Пифагоров треугольник 12 16 (7 видео) | Курс школьной геометрии

Психоматрица по дате рождения(Квадрат Пифагора)

Квадрат Пифагора — это отдельное направление нумерологии. По сути это учение берет свое начало от египетских жрецов. Именно они одни из первых начали сопоставлять качества характера человека в зависимости от чисел. Пифагор взял за основу эти знания о числах и применил к ним математический аспект, основанный на гармонии квадрата.

Пифагор и его последовали расширили возможности египетской системы, дополнив значения отдельных цифр значениями целевых линий квадрата Пифагора. Таким образом новое учение помогало выявить возможную цель жизни человека.

Содержание

Теорема Пифагора
Основные понятия
Теорема Пифагора: доказательство
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?
Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?
Пифагоров треугольник 12 16
📸 Видео

Видео:Египетский треугольник. Пифагоровы тройки.Скачать

Теорема Пифагора

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:В треугольнике ABC DE – средняя линия ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

a = √c 2 − b 2
b = √c 2 − a 2
c = √a 2 + b 2

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.

Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

Видео:ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИСкачать

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Видео:Как Решать Экономические #16 ЕГЭ 2024 | Кредиты и Вклады | Школа ПифагораСкачать

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

Проведём отрезок A₁B₁.
Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
Таким образом получится:

Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
A₁B₁ = AB по доказанному результату.

Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Видео:Вариант #16 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2024| Математика Профиль| Оформление на 100 БалловСкачать

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Видео:Вариант #12 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2024| Математика Профиль| Оформление на 100 БалловСкачать

Пифагоров треугольник 12 16

Введение

Аннотация: Данная работа исследовательская. Автор предлагает разбить все множество треугольников Герона на два класса:

Треугольники, у которых длина меньшего катета выражена четным числом
Треугольники, у которых длина меньшего катета выражена нечетным числом.

Для каждого класса треугольников сформулированы в виде теорем их свойства, обнаруженные автором работы. Выведены формулы для расчета радиусов вписанных и описанных окружностей таких треугольников. Доказано свойство суммы квадратов медиан, проведенных из вершин острых углов. По результатам исследования и выведенных формул составлен генератор треугольников Герона (в таблицах Excel), с помощью которого можно найти все элементы любого треугольника Герона. Проведено сравнение периметров и площадей прямоугольных героновых треугольников, их необычных свойств. В приложении указаны все расчёты

Цель работы: рассмотреть различные виды прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами и площадями; выявить их свойства, провести классификацию таких треугольников.

Задачи: вывести формулы связи радиусов вписанной и описанной окружности; сравнить площади и периметры рассматриваемых треугольников.

Объект исследования: прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами

Предмет исследования: свойства героновых прямоугольных треугольников

Проблема: Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Проблема в том, чтобы классифицировать такие треугольники; вывести формулы связи для радиусов вписанной и описанной окружностей, выявить и сформулировать свойства героновых треугольников.

Гипотеза: можно так классифицировать треугольники Герона, что радиусы вписанных в них окружностей будут последовательными натуральными числами.

В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел (x,y,z) удовлетворяющих соотношению Пифагора: x 2 + y 2 = z 2 . При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка (x,y,z) называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, x,y,z являются взаимно простыми числами. Нетрудно видеть, что в примитивной тройке (x,y,z) числа x и y имеют разную чётность, причем чётное делится на 4, а z — всегда нечётно. Любая примитивная пифагорова тройка (x,y,z) , где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности, которые можно вычислить по формулам:

Наоборот, любая такая пара чисел (m,n) задаёт примитивную пифагорову тройку (1, Серпинский В.Н.)

Пифагоровы тройки известны давно. В архитектуре древних месопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3,4,5 ( 9 +16 =25). Если гипотенуза геронова треугольника является числом четным, то медиана, проведенная к гипотенузе, а, следовательно, и радиус описанной около такого треугольника окружности, также будут целыми числами.

Еще один интересный факт просматривается на приведенном рисунке:

Этот рисунок был приведен в статье на сайте Wolfram Math World [6]. Меня он очень заинтересовал: захотелось выяснить, какие значения будут принимать радиусы вписанных окружностей для других треугольников. Появилась гипотеза: можно так классифицировать треугольники Герона, что радиусы вписанных в них окружностей будут последовательными натуральными числами.

В ходе работы мной были составлены таблицы, анализируя которые я обнаружил много замечательных свойств прямоугольных треугольников Герона.

Основная часть. В начале исследования закономерности никакой не наблюдалось. Но затем, я заметил, что закономерность есть, если все треугольники Герона разбить на два класса:

треугольники, длина меньшего катета которых выражается нечетным числом и
треугольники, длина меньшего катета которых выражается четным числом.

Радиус описанной окружности вычислял, учитывая, что он равен половине гипотенузы. А радиус вписанной окружности из соображений, что S = , значит, , где S = (половина произведения катетов), то есть = .

Рассмотрим прямоугольные треугольники с меньшим катетом кратным трем и выберем из них те, для которых другой катет равен 4k и гипотенуза равна 5k:

(3;4;5); (6;8;10); (9;12; 15); (12;16;20)… . Для таких треугольников найдем радиусы вписанной и описанной окружностей. Получаем для (3; 4; 5) r = 1; R= 2,5.

Для (6;8;10) r = 2; R= 5. Для (9;12;15) r = 3; R= 7,5. Для (12;16;20) r = 4; R= 10….

Для 1. (3k;4k;5k) r = n; R= 2,5n, где n и k натуральные числа.

Проведем такие же расчеты для треугольников других видов (Результаты исследования приведены в виде таблиц в приложении ) :

(5k;12k;13k): r = 2k; R = 6,5k
(7k;24k;25k): r = k; R =12,5k
(9k;40k;41k): r = k; R=20,5k
(11k;60k;61k): r = 5k; R=30,5k

На n-ном месте будет треугольник с меньшим катетом (2n+ 1)k.

Таким образом, выведена формула для расчета радиусов вписанной и описанной окружностей для прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, причем меньший катет равен нечетному числу. Результат исследования можно сформулировать в виде теоремы:

Теорема 1. Если у геронова треугольника меньший катет равен нечетному числу (2n+ 1) , где n = 1,2,3,…, то

второй катет и гипотенуза отличаются на единицу, то есть являются последовательными натуральными числами;
радиус вписанной окружности равен r = n;
радиус описанной окружности равен R = n(n + 1) +
квадрат меньшего катета равен сумме гипотенузы и другого катета

Как можно использовать эту формулу?

Если известен один катет, то можно вычислить n , а зная n можно вычислить все остальные элементы прямоугольного треугольника: R вычисляем по нашей формуле. А зная R, можно вычислить гипотенузу такого треугольника, как с = 2R , а зная гипотенузу, по теореме Пифагора можно найти и второй катет.

Например, возьмем n = 33. Имеем меньший катет (2n + 1) = 67; тогда по выведенной нами формуле R = 2,5 + 33(33+1) – 2 = 1122,5, следовательно, гипотенуза равна 2 R = 2245. По теореме Пифагора найдем второй катет: Таким образом, мы получаем тройку чисел (67; 2244; 2245).

Если известен меньший катет, так же можно вычислить все остальные элементы прямоугольного треугольника. Пусть он равен, допустим, 17. Тогда из равенства 2n+ 1 = 17 найдем 2n = 16, то есть n = 8. R вычисляем по нашей формуле: R = 2,5 + 8(8+1) – 2 = 72,5. А зная R, можно вычислить гипотенузу такого треугольника, как с = 2R = 145 , а зная гипотенузу, по теореме Пифагора можно найти и второй катет: .

Таким образом, мы получаем тройку чисел (17;144;145).

То есть выведенную формулу можно использовать для нахождения новых пифагоровых троек: а = 2n + 1; в = 2n(n+1); с = 2n(n+1) +1; для вычисления радиусов вписанных и описанных окружностей для пифагоровых треугольников.

То есть, я предлагаю генератор треугольников Герона (или пифагоровых троек) первого класса: