
VI. Задание на дом: п.82, №№ 000, 756, 767