Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.
Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.
Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.
Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.
Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.
- Сложение двух векторов
- Сложение нескольких векторов
- Умножение вектора на число
- Свойства операций над векторами
- Свойства векторов
- Предварительные сведения
- Готовые работы на аналогичную тему
- Свойства сложения векторов
- Свойства умножения вектора на число
- Пример задачи
- 22. Простейшие свойства векторного пространства
- 🌟 Видео
Видео:Лекция 19. Векторное произведение векторов и его свойства.Скачать
Сложение двух векторов
Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.
Геометрически сложение векторов выглядит так:
— для неколлинеарных векторов:
— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Сложение нескольких векторов
Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.
Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .
Геометрически оно выглядит следующим образом:
Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .
Видео:Лекция 18. Скалярное произведение векторов и его свойства.Скачать
Умножение вектора на число
Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.
Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .
Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Свойства операций над векторами
Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.
Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .
- Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
- Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
- Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
- Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
- Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
- Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
- Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
- Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.
Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.
Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать
Свойства векторов
Вы будете перенаправлены на Автор24
Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать
Предварительные сведения
Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.
Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: $overline$ — (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).
Одной маленькой буквой: $overline$ (рис. 1).
Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.
Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.
Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).
Готовые работы на аналогичную тему
Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:
- Эти векторы коллинеарны.
- Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).
Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:
- Эти векторы коллинеарны.
- Если они направлены в разные стороны (рис. 4).
Перейдем к определению равенства двух векторов
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
- Они сонаправлены;
- Их длины равны (рис. 5).
Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.
Суммой векторов $overline$ будем называть вектор $overline=overline$, который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем $overline=overline$, далее от точки $B$ отложем $overline=overline$ и соединим точку $A$ c точкой $C$ (рис. 6).
Видео:Векторное произведение векторовСкачать
Свойства сложения векторов
Введем свойства сложения для трех векторов $overline$, $overline$ и $overline$:
Коммутативность сложения векторов:
Ассоциативность трех векторов по сложению:
Сложение с нулевым вектором:
Сложение противоположных векторов
Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.
Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать
Свойства умножения вектора на число
Введем свойства умножения для двух векторов $overline$, $overline$ и чисел $a$ и $b$.
- $a(overline+overline)=aoverline+aoverline$
- $overline(a+b)=overlinea+overlineb$
- $(ab)overline=a(boverline)=b(aoverline)$
- $1cdot overline=overline$
Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.
Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать
Пример задачи
Провести сложение векторов
Используя свойство сложения 2, получим:
Используя свойство умножения на число 1, получим:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 07 2022
Видео:Смешанное произведение векторовСкачать
22. Простейшие свойства векторного пространства
Рассмотрим те свойства векторного пространства, которые вытекают из его определения.
Свойство 1. В векторном пространстве V существует единственный нулевой вектор 0.
Доказательство. Допустим противное, что в V имеется два нулевых вектора 0 И Тогда по аксиомам 3° и 1° имеем
0 = 0 + = + 0 = .
Свойство 2. В векторном пространстве для любого вектора существует единственный противоположный вектор —.
Доказательство. Допустим противное, что для вектора имеется два противоположных вектора —A1 и —A2. Тогда по аксиомам 1° — 4° имеем
Определение 3. Разностью Двух векторов A и B, называются такой третий вектор С, обозначаемый символом A — B, при сложении которого с вектором B получаем вектор A.
Свойство 3. Для любых векторов A, B Разность A — B существует, единственна и вычисляется по формуле:
Доказательство. См. доказательство теоремы 7 из §1.
Свойство 4. Для любых векторов имеем -(A + B) =(-А) + (-B).
Доказательство. По аксиомам 1° — 4° имеем
В силу единственности противоположного вектора получаем -(A + + B) =(-А) + (-B).
Свойство 5. Для любого вектора Имеем -(-A) = А.
Свойство 6. Для любых векторов , если A + B = А + С, то B = С.
Доказательство. Прибавим к обеим частям равенства A + B = =А+ С вектор —А, по аксиомам 1° — 3° получим B = С.
Свойство 7. Для любых векторов Если A + B = А, то B = 0.
Доказательство. Следует из свойства 6.
Свойство 8. Для любого вектора Имеем 0×A = 0.
Доказательство. По аксиомам 8° и 6° имеем
Отсюда по свойству 7 0×A = 0.
Свойство 9. Для любого числа Имеем a×0 = 0.
Доказательство. По аксиоме 5° имеем
Отсюда по свойству 7 a×0 = 0.
Свойство 10. Пусть , . a×А = 0 Тогда и только тогда, когда a=0 Или А = 0.
Доказательство. Достаточность условия следует из свойств 9 и 10, а необходимость докажем методом от противного. Допустим, что aА = 0 И или Так как Р — поле, то для существует обратный элемент . Тогда умножая обе части равенства aА = 0 На a-1 и пользуясь аксиомами 7 и 8 последовательно получаем
Противоречие. Свойство доказано.
Свойство 11. Пусть , . Тогда И
Доказательство. По аксиоме 6° и свойству 8 имеем
Отсюда в силу единственности противоположного вектора получаем требуемые равенства.
Свойство 12. Для любых , , Если
Доказательство. По определению разности, аксиоме 6 и свойству 11 имеем
Аналогичным образом доказываются следующие три свойства, которые рекомендуется доказать читателю самостоятельно.
Свойство 13. Для любых Имеем
Свойство 14. Для любых ,Если , То A = B.
Свойство 15. Для любых , Если , То
🌟 Видео
Скалярное произведение векторовСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Математика без Ху!ни. Свойства скалярного и векторного произведений.Скачать
§13 Свойства векторного произведенияСкачать
Коллинеарность векторовСкачать
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
9 класс, 20 урок, Свойства скалярного произведения векторовСкачать
Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать
Линейная зависимость векторовСкачать
10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать