Определение
Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.
Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.
Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.
Теорема
Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:
Доказательство теоремы
- Проведем отрезок CD равный отрезку CB.
- △BCD — равнобедренный, значит ∠ CBD=∠CDB.
- Рассмотрим △ABD: ∠ ABD >∠ CBD, следовательно ∠ ABD >∠ CDB, то AB
Видео:№251. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.Скачать
Презентация на тему: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
Теорема 1Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок ВD, равный стороне ВС. Треугольник ВDC — равнобедренный. Поэтому 1= 2. Угол 2 составляет часть угла ACD. Следовательно, 2 AC. Но AD=AB+BD=AB+BC. Следовательно, имеем неравенство AB+BC > AC, или AC № слайда 2 
Теорема 2Длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины самой ломаной.Доказательство. Рассмотрим, например, ломаную ABCDE. Заменим соседние стороны AB и BC на отрезок AC. При этом длина ломаной уменьшится или, по крайней мере, не увеличится. Будем и дальше заменять соседние стороны ломаной на отрезки, пока не дойдем до отрезка, соединяющего начало и конец ломаной. При этом каждый раз длина ломаной не будет увеличиваться. Значит, длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины всей ломаной.
Упражнение 1Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 13 см, 2 см, 8 см; б) 1 м, 0,5 м, 0,5 м?
Упражнение 2Могут ли стороны треугольника относится как: а) 1 : 2 : 3; б) 2 : 3 : 6; в) 1 : 1 : 2?
Упражнение 3В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая 10 см. Какая из них является основанием?
Упражнение 4Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 6 см и 3 см; б) 8 см и 2 см.
Упражнение 5В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 12 см, а другая – 5 см. Найдите периметр данного треугольника.
Упражнение 6Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Одна из сторон больше другой в два раза. Найдите длины сторон этого треугольника.
Упражнение 7Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.
Упражнение 8В треугольнике ABC AC = 3,8 см, AB = 0,6 см. Длина стороны BC выражается целым числом. Найдите его.
Упражнение 9В каких пределах может изменяться периметр p треугольника, если две его стороны равны a и b (a № слайда 12 
Упражнение 10Для точек А, В, С, D на плоскости выполняются равенства АВ = 3 см, ВС = 4 см, CD = 5 см и неравенство AC + BD 2 см. Найдите AD.
Упражнение 11Пусть ABC – треугольник, D – точка на стороне BC. На прямой AB найдите такую точку E, для которой разность CE – DE наибольшая.
Упражнение 12Внутри выпуклого четырехугольника ABCD найдите точку O, сумма расстояний от которой до вершин четырехугольника наименьшая.Ответ: Точка пересечения диагоналей. Для любой другой точки O’ сумма расстояний от нее до вершин будет больше.
Упражнение 13В равнобедренном треугольнике ABC через середину боковой стороны BC = 8 см проведен перпендикуляр, пересекающий основание в точке D, которая соединена с вершиной B. Найдите основание AC данного треугольника, если периметр треугольника ABD равен 20 см.
Упражнение 14В равнобедренном треугольнике ABC через середину боковой стороны BC=14 см проведен перпендикуляр, пересекающий другую боковую сторону AC в точке D, которая соединена с вершиной B. Найдите основание AB, если периметр треугольника ABD равен 21 см.
Упражнение 15На рисунке изображены стержни, соединенные шарнирами, которые могут свободно двигаться. Для каждой конструкции найдите наибольшее и наименьшее расстояния, на которые можно раздвинуть концы A и B.
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Неравенство треугольника
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Данный видеоурок предназначен для самостоятельного ознакомления с темой «Неравенство треугольников», которая входит в школьный курс геометрии за седьмой класс. На занятии учитель познакомит с неравенством треугольника, вытекающим из теоремы о сторонах и углах треугольника.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки «Связь числа и геометрии. Часть 2. Треугольники. Координаты», «Основы геометрии»
📺 Видео
Почему каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон?Скачать
Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать
7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать
Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать
Почему в треугольнике против большей стороны - больший угол ➜ ДоказательствоСкачать
Лайфхак для школьников\Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать
7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать
Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать
Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Соотношение сторон треугольника 30-60-90 (доказательство)Скачать
Неравенство треугольника. Доказательство.Скачать
ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Первый признак равенства треугольников | Теорема + доказательствоСкачать
Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)Скачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
