Доказательство теоремы чевы векторы

Теорема Чевы 1

Теорема Чевы 2

Применения теоремы Чевы

Видео:Он вам не Чева. Теорему забанили на ЕГЭ 2022 по математике. Доказательство теоремы ЧевыСкачать

Теорема Чевы 1

Теорема Чевы 1 . Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁ (рис.1), то отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

.

(1)

Доказательство необходимости . Докажем, что, если отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, то выполнено равенство (1). Для этого проведём через точку B прямую, параллельную прямой AC , и обозначим буквами D и C точки пересечения прямых CC₁ и AA₁ с этой прямой соответственно (рис.2).

(2)

(3)

(4)

(5)

Перемножая равенства (2 – 5), получим

Доказательство необходимости завершено.

Доказательство достаточности . Докажем, что, если выполнено равенство (1), то отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Воспользуемся методом «от противного». С этой целью обозначим буквой O точку пересечения отрезков AA₁ и CC₁ и предположим, что отрезок BB₁ не проходит через точку O (рис. 3).

Проведём через точку O отрезок BB₂ (рис. 4).

Поскольку отрезки AA₁, BB₂ и CC₁ пересекаются в одной точке, то выполнено равенство

(6)

Кроме того, выполнено равенство

(1)

Разделив равенство (6) на равенство (1), получим равенство

следствием которого является равенство

(7)

Из равенства (7) вытекает, что точки B₁ и B₂ совпадают.

Доказательство достаточности завершено.

Видео:✓ Теорема Чевы | Осторожно, спойлер! | Борис ТрушинСкачать

Теорема Чевы 2

Теорема Чевы 2 . Если на продолжениях за точку B сторон AB и CB треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ , а на стороне CA взята точка B₁ , то прямые AA₁ , BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполнено равенство

.

(8)

Доказательство необходимости (случай «а») . Докажем, что, если прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке (рис.5), то выполнено равенство (8). Для этого проведём через точку B прямую, параллельную прямой AC , и обозначим буквами D и C точки пересечения прямых AA₁ и CC₁ с этой прямой соответственно (рис.6).

(9)

(10)

(11)

(12)

Перемножая равенства (9 – 12), получим

Доказательство необходимости в случае «а» завершено.

Доказательство необходимости (случай «b») . Докажем, что если прямые AA₁, BB₁ и CC₁ параллельны (рис.7), то выполнено равенство (8).

Проведём через точку B прямую, параллельную прямой AС , и обозначим буквами D и E точки пересечения прямых AA₁ и CC₁ с этой прямой соответственно (рис.8).

(13)

(14)

Поскольку четырёхугольники ADBB₁ и BECB₁ параллелограммы, то выполнено равенство

откуда вытекает равенство

(15)

Перемножая равенства (13 – 15), получим

Доказательство необходимости в случае «b» завершено.

Замечание . Доказательство достаточности условия (8) в случае 2 проводится аналогично тому, как это было сделано для случая 1, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения.

Видео:Теорема ЧевыСкачать

Применения теоремы Чевы

В разделе нашего справочника «Медиана треугольника» доказана теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC (рис.9).

то выполнено равенство

,

откуда вытекает, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

В разделе нашего справочника «Окружность, вписанная в треугольник» доказана теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC (рис.10).

В соответствии со свойством биссектрисы справедливы равенства

Если перемножить эти три равенства, то мы получим равенство

,

из которого вытекает, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

В разделе нашего справочника «Высота треугольника» доказана теорема о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим сначала высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC (рис.11).

то, перемножив эти три равенства, мы получим равенство

,

из которого вытекает, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема о пересечении высот остроугольного треугольника доказана.

Теперь рассмотрим случай тупоугольного треугольника (рис. 12).

На рисунке 12 изображён треугольник ABC с тупым углом B , высотами которого являются отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ .

то, перемножив эти три равенства, мы получим равенство

,

из которого вытекает, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема о пересечении высот тупоугольного треугольника доказана.

Доказывать теорему о том, что в случае прямоугольного треугольника все высоты пересекаются в одной точке не нужно, поскольку все высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Теорема о пересечении высот треугольника доказана полностью.

Теперь с помощью теоремы Чевы докажем следующую теорему.

Теорема . Рассмотрим окружность, вписанную в произвольный треугольник ABC . Пусть точки A₁, B₁ и C₁ – точки касания этой окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Тогда отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке (рис. 13).

Из этих равенств получаем:

Отсюда с помощью теоремы Чевы заключаем, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Замечание . Точку пересечения отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ , о которых говорится в только что доказанной теореме, называют точкой Жергонна в честь французского математика Жозефа Жергонна (1771 г. – 1859 г.).

Видео:Теорема МенелаяСкачать

Теорема Чевы и Менелая — формулировка, применение и примеры решения

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Видео:Теорема Менелая. Убийца ГРОБА на ЕГЭ 2020 по профильной математикеСкачать

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина — точка, точка — вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B₁C₁ через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B₁CD и B₁AC₁. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B₁ между ними.

Углы B₁CD и B₁AC₁ равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA₁ и BC₁A₁ подобны, так как углы CA₁D и BA₁C₁ равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA₁ равен углу BC₁A₁, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C₁D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Так же выразим CD:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Видео:Теорема Чевы с доказательством за 3 МИНУТЫСкачать

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство:

В честь ученого, доказавшего эту теорему, данные отрезки называют «чевианами».

Доказательство теоремы

Итак, мы имеем треугольник ABC и произвольные чевианы AA1 и BB1.

Третья чевиана CC1 обязательно должна проходить через точку пересечения первых двух. При этом получается, что:

Обозначим за O точку пересечения данных прямых.

Продлим медиану BB1.

Проведём перпендикуляры из вершин A и С таким образом:

Треугольники AKB₁ и CNB₁ подобны по острому углу.

Теперь перемножим равенства:

что и требовалось доказать.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

AC = 4 см, AM = 2 см.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP.

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Подставляем в это соотношение известные данные:

В итоге мы получаем, что y = 4.

Ответ: отрезок AP = 4 см.

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы.

сумма AB и BC равна 13;

Найти: отношение BO и OB1.

Итак, запишем отношение:

Конечным результатом является дробь 13/8.

Видео:#224. Теоремы Менелая, Чевы, Ван-Обеля. Точки Жергонна и НагеляСкачать

Please wait.

Видео:Теорема Менелая | Математика | TutorOnlineСкачать

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:11 класс, 51 урок, Теорема ЧевыСкачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Теорема Чевы. Синусная теорема Чевы. Доказательство через площади.Скачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6cffb493bf3a3a5f • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

🔍 Видео

Теорема ЧевыСкачать

10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

Шаталов за одну минуту доказывает теорему, на которую традиционно выделяется 45 минут урока!Скачать

Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?Скачать

Геометрия: теоремы Менелая, Чевы | Профильная математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Вебинар 4. Планиметрия. Теоремы Менелая и Чевы в действииСкачать

Задача, которую боятсяСкачать

✓ Что такое вектор? Чем отличается понятие "вектор" от понятия "направленный отрезок" | Борис ТрушинСкачать