Доказательство основных свойств векторов

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Видео:Лекция 19. Векторное произведение векторов и его свойства.Скачать

Лекция 19. Векторное произведение векторов и его свойства.

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

Доказательство основных свойств векторов

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Доказательство основных свойств векторов

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Доказательство основных свойств векторов

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .

Видео:Лекция 18. Скалярное произведение векторов и его свойства.Скачать

Лекция 18. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Доказательство основных свойств векторов

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

  1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
    Доказательство основных свойств векторов
  2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
    Доказательство основных свойств векторов
  3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
  4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
  5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
  6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
  7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
  8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
    Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
    Доказательство основных свойств векторов

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.

Свойства векторов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Предварительные сведения

Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.

Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $overline$ — (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $overline$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Готовые работы на аналогичную тему

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Перейдем к определению равенства двух векторов

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

  1. Они сонаправлены;
  2. Их длины равны (рис. 5).

Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.

Суммой векторов $overline$ будем называть вектор $overline=overline$, который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем $overline=overline$, далее от точки $B$ отложем $overline=overline$ и соединим точку $A$ c точкой $C$ (рис. 6).

Свойства сложения векторов

Введем свойства сложения для трех векторов $overline$, $overline$ и $overline$:

Коммутативность сложения векторов:

Ассоциативность трех векторов по сложению:

Сложение с нулевым вектором:

Сложение противоположных векторов

Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Свойства умножения вектора на число

Введем свойства умножения для двух векторов $overline$, $overline$ и чисел $a$ и $b$.

  1. $a(overline+overline)=aoverline+aoverline$
  2. $overline(a+b)=overlinea+overlineb$
  3. $(ab)overline=a(boverline)=b(aoverline)$
  4. $1cdot overline=overline$

Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.

Пример задачи

Провести сложение векторов

Используя свойство сложения 2, получим:

Используя свойство умножения на число 1, получим:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 07 2022

Видео:Смешанное произведение векторовСкачать

Смешанное произведение векторов

22. Простейшие свойства векторного пространства

Рассмотрим те свойства векторного пространства, которые вытекают из его определения.

Свойство 1. В векторном пространстве V существует единственный нулевой вектор 0.

Доказательство. Допустим противное, что в V имеется два нулевых вектора 0 И Доказательство основных свойств векторов Тогда по аксиомам 3° и 1° имеем

0 = 0 + Доказательство основных свойств векторов= Доказательство основных свойств векторов+ 0 = Доказательство основных свойств векторов.

Свойство 2. В векторном пространстве для любого вектора Доказательство основных свойств векторов существует единственный противоположный вектор Доказательство основных свойств векторов.

Доказательство. Допустим противное, что для вектора Доказательство основных свойств векторов имеется два противоположных вектора A1 и A2. Тогда по аксиомам 1° — 4° имеем

Доказательство основных свойств векторов

Определение 3. Разностью Двух векторов A и B, называются такой третий вектор С, обозначаемый символом AB, при сложении которого с вектором B получаем вектор A.

Свойство 3. Для любых векторов A, B Разность AB существует, единственна и вычисляется по формуле:

Доказательство. См. доказательство теоремы 7 из §1.

Свойство 4. Для любых векторов Доказательство основных свойств векторовимеем -(A + B) =(-А) + (-B).

Доказательство. По аксиомам 1° — 4° имеем

В силу единственности противоположного вектора получаем -(A + + B) =(-А) + (-B).

Свойство 5. Для любого вектора Доказательство основных свойств векторовИмеем -(-A) = А.

Свойство 6. Для любых векторов Доказательство основных свойств векторов, если A + B = А + С, то B = С.

Доказательство. Прибавим к обеим частям равенства A + B = =А+ С вектор —А, по аксиомам 1° — 3° получим B = С.

Свойство 7. Для любых векторов Доказательство основных свойств векторовЕсли A + B = А, то B = 0.

Доказательство. Следует из свойства 6.

Свойство 8. Для любого вектора Доказательство основных свойств векторовИмеемA = 0.

Доказательство. По аксиомам 8° и 6° имеем

Отсюда по свойству 7 0×A = 0.

Свойство 9. Для любого числа Доказательство основных свойств векторовИмеем0 = 0.

Доказательство. По аксиоме 5° имеем

Отсюда по свойству 7 a×0 = 0.

Свойство 10. Пусть Доказательство основных свойств векторов, Доказательство основных свойств векторов. a×А = 0 Тогда и только тогда, когда a=0 Или А = 0.

Доказательство. Достаточность условия следует из свойств 9 и 10, а необходимость докажем методом от противного. Допустим, что aА = 0 И Доказательство основных свойств векторовили Доказательство основных свойств векторовТак как Р — поле, то для Доказательство основных свойств векторовсуществует обратный элемент Доказательство основных свойств векторов. Тогда умножая обе части равенства aА = 0 На a-1 и пользуясь аксиомами 7 и 8 последовательно получаем

Доказательство основных свойств векторов

Противоречие. Свойство доказано.

Свойство 11. Пусть Доказательство основных свойств векторов, Доказательство основных свойств векторов. Тогда Доказательство основных свойств векторовИ Доказательство основных свойств векторов

Доказательство. По аксиоме 6° и свойству 8 имеем

Доказательство основных свойств векторов

Отсюда в силу единственности противоположного вектора получаем требуемые равенства.

Свойство 12. Для любых Доказательство основных свойств векторов, Доказательство основных свойств векторов, Если Доказательство основных свойств векторов

Доказательство. По определению разности, аксиоме 6 и свойству 11 имеем

Доказательство основных свойств векторов

Аналогичным образом доказываются следующие три свойства, которые рекомендуется доказать читателю самостоятельно.

Свойство 13. Для любых Доказательство основных свойств векторовИмеем Доказательство основных свойств векторов

Свойство 14. Для любых Доказательство основных свойств векторов,Если Доказательство основных свойств векторов, То A = B.

Свойство 15. Для любых Доказательство основных свойств векторов, Если Доказательство основных свойств векторов , То Доказательство основных свойств векторов

🌟 Видео

Скалярное произведение векторовСкачать

Скалярное произведение векторов

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Математика без Ху!ни. Свойства скалярного и векторного произведений.Скачать

Математика без Ху!ни. Свойства скалярного и векторного произведений.

§13 Свойства векторного произведенияСкачать

§13 Свойства векторного произведения

Коллинеарность векторовСкачать

Коллинеарность векторов

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

9 класс, 20 урок, Свойства скалярного произведения векторовСкачать

9 класс, 20 урок, Свойства скалярного произведения векторов

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Линейная зависимость векторовСкачать

Линейная зависимость векторов

10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

10 класс, 43 урок, Компланарные векторы
Поделиться или сохранить к себе: