Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L1 и L2, принадлежащих линии пересечения.

Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

  1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ1. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1»C» и 2»3», совпадают с фронтальным следом пл. γ1. Он обозначен на рисунке как f0γ1 и расположен параллельно оси x.
  2. Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
  3. Находим горизонтальную проекцию точки L1 на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L1 лежит на фронтальном следе плоскости γ.
  4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ2. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L2.
  5. Через L1 и L2 проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Содержание
  1. Пересечение плоскостей, заданных следами
  2. Пересечение плоскостей треугольников
  3. Позиционные задачи в начертательной геометрии с примерами
  4. Позиционные задачи
  5. Задачи на принадлежность
  6. Задачи на пересечение
  7. Задачи на параллельность
  8. Относительное положение прямой и плоскости
  9. Принадлежность точки и прямой линии плоскости
  10. Параллельность прямой и плоскости
  11. Линии уровня плоскости
  12. Пересечение прямой общего положения и плоскости частного положения
  13. Пересечение двух плоскостей частного положения
  14. Пересечение плоскости общего положения и плоскости частного положения
  15. Пересечение прямой общего положения и плоскости общего положения. Первая позиционная задача
  16. Пересечение двух плоскостей общего положения. Вторая основная позиционная задача
  17. Сечение поверхности плоскостью
  18. Точка на поверхности
  19. Сечение поверхности вращения плоскостью частного положения
  20. Цилиндрические сечения
  21. Конические сечения
  22. Пересечение прямой с поверхностью
  23. Принадлежность точки и прямой
  24. Пересечение плоскостей
  25. Пересечение прямой и плоскости
  26. Параллельность
  27. Лекция 3. Плоскость
  28. 3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах
  29. 3.2. Плоскости частного положения
  30. 3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости
  31. Упражнение
  32. 3.4. Главные линии плоскости
  33. 3.5. Взаимное положение прямой и плоскости
  34. 3.5.1. Параллельность прямой плоскости
  35. 3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью
  36. Упражнение
  37. Упражнение
  38. 3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек
  39. 3.7. Перпендикулярность прямой плоскости
  40. 3.8. Взаимное положение двух плоскостей
  41. 3.8.1. Параллельность плоскостей
  42. Упражнение
  43. 3.8.2. Пересечение плоскостей
  44. Упражнение
  45. Упражнение
  46. Упражнение
  47. Упражнение
  48. 3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости
  49. Упражнение
  50. Упражнение
  51. 3.9. Задачи для самостоятельного решения

Видео:Линия пересечения плоскостейСкачать

Линия пересечения плоскостей

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П1 и П2.

Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

  1. Находим точку L’1, расположенную на пересечении горизонтальных следов h0α и h0β. Точка L»1 лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’1.
  2. Находим точку L»2 на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’2 лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L»2.
  3. Проводим прямые l’ и l» через соответствующие проекции точек L1 и L2, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

  1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3»=A»B»∩f и 5»=A»С»∩f, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
  2. Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N» расположена на фронтальном следе f на одной линии связи с N’.

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

  • Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.
  • Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π2. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π2. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.

    Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π1. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π1. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

    Видео:Пересечение плоскостей, заданных параллельными и пересекающимися прямымиСкачать

    Пересечение плоскостей, заданных параллельными и пересекающимися прямыми

    Позиционные задачи в начертательной геометрии с примерами

    Содержание:

    Позиционными задачами называются задачи на построение элементов, общих для взаимодействующих объектов, и задачи на взаимное положение геометрических объектов. Первая группа задач включает задачи на принадлежность и задачи на пересечение. Ко второй группе задач относятся задачи на параллельность геометрических объектов.

    Задачи на перпендикулярность объектов относят к метрическим задачам, которые будут рассмотрены в следующем разделе. Позиционные задачи, в которых участвуют поверхности, будут рассмотрены в главе «Поверхности».

    Классификация позиционных задач, относящихся к элементарным геометрическим объектам (точка, прямая, плоскость), представлена на рисунке 4.1. Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Видео:Линия пересечения двух плоскостей, заданных своими следамиСкачать

    Линия пересечения двух плоскостей, заданных своими следами

    Позиционные задачи

    Задачи, связанные с определением взаимного расположения геометрических объектов в пространстве, традиционно называют позиционными.

    Поскольку Начертательная геометрия изучает объекты расширенного Евклидова пространства Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    В линейной алгебре утверждается, что для всех объектов пространства справедливо выражение (в соответствии с рисунком 4.1)
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми
    где N— размерность рассматриваемого пространства,

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми— размерность объектов этого пространства, р — размерность пересечения этих объектов.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Очевидно, все позиционные задачи, с точки зрения линейной алгебры, можно свести к определению вида и размерности пересечения.

    Полагая, что рассматриваемое
    пространство трехмерно, при вычислении размерности пересечения исходное выражение примет видПересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Заметим, что этот подход позволяет определить только и только размерность
    Рассмотрим вопрос о принадлежности точки прямой, точки и прямой -плоскости. Особенность решения этих вопросов заключается в том, что прямая и точка на чертеже задаются проекциями, а плоскость — соответствием трех пар точек.

    Задачи на принадлежность

    Эта группа задач содержит три типовые задачи — точка принадлежит прямой, точка принадлежит плоскости, прямая принадлежит плоскости, суть решения которых основана на свойствах проецирования. Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки принадлежат одноименным проекциям прямой. Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, находящейся в этой плоскости (рисунок 4.2а). Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащих плоскости. Поэтому для того, чтобы указать в плоскости какую-либо точку, необходимо сначала указать в плоскости прямую, а затем на этой прямой указать положение точки.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    На рисунках 4.3 показано построение прямой в плоскостях, заданных треугольником и следами. Если плоскость задана треугольником, то целесообразно упомянутые точки взять на сторонах треугольника. Если плоскость задана следами, то в качестве двух точек целесообразно взять следы прямой. Это основано на следующем свойстве: если плоскость задана следами и в ней находится прямая, то следы прямой лежат на одноименных следах плоскости.

    На рисунке 4.4 представлено построение точек в плоскости, заданной следами и точки в плоскости, заданной треугольником. В первом случае точка А построена с помощью горизонтали. На этом же рисунке показано построение точек (К и L), находящихся на следах плоскости. Во втором случае точка К построена с помощью прямой 1-2. Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    С рассматриваемым вопросом тесно связан вопрос о проведении плоскости частного положения (например, проецирующих плоскостей) через прямую.

    Если прямая принадлежит плоскости частного положения и плоскость задается следами, то одна из проекций прямой будет совпадать с собирательным следом плоскости в соответствие с рисунком 4.5.

    На рисунке 4.6 в эпюрной форме показано проведение через прямую фронтально проецирующей плоскости а и горизонтально проецирующей плоскости Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Задачи на пересечение

    Задача на пересечение двух прямых рассмотрена ранее в разделе «Пересекающиеся прямые».

    Наиболее важной позиционной задачей является задача о пересечении прямой с плоскостью. При решении задачи могут встретиться следующие случаи пересечения:

    1. Прямая общего положения пересекается с плоскостью частного положения;
    2. Прямая частного положения (например, проецирующая) пересекается с плоскостью общего положения;
    3. Прямая общего положения пересекается с плоскостью общего положения.

    Решение первых двух задач не представляет особых трудностей (рисунок 4.7). На рисунке 4.7а дано построение точки встречи прямой общего положения с горизонтально-проецирующей плоскостью, а на рисунке 4.76 — горизонтально-проецирующей прямой с плоскостью общего положения. Последняя задача решена с помощью вспомогательной прямой 1-2. Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Для решения задачи о пересечении прямой с плоскостью в общем положении разработана следующая методика (рисунок 4.8а):

    1. Через прямую проводят вспомогательную плоскость частного положения Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми(чаще всего проецирующую плоскость, заданную следами);
    2. Находят линию пересечения заданной а и вспомогательной плоскостей Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми(линия 1-2);
    3. Находят точку пересечения заданной прямой и найденной линии пересечения плоскостей. Полученная точка К — искомая.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 4.8 — Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

    На рисунке 4.86 дана пространственная схема решения задачи, в которой прямая пересекается с плоскостью, заданной следами. В качестве вспомогательной плоскости взята горизонтально-проецирующая плоскость.

    На рисунке 4.9 дано решение задачи на пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения, заданной треугольником. В качестве вспомогательной плоскости использована горизонтально-проецирующая плоскость.

    Видимость проекций определена методом конкурирующих точек (прямых). Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    К главным задачам на пересечение относится также задача о пересечении двух плоскостей. Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, принадлежащая как одной, так и другой плоскости. Следовательно, для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям (рисунок 4.10). Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Если плоскости заданы следами, то исходя из рисунка 4.106 линия пересечения таких плоскостей определяется точками пересечения одноименных следов. На рисунке 4.11 представлены решения задач о пересечении двух плоскостей, заданных следами. Во втором случае одна из плоскостей является плоскостью общего положения, а другая -фронтально-проецирующей. Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 4.11 — Пересечение плоскостей, заданных следами В случаях, если плоскости заданы разными способами, применяют общий метод построения линии пересечения, основанный на введении вспомогательных плоскостей (рисунок 4.12).

    Сущность метода заключается в том, что заданные плоскости Q и Р дважды пересекают вспомогательными плоскостями а и Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми(например, горизонтальными). Находят линии их пересечения с заданными плоскостями, далее находят точки 1 и 2 пересечения найденных линий и соединяют полученные точки прямой линией, которая является линией пересечения заданных плоскостей.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Если пересекающиеся плоскости являются плоскостями частного положения, или если одна из пересекающихся плоскостей является плоскостью частного положения, то задача упрощается. На рисунке 4.14 представлены примеры решения задач на пересечение упомянутых плоскостей. И более трудоемкой задачей является задача на пересечение двух плоскостей общего положения, заданных плоскими фигурами, например, треугольниками, многоугольниками и т.д.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    При пересечении плоских фигур возможны два случая пересечения (рисунок 4.15): полное пересечение (а) и неполное пересечение (б). Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 4.15 — Полное и неполное пересечение плоских фигур

    В обоих случаях линия пересечения треугольников определяется двумя точками 1 и 2, каждая из которых определяется как точка пересечения стороны одного треугольника с плоскостью другого. Отсюда следует вывод: для того, чтобы построить линию пересечения

    треугольников, необходимо дважды решить задачу о пересечении стороны одного треугольника с плоскостью другого треугольника (типовая задача о пересечении прямой с плоскостью). При этом пару пересекающихся объектов можно подбирать произвольно. В любом случае линия пересечения будет построена.

    Задачи на параллельность

    Задача на параллельность двух прямых была рассмотрена ранее в разделе «Параллельные прямые».

    Задачи на параллельность плоскостей основываются на положениях элементарной геометрии. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости взаимно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рисунок 4.16а).

    Если две параллельные плоскости заданы следами, то одноименные следы таких плоскостей параллельны друг другу (рисунок 4.166).

    Прямая будет параллельна плоскости в том случае, если она параллельна любой прямой, находящейся в этой плоскости. Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Пример: Через прямую АВ провести профильно-проецирующую плоскость (рисунок 4.17).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Решение: Как было показано ранее горизонтальный и фронтальный следы профильно-проецирующей плоскости располагаются параллельно оси ОХ. Было также показано, что если прямая принадлежит плоскости, заданной следами, то следы прямой находятся на одноименных следах плоскости. Сказанное позволяет разработать план решения задачи:

    1. Найдем горизонтальный и фронтальный следы прямой;
    2. Через найденные следы прямой проведем одноименные следы плоскости.

    Пример: Через точку провести плоскость, параллельную заданной (рисунок 4.18). Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Решение: Плоскость задана следами. Искомую плоскость целесообразно тоже задать следами. Чтобы обеспечить параллельность плоскостей, необходимо следы искомой плоскости провести параллельно одноименным следам заданной плоскости.

    Для того чтобы искомая плоскость проходила через заданную точку, необходимо через точку провести прямую (например, горизонталь), которая принадлежала бы искомой плоскости. Исходя из изложенного, определяется следующий план решения задачи:

    1. Проводим через заданную точку горизонталь h;
    2. Через фронтальный след горизонтали проводим фронтальный след искомой плоскости параллельно фронтальному следу заданной плоскости;
    3. Горизонтальный след искомой плоскости проводим параллельно горизонтальному следу заданной плоскости.
    4. Через фронтальный след горизонтали проводим фронтальный след искомой плоскости параллельно фронтальному следу заданной плоскости;
    5. Горизонтальный след искомой плоскости проводим параллельно горизонтальному следу заданной плоскости.

    Пример: Построить линию пересечения треугольников АВС и EDK, определить видимость проекций (рисунок 4.19).

    Построить линию пересечения треугольников АВС и EDK, определить видимость проекций (рисунок 4.19).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Решение: Предварительно намечаем две произвольные задачи на пересечение стороны одного треугольника с плоскостью другого (произвольно). Например, Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Решаем первую задачу. Через ED проводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость а (след плоскости Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми— Она пересекает треугольник АВС в двух точках Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымина сторонах АВ и ВС. Находим горизонтальные проекции этих точек Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымии соединяем их. Линия 1-2 является линией пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью треугольника АВС. Ищем точку пересечения линии 1-2 с прямой ED. Это точка Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми, которая лежит вне треугольника АВС, но является точкой линии пересечения треугольников.

    Аналогично решаем вторую задачу. В качестве вспомогательной плоскости берем горизонтально-проецирующую плоскость Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиВ результате решения задачи получаем точку М.

    Далее соединяем полученные точки L и М. Однако не вся эта линия будет являться линией пересечения треугольников, а лишь участок MN, который принадлежит обоим треугольникам. Таким образом, в результате решения двух произвольно выбранных задач получили линию MN пересечения заданных треугольников.

    Определяем видимость проекций треугольников. При определении видимости проекций методом конкурирующих точек (прямых) необходимо учитывать следующие особенности:

    1. Плоскости треугольников считаются геометрически непрозрачными;
    2. В точках М и N линии пересечения видимость сторон треугольников меняется;
    3. Если при вершине какого-либо треугольника одна сторона видна (не видна), то и другая сторона будет видна (не видна).

    Учет перечисленных особенностей позволяет определить видимость проекций треугольников по анализу одного конкурирующего места на каждой проекции, что значительно ускоряет решение задачи.

    Отметим на фронтальной проекции любое конкурирующее место из шести (отмечено кружочком). Проведем через него линию связи и вдоль линии связи сравним ординаты конкурирующих прямых ЕК и АВ. Наибольшую ординату имеет прямая АВ. Она и будет видна на рассматриваемой фронтальной проекции. Видимость остальных сторон треугольников определяется с учетом особенностей, отмеченных выше.

    На горизонтальной проекции отметим конкурирующее место, в котором конкурируют прямые АВ и ED. Аналогично описанному определяем, что на горизонтальной проекции будет видна прямая АВ, так как у ней наибольшая аппликата. Видимость остальных сторон треугольников определим аналогично рассмотренному выше.

    Для усиления эффекта видимости треугольников на проекциях целесообразно один их треугольников заштриховать с учетом видимости или раскрасить оба треугольника.

    На рисунке 4.196 представлено наглядное аксонометрическое изображение пересекающихся треугольников в косоугольной фронтальной изометрии. Вершины треугольников строятся по заданным координатам точек, линия пересечения MN — по координатам, взятым с проекционного чертежа.

    Относительное положение прямой и плоскости

    Прямая по отношению к плоскости может занимать три различных
    положения:

    • • прямая l лежит в плоскости (рис. 8.1,а);
    • • прямая n параллельна плоскости (рис. 8.1, б);
    • • прямая d пересекается с плоскостью (рис. 8.1,в).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.1. Относительное положение прямой и плоскости:
    а — l ⊂ α ; б — n || β ; в — d х γ

    Принадлежность точки и прямой линии плоскости

    Прямая линия принадлежит плоскости, если две точки этой прямой принадлежат плоскости (рис. 8.2).

    Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости (см. рис. 8.2).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.2. Принадлежность точки и прямой линии плоскости:

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Параллельность прямой и плоскости

    Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 8.3).
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.3. Параллельность прямой и плоскости:
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Линии уровня плоскости

    Прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные одной из плоскостей проекций, называются линиями уровня плоскости.

    Прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонталью плоскости (рис. 8.4). Все горизонтали плоскости параллельны между собой, поскольку каждая из них может быть получена как линия пересечения данной плоскости общего положения и горизонтальной плоскости уровня.
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.4. Горизонтали плоскости:
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рассмотрим построение горизонтали плоскости общего положения α(ABC) (рис. 8.5,а).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.5. Линии уровня плоскости:

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Фронтальная проекция любой горизонтали всегда перпендикулярна линиям связи, поэтому построение горизонтали начинается с построения ее фронтальной проекции h2 Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми(A1A2) . Поскольку горизонталь лежит в плоскости, она пересекается с прямой (AB) в точке 1 ,ас прямой (BC) -в точке 2. Горизонтальные проекции точек 1 и 2 однозначно определят положение горизонтальной проекции горизонтали h1(11 — 21).

    Фронталь плоскости β( a||b )строится аналогично, но построение фронтали начинается с построения ее горизонтальной проекции (рис. 8.5,б). Все фронтали плоскости также параллельны между собой, поскольку каждая из них может быть получена как линия пересечения данной плоскости общего положения и фронтальной плоскости уровня.

    Таким образом, любую плоскость общего положения можно представить как совокупность параллельных линий уровня — горизонталей, фронталей или профильных прямых. Иными словами, плоскость общего положения, заданную любым способом, можно также задать параллельными линиями уровня или пересекающимися горизонталью и фронталью. Такой способ задания плоскостей наиболее удобен для решения ряда метрических задач.

    Пересечение прямой общего положения и плоскости частного положения

    Рассмотрим построение точки пересечения K фронтально-проецирующей плоскости γ(γ2)Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиП2 и прямой a(α1,a2) общего положения (рис. 8.6).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.6. Пересечение прямой общего положения и плоскости частного положения:
    а- наглядное изображение;
    б — комплексный чертеж

    Пересечение двух плоскостей частного положения

    Линией пересечения двух фронтально-проецирующих плоскостей δ(δ2) и σ(σ2) является фронтально-проецирующая прямая l (рис. 8.7).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.7. Пересечение плоскостей частного положения:
    а-наглядное изображение; б — комплексная проекция

    линии пересечения двух фронтально-проецирующих плоскостей δ(δ2)и σ(σ2)определяется как точка пересечения фронтальных следов плоскостей δ2 и σ2: l22×σ2, а горизонтальная проекция строится по линии связи, перпендикулярно направлению оси x12.

    Пересечение плоскости общего положения и плоскости частного положения

    Линией пересечения двух плоскостей (рис. 8.8) является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, принадлежащие обеим плоскостям одновременно.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.8. Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью
    а — наглядное изображение; б — комплексный чертеж

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рассмотрим построение линии пересечения l плоскости общего положения α(a×b) и фронтально-проецирующей плоскости δ(δ2)(рис. 8.8, б). Линия, по которой пересекаются две плоскости, принадлежит обеим плоскостям одновременно, следовательно, для ее построения достаточно определить две точки, общие для пересекающихся плоскостей, или одну точку и направление линии пересечения.

    В данном случае, достаточно определить точки пересечения прямых а и b с плоскостью δ(δ2). Они однозначно определят линию пересечения l.

    Пересечение прямой общего положения и плоскости общего положения. Первая позиционная задача

    Задача об определении точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения называется первой позиционной задачей. На рис. 8.9 представлено наглядное изображение решения первой позиционной задачи.
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.9. Пересечение прямой общего положения и плоскости общего положения

    Дано: а(ABC) — плоскость общего положения;
    a (a 1, a2) — прямая общего положения.

    Определить: K=a×α(ABC).

    Решение:

    1. Прямую заключить во вспомогательную плоскость частного положения: αeβ.

    2. Определить линию l как линию пересечения вспомогательной и заданной плоскостей l=α (ABC) Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиβ.

    3. Определить взаимное положение заданной прямой a и полученной прямой l.

    Поскольку прямые a и l лежат в одной плоскости, они могут пересекаться или быть параллельными. Точка пересечения K=a×l и является искомой точкой пересечения прямой а с плоскостью α(ABC). Если прямые a и l параллельны, то прямая а параллельна плоскости α(ABC).

    Определение точки пересечения прямой a(a1,a2) и плоскости α(ABC) на комплексном чертеже:

    1. Заключить прямую a(a 12) во вспомогательную проецирующую плоскость β(β2) (рис. 8.10).

    2. Определить линию пересечения l(1-2) вспомогательной плоскости β(β2) и заданной плоскости α(ABC):
    l = α(ABC) Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиβ(β2); 122; l1=( 11-22).
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.10. Пересечение прямой a(a1,a2 )и плоскости α( ABC)

    3. Определить взаимное положение заданной прямой a и полученной прямой l. В данном случае, прямые а и lпересекаются в точке K, которая и является искомой точкой пересечения прямой a(a1,a2) и плоскости α(ABC):
    11×a 1=K1; K2∈a2; K= a(a1,a2)×α(ABC).

    4. Считая плоскость непрозрачной, определить видимость прямой a(a1 ,a2) относительно плоскости α(ABC)

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.11. Определение видимости относительно горизонтальной плоскости проекций:
    а — наглядное изображение;
    б — комплексный чертеж

    Для определения видимости относительно горизонтальной плоскости проекций необходимо найти конкурирующие точки — точки, горизонтальные проекции которых совпадают.

    Прямые a и (AB) в пространстве являются скрещивающимися (точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи), поэтому для определения видимости прямой относительно плоскости достаточно определить видимость прямой a относительно прямой (AB) (8.11). Для этого рассмотрим две конкурирующие точки: 4 — на прямой a и 5 — на прямой (AB). Высота точки 5 больше, следовательно, на П1 видима прямая (AB), то есть плоскость, а прямая a — невидима.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.12. Определение видимости относительно фронтальной плоскости проекций:
    а — наглядное изображение; б — комплексный чертеж

    Видимость прямой а по отношению к плоскости α(ABC) на фронтальной плоскости проекций (рис. 8.12) определяется с помощью конкурирующих точек 2на прямой (AC) и 3-на прямой а. Глубина точки 3 больше, следовательно, видима будет прямая а.

    Пересечение двух плоскостей общего положения. Вторая основная позиционная задача

    Вторая позиционная задача — это задача об определении линии пересечения двух плоскостей. Наглядное изображение решения второй позиционной задачи показано на рис. 8.13.
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.13. Пересечение двух плоскостей общего положения

    Алгоритм решения второй позиционной задачи состоит в следующем:

    1. Заданные плоскости α(a||b) и β(c×d) пересечь вспомогательной плоскостью частного положения γ.

    2. Определить линии пересечения m и n вспомогательной плоскости с каждой из заданных плоскостей:
    γ Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиα(a || b) = m ;
    γ Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиβ(c X d) = n .

    3. Определить точку M пересечения линий m и n. Точка M принадлежит прямой m, а, следовательно, и плоскости α (a||b). Точка M принадлежит прямой n, следовательно, и плоскости β(c×d). Таким образом, точка M принадлежит обеим плоскостям, то есть является одной из точек линии пересечения.

    4. Вторую точку линии пересечения определяют аналогично, рассекая плоскости α(a||b) и β(c×d) вспомогательной плоскостью частного положения γ’.

    Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения α(a||b) и β(c×d) на комплексном чертеже:

    1. Пересечь данные плоскости вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью γ(γ2)Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиП2 (рис. 8.14).

    2. Определить линии пересечения вспомогательной плоскости с каждой из заданных плоскостей:
    m =γ(γ2)Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиα(a||b); m22;
    n =γ(γ2)Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиβ(c×d); n22;

    3. Определить точку пересечения прямых n и m:M=n× m.

    4. Точка M ⊂ m Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиM ⊂ a(a || b); M ⊂ nПересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиM ⊂ β(c ×d) таким образом, точка M является одной из точек искомой линии пересечения плоскостей.

    5. Точка M’ определяется аналогично, вспомогательной плоскости γ / (γ / 2).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиПересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.14. Вторая позиционная задача

    6. Через полученные точки M и M’ провести прямую l. Прямая l -искомая линия пересечения плоскостей α( a || b) и β( c × d).

    Сечение поверхности плоскостью

    В сечении поверхности плоскостью получается плоская кривая линия, которую строят по отдельным точкам. Сначала строят опорные точки — точки смены видимости и экстремальные (крайние). Точки смены видимости принадлежат очерковым образующим поверхности. Экстремальными точками являются: самая близкая и самая удаленная, высшая и низшая и т. д. относительно плоскостей проекций.

    Если проекция линии пересечения этими точками не определяется полностью, то строят дополнительные, промежуточные между опорными, точки. При построении сечений секущая плоскость обычно считается прозрачной и определяется только видимость поверхности и линии сечения.

    Точка на поверхности

    Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии на этой поверхности. Для построения точек на поверхности или определения недостающих проекций строится сечение поверхности вспомогательной плоскостью. Вспомогательная плоскость выбирается таким образом, чтобы в сечении получались простые линии — прямые или окружности. Кроме того, окружность в сечении должна проецироваться на одну из плоскостей проекций без искажения.
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.15. Точка на поверхности сферы:
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Любая плоскость рассекает поверхность сферы по окружности (рис. 8.15), но без искажения на соответствующую плоскость проекций проецируются только окружности, лежащие в плоскостях уровня. Таким образом, для построения точки на поверхности сферы в качестве вспомогательных плоскостей используются только плоскости уровня.

    На поверхности конуса можно получить как окружности, так и прямые линии.
    Для построения горизонтальной проекции точки A на поверхности конуса (рис. 8.16, 8.17), конус рассекается горизонтальной плоскостью уровня α(α2), проходящей через точку A.

    В сечении конуса получается окружность радиуса r, которая проецируется на П1 без искажения — как окружность 11 с центром в точке 01 радиусом r1=r. Фронтальная проекция окружности -12 представляет собой отрезок [ 11 2 1].

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.16. Точка на поверхности конуса

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.17. Построение точки на поверхности конуса

    Горизонтальная проекция точки A строится на пересечении вертикальной линии связи (A2A1) и окружности l1. При этом фронтальной проекции A2 могут соответствовать две точки — A и A’.

    Поскольку любая плоскость, проходящая через вершину конуса, рассекает его по двум пересекающимся прямым, вспомогательную плоскость можно задать точкой A и осью вращения конуса (рис. 8.18).
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.18. Точка на поверхности конуса

    Если необходимо определить фронтальную проекцию точки A, принадлежащей поверхности конуса (рис. 8.19,а), конус рассекается вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскостью β(A, i), проходящей через ось вращения конуса и искомую точку. Плоскость β(A, i) пересекает основание конуса в точке 1. Вершина конуса S и точка 1 определят образующую конуса l, проходящую через точку A:

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми.
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.19. Построение точки на поверхности конуса:
    а — определение фронтальной проекции;
    б — определение горизонтальной проекции

    Если необходимо определить горизонтальную проекцию точки A, принадлежащей поверхности конуса (рис. 8.19,б), конус рассекается вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью γ(γ2) eS. Плоскость γ(γ2) пересекает основание конуса в точках 3 и 4. Вершина конуса S и точка 3 определят образующую конуса m, проходящую через точку A:
    m2= γ2, m1=(S1,31); A1 Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиm1;
    m’22, m’1=(S1,31); A’1βm , 1.

    Таким образом, данной фронтальной проекции точки A2 могут соответствовать две точки — A и A / .

    Сечение поверхности вращения плоскостью частного положения

    Рассмотрим построение линии пересечения поверхности закрытого тора с фронтально-проецирующей плоскостью μ(μ2) (рис. 8.20). Сначала определяются опорные точки: 1 и 2 — точки пересечения плоскости μ(μ2) с плоскостью основания тора, точка 3 — точка пересечения плоскости μ(μ2) с очерковой образующей тора.

    Промежуточные точки 4 и 5 строятся при помощи вспомогательной плоскости уровня γ(γ2), которая рассекает поверхность тора по линии:
    l=Ф m Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиγ(γ2), 122; l — окружность радиуса r, а плоскость μ(μ2) — по фронтально-проецирующей прямой:
    P=μ(μ2)nγ(γ2); pПересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиП2; l ×p=4,5.

    Точки 4 и 5 пересечения полученных линий принадлежат секущей плоскости μ(μ 2 ) и линии l поверхности тора, то есть принадлежат плоскости и поверхности одновременно, а следовательно, являются точками искомой линии пересечения m.

    Точки 6, 7, 8 и 9 определяются аналогично. Полученные точки соединяют плавной лекальной кривой и определяют видимость линии пересечения m относительно поверхности.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.20. Сечение поверхности вращения плоскостью частного положения

    При построении сечений поверхности плоскостью общего положения выполняют такое преобразование комплексного чертежа, при котором плоскость займет частное положение.

    Цилиндрические сечения

    В сечении цилиндрической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии:

    Окружность, если секущая плоскость δ(δ2) перпендикулярна оси вращения цилиндра (рис. 8.21);

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.21. Окружность

    Эллипс, если секущая плоскость α(α2) наклонена под произвольным углом к оси цилиндра (рис. 8.22);

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.22. Эллипс

    Две параллельные прямые (образующие), если секущая плоскость ν(ν2)
    параллельна оси цилиндра (рис. 8.23)

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.23. Параллельные прямые

    На плоскость, перпендикулярную оси вращения поверхности, окружность и эллипс на поверхности цилиндра проецируются в окружность, совпадающую с проекцией всей поверхности.

    Конические сечения

    Кривые линии, которые получаются в сечении прямого кругового конуса плоскостью, называются коническими сечениями. В зависимости от положения секущей плоскости по отношению к конической поверхности образуются
    следующие линии:

    Окружность, если секущая плоскость η(η2) перпендикулярна оси вращения конуса i (рис. 8.24).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.24. Окружность

    Две пересекающиеся прямые, если секущая плоскость β(β2) проходит через вершину поверхности конуса (рис. 8.25).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми
    Рис. 8.25. Пересекающиеся прямые

    Эллипс (рис. 8.26), если секущая плоскость μ(μ2) пересекает все образующие, расположенные по одну сторону от вершины конуса.

    Точки A и B являются опорными и не требуют дополнительных построений (см. рис. 95.). Отрезок [AB] определяет большую ось эллипса. Для определения малой оси отрезок [A2B2] делят пополам. Так получается центр эллипса — точка O. Затем через точку O проводят вспомогательную плоскость σ(σ2), которая пересекает поверхность конуса по окружности:
    σ(σ2)Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиФ к =l; 122; 11 — окружность;
    σ(σ2) Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиμ(μ2)=m; mПересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиПσ2;
    m1×l1=C1D1; [C1D1] — малая ось эллипса.

    Для построения фокуса проводят биссектрису угла Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиS2B2A2, между образующей конуса и следом секущей плоскости μ2 до пересечения с осью конуса. Из полученной точки опускают перпендикуляр на след плоскости μ2. Эта точка F и является фокусом. Из точки A2 откладывают расстояние AF’=FB.

    Свойство эллипса: сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равна большой оси эллипса АВ=FP+F’P.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.26. Эллипс

    Парабола (рис. 8.27), если секущая плоскость λ(λ2) параллельна одной из образующих поверхности конуса.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми
    Рис. 8.27. Парабола

    Точка К — вершина параболы (см. рис. 96). Точки N и Mлежат на основании. Фокус параболы строится при проведении биссектрисы угла Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиS2К2M2 и перпендикуляра на секущую плоскость λ(λ2). F2К22d2, d -директриса, d Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиλ(λ2).

    Свойство параболы: расстояние от любой точки параболы до ее фокуса равно расстоянию от этой точки до директрисы WD=WF.

    Гипербола (рис. 8.28), если секущая плоскость ω(ω2) пересекает обе половины поверхности конуса.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.28. Гипербола

    При пересечении конуса образуются две части гиперболы 5 и 5′. G и G’ -вершины гиперболы, F(F 1, F2) и F'(F 1‘, F2) — фокусы гиперболы, O(O 1, O2) -центр гиперболы, а и a′ — асимптоты гиперболы, получающиеся как прямые, параллельные образующим конуса S1 и S2, полученным при рассечении его плоскостью δ(δ2),параллельной плоскостиω(ω2).

    Свойство гиперболы: разность расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами гиперболы RF-RF’=GG’.

    Пересечение прямой с поверхностью

    Прямая по отношению к поверхности может занимать следующие положения:

    • прямая касается поверхности (одна общая точка);
    • прямая пересекает поверхность (две и более общих точек);
    • прямая не пересекает и не касается поверхности (общих точек нет).

    Алгоритм решения задач об определении взаимного положения поверхности и прямой аналогичен решению первой позиционной задачи (рис. 8.29):

    1. Прямая заключается во вспомогательную плоскость частного положения.
    2. Определяется линия пересечения вспомогательной плоскости и заданной поверхности, то есть, строится сечение поверхности вспомогательной плоскостью.
    3. Определяется взаимное положение полученной линии (сечения) и заданной прямой. Точки пересечения являются искомыми точками пересечения прямой с поверхностью.
    4. Определяется видимость прямой относительно поверхности.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.29. Пересечение прямой с поверхностью

    Для построения точки пересечения поверхности сферы с горизонталью (рис. 8.30), горизонталь заключают во вспомогательную горизонтальную плоскость уровня γ(γ2).

    Сечение сферы горизонтальной плоскостью уровня представляет собой окружность l с центром в точке O2 и радиусом r=O2l2, которая проецируется на П1 без искажения. Затем определяются точки пересечения окружности l1 и заданной горизонтали h1 :
    h 1×11=A1, B1; A2, B2∈h2.

    Далее следует определить видимость прямой: между точками A и B прямая невидима на обеих проекциях, поскольку находится внутри сферы, фронтальная проекция горизонтали находится выше фронтальной проекции очерковой образующей сферы, поэтому горизонталь на П1 видима; точка A имеет большую глубину, чем очерковая образующая сферы, поэтому на фронтальной проекции горизонталь видима до точки A, а за точкой B — невидима.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.30. Пересечение прямой с поверхностью сферы

    Для построения точки пересечения поверхности закрытого тора с прямой общего положения (рис. 8.31), прямую заключают во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость δ(δ2). Далее строится сечение тора плоскостью δ(δ2):

    Точки 1 и 2 — точки пересечения с основанием и точка 3 — опорные точки на очерковой образующей определяются без дополнительных построений;

    Точки 4 и 5 также опорные (лежат на образующих, проекции которых совпадают с осью тора). Точки 4 и 5 определяются как точки на поверхности тора с помощью вспомогательной плоскости γ’.

    Промежуточные точки 6,7,8,9 определяются аналогично.

    Полученные точки соединяются плавной лекальной кривой m. Линия m -сечение тора плоскостью δ(δ2). Затем определяют точки A и B пересечения полученной линии m с прямой a и определяют видимость. Точки A и B -искомые точки пересечения прямой с поверхностью тора.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рис. 8.31. Пересечение прямой общего положения с поверхностью тора

    2. m = δ(δ2)Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиΦ т ;
    γ(γ2) — вспомогательная плоскость;
    γ(γ2) Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиФ т = l; l2 = γ2, 11 — окружность;
    γ(γ2) Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиδ(δ2) = p; p Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиП2;
    l×p = 6, 7 — промежуточные точки сечения m;
    m×a = A, B — искомые точки пересечения прямой с поверхностью тора;

    3. Определить видимость прямой относительно поверхности тора.

    Принадлежность точки и прямой

    Вопрос о принадлежности точки прямой решается на основе свойств (особенностей) метода проецирования. Точка С лежит на прямой АВ, если ее проекции, в соответствии с рисунком 4.2, лежат на одноименных проекциях Прямой Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    В геометрии принято считать, что прямая принадлежит плоскости, если две ее точки (действительные или несобственные) принадлежат этой плоскости (рисунки 4.3, 11.8)

    В соответствии с рисунком 4.3 прямая AВ лежит в плоскости Р. Это обуславливается тем, что точка A лежит на следе Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиа точка В — на следе Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    При условии, что одна из точек плоскости, через которые проходит прямая, лежит на следе и является несобственной (в соответствии с рисунками 4.4 и 4.5), прямая общего положения переходит в прямую частного положения (линию уровня).

    В плоскости различают горизонтальную линию уровня h (рисунки 4.4, 11.9) и фронтальную линию уровня Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми(рисунки 4.5, 11.9).

    В силу специального расположения следов Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиплоскости они (следы) являются линиями уровня. След Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиявляется горизонталью, а Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымифронталью этой плоскости.

    Фронтали и горизонтали плоскости получили название главных линии плоскости.
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Вопрос о принадлежности точки плоскости можно свести к предыдущей задаче. Достаточно добиться того, чтобы точка лежала на одной из прямых плоскости (рисунки 4.6, 11.8)

    Точка С лежит на прямой АВ (ее проекции, в соответствии с рисунком 4.2, лежат на одноименных проекциях прямой Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиПрямая Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымит.к. две ее точки принадлежат плоскости Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиПоследнее утверждение очевидно вследствие того, что эти точки лежат на следах плоскости. Следовательно, можно утверждать что Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми(рисунок 4.6).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Пересечение плоскостей

    В соответствии с формулой р=2+2-3=1 пересечение двух плоскостей должно привести к появлению одномерного объекта, т.е. прямой линии. Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения (Р и Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымидостаточно найти две точки, одновременно принадлежащие этим плоскостям. В случае задания плоскостей следами (в соответствие с рисунком 4.7) решение очевидно.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Пересечение горизонтальных следов Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымидает возможность определить положение одной общей точки М, а пересечение фронтальных следов Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымии

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми— другой общей точки N. Линия NM по определению лежит одновременно в двух плоскостях и, следовательно, она является линией пересечения.

    Если одна из плоскостей проецирующая (например, горизонтально-проецирующая, в соответствии с рисунком 4.8, 4.12), то линия пересечения Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиможет быть найдена из тех же самых соображений. Характерным здесь является то, что одна из проекций линии пересечения попадает на след проецирующей плоскости. Если обе плоскости — проецирующие, то и линия их пересечения — проецирующая (рисунок 4.8).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    При пересечении плоскости общего положения плоскостью уровня в сечении получается соответствующая линия уровня (рисунок 4.9).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Определение линии пересечения двух плоскостей для других случаев, например, при задании плоскостей треугольником (симплексом) и параллельными прямыми, базируется на следующей идее. Три плоскости всегда пересекаются в одной точке. Следовательно, введение дополнительной плоскости к двум, уже имеющимся, позволит определить точку, одновременно принадлежащую заданным плоскостям. Проиллюстрируем это на рисунке 4.10.
    Две плоскости, заданные параллельными и пересекающимися прямыми, пересекаются по прямой ЕК, найденной с помощью секущих плоскостей уровня S и Т. Плоскость S пересекает Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымипо прямой 12, а плоскость (m//n) по прямой 34. На пересечении прямых 12 и 34 отмечается точка К. Аналогично строится точка Е, полученная с помощью секущей плоскости Т.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Пересечение прямой и плоскости

    Пересечением прямой и плоскости в пространстве является точка, что подтверждается и вычислением по формуле р=1 +2-3=0.
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Прямая L в пространстве (в соответствии с рисунком 4.11) может рассматриваться как результат пересечения проецирующих плоскостей Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымии Р. При этом проекции прямой нужно рассматривать как соответствующие следы этих плоскостей Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымии Р.

    Восстановление одной из проецирующих плоскостей, например Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымив соответствии с рисунком 4.11 приведет к тому, что линия MN будет линией пересечения Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымии Р. В силу этой особенности линия MN оказывается в одной плоскости с линией L. В пересечении этих прямых и будет лежать искомая точка К. Ее (точки К) проекции лежат на проекциях линии L и, следовательно, она лежит на этой линии. С другой стороны, эта точка лежит на линии MN, принадлежащей плоскости Р, следовательно, искомая точка пересечения — К.

    Аналогичное решение этой задачи и в случае задания плоскости Р треугольником (симплексом). Восстановление одной из проецирующих плоскостей (например, Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми, в соответствии с рисунком 4.12) приведет к тому, что линия MN будет линией пересечения Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымии Р. В силу вышесказанного, в пересечении прямых MN и / будет лежать искомая точка К. Она одновременно принадлежит и плоскости Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымии t и, следовательно, К — искомая точка пересечения.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Параллельность

    Частным случаем пересечения прямых и плоскостей является взаимная параллельность. В трехмерном пространстве отсутствует полная параллельность. Понятие параллельности вводится с помощью признаков (условий).

    При параллельности пересечением является несобственный элемент.
    Признак параллельности прямых следует непосредственно из определения пересечения прямых (раздел 2.1). В соответствии с рисунком 4.13 одноименные проекции параллельных прямых попарно параллельны (параллельные прямые пересекаются в несобственной точке).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Признаком параллельности плоскостей является то, что две пересекающиеся прямые одной плоскости должны быть параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рисунок 4.14).
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Такими прямыми могут быть следы. В этом случае одноименные следы должны быть параллельны между собой Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    В любом другом случае (в соответствии с рисунком 4.14) должна соблюдаться параллельность пересекающихся прямых, образующих плоскости,
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми
    Параллельность прямой и плоскости должны отвечать следующему условию: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых этой плоскости. В соответствии с вышесказанным и рисунком 4.15 проекции

    пространственной прямой должны быть параллельны соответствующим проекциям прямой, лежащей в плоскости.
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Прямая n параллельна прямой m, лежащей в плоскости Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямымиПрямая АВ параллельна прямой MN, лежащей в плоскости Р, заданной следами.

    Рекомендую подробно изучить предметы:
    1. Инженерная графика
    2. Начертательная геометрия
    3. Компас
    4. Автокад
    5. Черчение
    6. Проекционное черчение
    7. Аксонометрическое черчение
    8. Строительное черчение
    9. Техническое черчение
    10. Геометрическое черчение
    Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
    • Методы преобразования эпюра Монжа
    • Касательные плоскости
    • Пересечение поверхностей вращения плоскостью
    • Виды, разрезы, сечения
    • Метод замены плоскостей проекций
    • Проецирование прямой линии
    • Проецирование плоскости
    • Плоскость на эпюре Монжа

    При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

    Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

    Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

    Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

    Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

    Видео:Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

    Точка встречи прямой с плоскостью

    Лекция 3. Плоскость

    Видео:Построение следов плоскостиСкачать

    Построение следов плоскости

    3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

    Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

    Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

    Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

    Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ1, фронтальный – απ2 и профильный – απ3, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π1, фронтальной π2 и профильной π3 (Рисунок 3.2).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

    Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

    Параллельность прямой к плоскости

    3.2. Плоскости частного положения

    Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

    Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

    Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

    Фронтально-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

    Горизонтально-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

    Профильно-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

    Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

    Фронтальная плоскость уровня плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

    Горизонтальная плоскость уровня плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

    Профильная плоскость уровня плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

    Видео:Взаимное пересечение двух плоскостейСкачать

    Взаимное пересечение двух плоскостей

    3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

    Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

    left.beginalpha=mparallel n,\Dinalpha\Cinalpha\endright> Longrightarrow CDinalpha

    Видео:Следы прямой Взаимное положение двух прямыхСкачать

    Следы прямой  Взаимное положение двух прямых

    Упражнение

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.7 – Решение задачи

    Решение :

    1. ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
    2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
    3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим фронтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K: A2C2B2D2=K2.
    4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD: на проекции диагонали B1D1 строим К1.
    5. Через А1К1 проводим проекцию диагонали А1С1.
    6. Точку С1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А1К1.

    Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

    СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

    3.4. Главные линии плоскости

    В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

    Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

    Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π1) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

    Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π2) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

    Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π3) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Интерактивная модель Горизонталь плоскости
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Интерактивная модель Фронталь плоскости
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Интерактивная модель Профильная прямая плоскости
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

    Видео:Построение точки пересечения прямой с плоскостью, заданной следамиСкачать

    Построение точки пересечения прямой с плоскостью, заданной следами

    3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

    Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

    3.5.1. Параллельность прямой плоскости

    Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

    alpha=mcap n\left.begina_2parallel m_2\a_1parallel m_1\endright> Rightarrow aparallelalpha

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

    3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

    Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

    1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
    2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
    3. Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

    Видео:Задача №2 Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных следамиСкачать

    Задача №2 Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных следами

    Упражнение

    Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π1. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

    Решение :

      1. Точка К должна принадлежать прямой АВК1А1В и заданной плоскости σ ⇒ К1∈σ, следовательно, К1 находится в точке пересечения проекций А1В1 и σ1;
      2. Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ1 (горизонтальный след плоскости);
      3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К2А2В2.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

    Видео:16. Построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися и параллельными прямымиСкачать

    16. Построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися и параллельными прямыми

    Упражнение

    Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

    Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

    Решение:

    1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
    2. Если α⊥π1, то на плоскость проекций π1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ1 или α1), совпадающую с E1F1;
    3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено ниже);
    4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K.

    Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б): Через EF проведем вспомогательную плоскость α:

    1. left.beginalpha perp pi_1\alphain EF\endright> Longrightarrow alpha_1in E_1F_1
    2. alphacapsigma=(1-2)left.begin|alpha_1cap A_1C_1=1_1longrightarrow 1_2\|alpha_1cap A_1B_1=2_1longrightarrow 2_2\endright.
    3. (1_2-2_2)cap E_2F_2=K_2\left.beginKin EF\Kin (1-2)Rightarrow Kinsigma\endright>Longrightarrow K=EFcap (sigma =triangle ABC)

    Видео:Нахождение линии пересечения плоскостей путём приглашения плоскостей посредниковСкачать

    Нахождение линии пересечения плоскостей путём приглашения плоскостей посредников

    3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

    При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π1 или π2.
    Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
    Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
    Видимость на π2 (рис. 3.15)
    Выберем точки, конкурирующие на π2 – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
    Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π2.
    Направление взгляда на π2 показано стрелкой.
    По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π2, видно, что точка 41 располагается ближе к наблюдателю, чем 31.
    41E1F1 ⇒ 4∈EF ⇒ на π2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
    Видимость на π1.
    Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π1 – точки 2 и 5.
    Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π1.
    Направление взгляда на π1 показано стрелкой.
    По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π1, видно, что точка 22 располагается ближе к наблюдателю, чем 52.
    22А2В2 ⇒ 2∈АВ ⇒ на π1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
    Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

    Видео:Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

    Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскости

    3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

    Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

    Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

    Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

    Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

    Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K.

    Видео:Следы прямойСкачать

    Следы прямой

    3.8. Взаимное положение двух плоскостей

    3.8.1. Параллельность плоскостей

    Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

    Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

    Видео:Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать

    Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскости

    Упражнение

    Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

    Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

    Решение : В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.

    1. Через точку F проводим прямую m, параллельную, например, АВ.
    2. Через точку F, или же через любую точку, принадлежащую m, проводим прямую n, параллельную, например, ВС, причём m∩n=F.
    3. β = m∩n и β//α по определению.
    Интерактивная модель Параллельность двух плоскостей
    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    3.8.2. Пересечение плоскостей

    Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

    Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

    Видео:Следы плоскости общего положения заданной фронталью и горизонталью. Начертательная геометрия легкоСкачать

    Следы плоскости общего положения заданной фронталью и горизонталью. Начертательная геометрия легко

    Упражнение

    Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

    Порядок построения линии пересечения плоскостей:

    1. Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М1 и М2, при этом М1, т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π1).
    2. Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции N1 и N2, при этом N2=N, т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π2).
    3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М1N1 и М2N2.

    МN – линия пересечения плоскостей.

    Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

    Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

    Упражнение

    Решение:
    Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС, то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.
    Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L, то есть K1 и L1 , на пересечении горизонтального следа (α1) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС: А1В1 и A1C1. После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K2 и L2 на фронтальных проекциях прямых АВ и АС. Соединим одноимённые проекции: K1 и L1; K2 и L2. Линия пересечения заданных плоскостей построена.

    Алгоритм решения задачи :

    left.beginABcapsigma=K\ACcapsigma=L\endright> left.beginRightarrow A_1B_1capsigma_1=K_1 rightarrow K_2\Rightarrow A_1C_1cap sigma_1=L_1 rightarrow L_2\endright.

    KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

    Видео:Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

    Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.

    Упражнение

    Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

    Алгоритм решения задачи :

    left.beginalphacapsigma=(4-5)\betacapsigma=(3-2)\endright>\left.beginalphacaptau=(6-7)\betacaptau=(1-8)\endright>left.begin(4_1-5_1)cap(3_1-2_1)=M_1rightarrow M_2\(6_1-7_1)cap(1_1-8_1)=N_1rightarrow N_2\endright>rightarrow\left.beginM_1N_1\M_2N_2\endright>Rightarrowalphacapbeta=MN

    Упражнение

    Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

    Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π2, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π2 (τb). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

    3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

    Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

    Упражнение

    Задана плоскость σ⊥π2 и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

    Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

    По теореме о проецировании прямого угла C1D1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

    Упражнение

    Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

    3.9. Задачи для самостоятельного решения

    1. Задана плоскость α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

    Постройте фронтальную проекцию точки К.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π2, если его диагональ MN //π2 (Рисунок 3.26).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

    Пересечение плоскостей заданных следами и параллельными прямыми

    6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π1.

    7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π1.

    Поделиться или сохранить к себе: