Доказательство формулы длины дуги окружности

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Длина окружности обозначается буквой C и вычисляется по формуле:

C = 2πR,
где Rрадиус окружности.

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Вывод формулы, выражающей длину окружности

Путь C и C’ — длины окружностей радиусов R и R’. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через Pn и P’n их периметры, а через an и a’n их стороны. Используя формулу для вычисления стороны правильного n-угольника an = 2R sin (180°/n) получаем: Pn = n · an = n · 2R sin (180°/n), P’n = n · a’n = n · 2R’ sin (180°/n). Следовательно, Pn / P’n = 2R / 2R’. (1) Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как Pn → C, P’n → C’, n → ∞, то предел отношения Pn / P’n равен C / C’. С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R / 2R’. Таким образом, C / C’ = 2R / 2R’. Из этого равенства следует, что C / 2R = C’ / 2R’, т. е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π («пи»). Из равенства C / 2R = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R: С = 2πR.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Длина дуги окружности

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина l дуги в 1° равна 2πR / 360 = πR / 180. Поэтому длина l дуги окружности с градусной мерой α выражается формулой l = (πR / 180) · α.

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Доказательство формулы длины дуги окружностиОсновные определения и свойства. Число π
Доказательство формулы длины дуги окружностиФормулы для площади круга и его частей
Доказательство формулы длины дуги окружностиФормулы для длины окружности и ее дуг
Доказательство формулы длины дуги окружностиПлощадь круга
Доказательство формулы длины дуги окружностиДлина окружности
Доказательство формулы длины дуги окружностиДлина дуги
Доказательство формулы длины дуги окружностиПлощадь сектора
Доказательство формулы длины дуги окружностиПлощадь сегмента

Доказательство формулы длины дуги окружности

Видео:Длина дуги окружностиСкачать

Длина дуги окружности

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьДоказательство формулы длины дуги окружности
ДугаДоказательство формулы длины дуги окружности
КругДоказательство формулы длины дуги окружности
СекторДоказательство формулы длины дуги окружности
СегментДоказательство формулы длины дуги окружности
Правильный многоугольникДоказательство формулы длины дуги окружности
Доказательство формулы длины дуги окружности
Окружность
Доказательство формулы длины дуги окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаДоказательство формулы длины дуги окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругДоказательство формулы длины дуги окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторДоказательство формулы длины дуги окружности

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментДоказательство формулы длины дуги окружности

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникДоказательство формулы длины дуги окружности

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Доказательство формулы длины дуги окружности

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Доказательство формулы длины дуги окружности

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Формулы для площади круга и его частей

Доказательство формулы длины дуги окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Доказательство формулы длины дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Доказательство формулы длины дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Доказательство формулы длины дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Доказательство формулы длины дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаДоказательство формулы длины дуги окружности
Площадь сектораДоказательство формулы длины дуги окружности
Площадь сегментаДоказательство формулы длины дуги окружности
Площадь круга
Доказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораДоказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Доказательство формулы длины дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаДоказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Доказательство формулы длины дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Как выводится формула длины дуги окружности?Скачать

Как выводится формула длины дуги окружности?

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Доказательство формулы длины дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиДоказательство формулы длины дуги окружности
Длина дугиДоказательство формулы длины дуги окружности
Длина окружности
Доказательство формулы длины дуги окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиДоказательство формулы длины дуги окружности

если величина угла α выражена в радианах

Доказательство формулы длины дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Доказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 класс

Длина окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Доказательство формулы длины дуги окружности

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Доказательство формулы длины дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Доказательство формулы длины дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Доказательство формулы длины дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Доказательство формулы длины дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Доказательство формулы длины дуги окружности

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Доказательство формулы длины дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Доказательство формулы длины дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Доказательство формулы длины дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Доказательство формулы длины дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Доказательство формулы длины дуги окружности

Видео:ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия Атанасян

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Доказательство формулы длины дуги окружности

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Доказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности

Доказательство формулы длины дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Доказательство формулы длины дуги окружности

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Доказательство формулы длины дуги окружности

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Площадь сектора и сегмента. 9 класс.

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Длина окружности и площадь кругаСкачать

Длина окружности и площадь круга

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | Инфоурок

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:Вычисление формулы длины окружностиСкачать

Вычисление формулы длины окружности

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Поделиться или сохранить к себе: