Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL) Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Аналитическая геометрия Bodrenko.com Bodrenko.org
1.2 Операции над векторами.
Сложение векторов. Сумма векторов а и b определяется следующим образом. Отложим вектор а от произвольной точки А, пусть В — конец этого вектора, т.е. а = . Затем отложим вектор b от точки В, пусть b = . Суммойа + bвекторова и b называется вектор, порожденный направленным отрезком (рис.1) . Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Очевидно, что этот же вектор а + b для неколлиниарных векторов а и b может быть получен (рис.2) как диоганаль параллелограмма, построенного на векторах а и b. Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.
Теорема 2.1. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами: 1)а + b = b + а, ∀ а, b(свойство коммутативности); 2) (а + b) + с = а + (b + с), ∀ а, b, с(свойство ассоциативности); 3) существует такой вектор 0, называемый нулевым вектором, что а + 0 = 0 + а = а, ∀ а(свойство существования нейтрального элемента); 4) для любого вектораасуществует такой вектор — а (называемый противоположным к векторуa), чтоа + (- а) = 0 (свойство существования симметричного элемента).
Доказательство. Коммутативность и ассоциативность сложения в случае неколлиниарных векторов а, b и с проверяется непосредственным построением (рис.3) векторов левой и правой частей соответствующих равенств.
Свойства 3 и 4 очевидны: нулевым вектором 0 будет класс эквивалентности нулевых направленных отрезков, противоположным к вектору а = будет вектор -а = .Теорема доказана.
Разностьювекторов b и а называется вектор x такой, что а + x = b. Обозначение: b — а.
Теорема 2.2. Для любых векторов а и b существует, и притом единственная, разностьb — а.
Доказательство. В качестве разности b — а можно взять вектор b + (- а), так как а + (b + (- а)) = а + ((-а) + b) = (а + (-а)) + b = 0 + b = b. Эта разность единственная, так как если с − еще одна разность, то с = с + 0 = (с + а) + (-а) = b + (-а). Теорема доказана.
Замечание. Правило параллелограмма сложения неколлиниарных векторов а и b позволяет построить и разность b — а как другую диагональ параллелограмма (рис.4).
Умножение вектора на число. Произведением вектора а на вещественное число α называется вектор b, удовлетворяющий следующим условиям: 1) |b| = |α|•|а| и, в случае b ≠ 0, 2) b ↑↑ а, если α > 0, и b ↑↓ а, если α
Видео:8 класс, 44 урок, Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать
$ AlexLat $
Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику” – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.
Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.
1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.
Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а ,от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с.Тогда мы имеем: АВ + ВС =АС.
откуда и следует равенство а +( в + с ) = (а + в)+ с . Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов.
Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор” изображается «отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.
Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать
Сложение векторов. Как найти сумму векторов
Вы будете перенаправлены на Автор24
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Откладывание вектора от данной точки
Для того, чтобы ввести сумму векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Введем следующую теорему:
От любой точки $K$ можно отложить вектор $overrightarrow$ и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $overrightarrow$.
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».
Помимо правила треугольника для сложения двух векторов, есть еще правило параллелограмма для сложения двух векторов. Сформулируем и докажем для начала следующую теорему.
Доказательство.
Переместительный закон:
Рисунок 4. Иллюстрация переместительного закона
Тогда выполнение переместительно закона будет очевидно вытекать из равенства длин $left|overrightarrow+overrightarrowright|и |overrightarrow+overrightarrow|$.
Сочетательный закон:
Рисунок 5. Иллюстрация сочетательного закона
Из свойства правила треугольника $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:
