Доказательство коммутативности сложения векторов

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия
Bodrenko.com
Bodrenko.org

1.2 Операции над векторами.

Сложение векторов. Сумма векторов а и b определяется следующим образом. Отложим вектор а от произвольной точки А, пусть В — конец этого вектора, т.е. а = . Затем отложим вектор b от точки В, пусть b = . Суммойа + bвекторова и b называется вектор, порожденный направленным отрезком (рис.1)
.
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Очевидно, что этот же вектор а + b для неколлиниарных векторов а и b может быть получен (рис.2) как диоганаль параллелограмма, построенного на векторах а и b. Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.

Теорема 2.1. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
1)а + b = b + а, ∀ а, b (свойство коммутативности);
2) (а + b) + с = а + (b + с), ∀ а, b, с (свойство ассоциативности);
3) существует такой вектор 0, называемый нулевым вектором, что
а + 0 = 0 + а = а, ∀ а (свойство существования нейтрального элемента);
4) для любого вектора а существует такой вектор — а (называемый противоположным к вектору a), что а + (- а) = 0 (свойство существования симметричного элемента).

Доказательство. Коммутативность и ассоциативность сложения в случае неколлиниарных векторов а, b и с проверяется непосредственным построением (рис.3) векторов левой и правой частей соответствующих равенств.

Свойства 3 и 4 очевидны: нулевым вектором 0 будет класс эквивалентности нулевых направленных отрезков, противоположным к вектору а = будет вектор
-а = .Теорема доказана.

Разностьювекторов b и а называется вектор x такой, что а + x = b. Обозначение: b — а.

Теорема 2.2. Для любых векторов а и b существует, и притом единственная, разность b — а.

Доказательство. В качестве разности b — а можно взять вектор b + (- а), так как а + (b + (- а)) = а + ((-а) + b) = (а + (-а)) + b = 0 + b = b. Эта разность единственная, так как если с − еще одна разность, то с = с + 0 = (с + а) + (-а) = b + (-а).
Теорема доказана.

Замечание. Правило параллелограмма сложения неколлиниарных векторов а и b позволяет построить и разность b — а как другую диагональ параллелограмма (рис.4).

Умножение вектора на число. Произведением вектора а на вещественное число α называется вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:
1) |b| = |α|•|а| и, в случае b ≠ 0,
2) b ↑↑ а, если α > 0, и b ↑↓ а, если α

$ AlexLat $

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику” – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.

1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.

Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а , от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем: АВ + ВС =АС.

откуда и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в) + с . Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов.

Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор” изображается «отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

Сложение векторов. Как найти сумму векторов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Откладывание вектора от данной точки

Для того, чтобы ввести сумму векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Введем следующую теорему:

От любой точки $K$ можно отложить вектор $overrightarrow$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $overrightarrow$.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Сложение векторов. Правило треугольника

Пусть нам даны векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$.

Рисунок 3. Сумма векторов

Готовые работы на аналогичную тему

Иначе, определение 2, еще называют правилом треугольника для сложения двух векторов.

Из этого правила следует несколько свойств сложения двух векторов:

Для любого вектора $overrightarrow$ выполняется равенство

Для любых произвольных точек $A, B и C$ выполняется равенство

Аналогично правилу треугольника можно строить сумму любого количества векторов. Такое правило сложения называется правилом многоугольника.

Правило параллелограмма

Помимо правила треугольника для сложения двух векторов, есть еще правило параллелограмма для сложения двух векторов. Сформулируем и докажем для начала следующую теорему.

Доказательство.

Переместительный закон:

Рисунок 4. Иллюстрация переместительного закона

Тогда выполнение переместительно закона будет очевидно вытекать из равенства длин $left|overrightarrow+overrightarrowright|и |overrightarrow+overrightarrow|$.

Сочетательный закон:

Рисунок 5. Иллюстрация сочетательного закона

Из свойства правила треугольника $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Теорема доказана.

Пример задачи на сложение векторов

Дан четырехугольник $ABCD$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

ч. т. д.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 04 2022