Доказательства теорем сложения векторов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Откладывание вектора от данной точки

Для того, чтобы ввести сумму векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Введем следующую теорему:

От любой точки $K$ можно отложить вектор $overrightarrow$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $overrightarrow$.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Сложение векторов. Правило треугольника

Пусть нам даны векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$.

Рисунок 3. Сумма векторов

Готовые работы на аналогичную тему

Иначе, определение 2, еще называют правилом треугольника для сложения двух векторов.

Из этого правила следует несколько свойств сложения двух векторов:

Для любого вектора $overrightarrow$ выполняется равенство

Для любых произвольных точек $A, B и C$ выполняется равенство

Аналогично правилу треугольника можно строить сумму любого количества векторов. Такое правило сложения называется правилом многоугольника.

Видео:8 класс, 44 урок, Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать

Правило параллелограмма

Помимо правила треугольника для сложения двух векторов, есть еще правило параллелограмма для сложения двух векторов. Сформулируем и докажем для начала следующую теорему.

Доказательство.

Переместительный закон:

Рисунок 4. Иллюстрация переместительного закона

Тогда выполнение переместительно закона будет очевидно вытекать из равенства длин $left|overrightarrow+overrightarrowright|и |overrightarrow+overrightarrow|$.

Сочетательный закон:

Рисунок 5. Иллюстрация сочетательного закона

Из свойства правила треугольника $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Теорема доказана.

Видео:Сложение векторов, свойства сложения векторов.Скачать

Пример задачи на сложение векторов

Дан четырехугольник $ABCD$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

ч. т. д.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 04 2022

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Видео:Геометрия. 7 класс. Методы доказательства теорем /17.09.2020/Скачать

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .

Видео:Сложение векторов теорема.Скачать

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
   
2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
   
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
   Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
   

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →

Видео:ТОПОВЫЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВСкачать

Доказательство что сумма векторов

Видео:83. Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать

Сложение векторов. Как найти сумму векторов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

Откладывание вектора от данной точки

Для того, чтобы ввести сумму векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Введем следующую теорему:

От любой точки $K$ можно отложить вектор $overrightarrow$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $overrightarrow $.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило треугольника

Пусть нам даны векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$.

Рисунок 3. Сумма векторов

Готовые работы на аналогичную тему

Иначе, определение 2, еще называют правилом треугольника для сложения двух векторов.

Из этого правила следует несколько свойств сложения двух векторов:

Для любого вектора $overrightarrow$ выполняется равенство

Для любых произвольных точек $A, B и C$ выполняется равенство

Аналогично правилу треугольника можно строить сумму любого количества векторов. Такое правило сложения называется правилом многоугольника.

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Правило параллелограмма

Помимо правила треугольника для сложения двух векторов, есть еще правило параллелограмма для сложения двух векторов. Сформулируем и докажем для начала следующую теорему.

Доказательство.

Переместительный закон:

Рисунок 4. Иллюстрация переместительного закона

Тогда выполнение переместительно закона будет очевидно вытекать из равенства длин $left|overrightarrow+overrightarrowright|и |overrightarrow+overrightarrow|$.

Сочетательный закон:

Рисунок 5. Иллюстрация сочетательного закона

Из свойства правила треугольника $overrightarrow+overrightarrow =overrightarrow$, получим:

Теорема доказана.

Видео:СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ закон правило треугольника 9 класс АтанасянСкачать

Пример задачи на сложение векторов

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника $overrightarrow+overrightarrow =overrightarrow$, получим:

ч. т. д.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 04 2022

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

Сложение векторов

Сумма векторов

Свойства сложения векторов:

Для любых векторов

3) свойство прибавления нулевого вектора:

4) сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

Достаточно сравнить координаты векторов, стоящих в левой и правой частях этих равенств:

Так как соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

(О сложении векторов)

Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство:

Что и требовалось доказать.

Правило треугольника построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу треугольника, надо от конца одного вектора отложить другой вектор и провести вектор от начала первого к концу второго вектора.

Например,

(то есть это правило следует из теоремы о сложении векторов).

Правило параллелограмма построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу параллелограмма, надо отложить эти векторы от общего начала. Сумма векторов есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах и имеющая с ними общее начало.

Например,

Правило параллелограмма построения суммы векторов применяется лишь для неколлинеарных векторов.

При любом способе построения суммы неколлинеарных векторов получим одинаковый результат.

Построить сумму векторов

1) Чтобы построить сумму векторов по правилу треугольника, отложим от конца вектора

Сумма этих векторов равна вектору, проведённому от начала первого вектора (a) к концу второго (b).

2) Чтобы построить сумму векторов по правилу параллелограмма, отложим векторы

от общего начала.

Достроим на этих векторах параллелограмм.

Сумма

равна вектору, лежащему на диагонали параллелограмма и имеющему с ними общее начало.

1) Сумма двух сонаправленных коллинеарных векторов равна вектору, сонаправленному этим векторам, длина которого равна сумме длин данных векторов.

2) Сумма двух противоположно направленных векторов равна вектору, направление которого совпадает с направлением вектора, модуль которого больше, а длина равна разности этих векторов.

Фактически в обоих случаях мы используем правило треугольника сложения векторов:

от конца первого вектора откладываем вектор, равный второму, и строим сумму как вектор в направлении от начала первого вектора к концу второго.

Из неравенства треугольника следует ещё два свойства сложения векторов:

Видео:Доказательство теоремы о разложении вектора (геометрия 9 класс)Скачать

Линейные операции над векторами

Видео:СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

Сложение векторов

Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к точке (концу вектора ) и получим вектор (рис.1.7,а; здесь и далее равные векторы отмечены одинаковыми засечками). Вектор называется суммой векторов и и обозначается . Это нахождение суммы называется правилом треугольника .

Сумму двух неколлинеарных векторов и можно найти по правилу параллелограмма . Для этого откладываем от любой точки векторы и , а затем строим параллелограмм (рис. 1.7,6). Диагональ параллелограмма определяет сумму:

Для нахождения суммы нескольких векторов можно построить ломаную из равных им векторов. Тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора ломаной с концом последнего ее вектора, равен сумме всех векторов ломаной. На рис.1.7,в изображена сумма четырех векторов . Таким способом ( правило ломаной ) можно сложить любое конечное число векторов. Заметим, что сумма векторов не зависит от точек приложения слагаемых и от порядка суммирования. Например, «выстраивая цепочку» векторов для суммы в виде , получим вектор, равный вектору . Если ломаная получилась замкнутой, то сумма равна нулевому вектору.

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Вычитание векторов

Вектор называется противоположным вектору , если их сумма равна нулевому вектору: . Противоположный вектор имеет длину , коллинеарен и противоположно направлен вектору (рис.1.8,а,б). Нулевой вектор является противоположным самому себе.

Разностью векторов и называется сумма вектора с вектором , противоположным вектору :

Для нахождения разности векторов и приложим к произвольной точке векторы и , а также вектор , противоположный вектору (рис.1.9,а). Искомую разность находим по правилу параллелограмма:

Для нахождения разности проще использовать правило треугольника (рис. 1.9,6). Для этого прикладываем к произвольной точке векторы и . Вектор при этом равен искомой разности

Вычитание векторов — действие, обратное сложению — можно определить также следующим образом: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор (рис.1.9,в), т.е. разность — это решение линейного векторного уравнения .

Пример 1.2. Для векторов, изображённых на рис. 1.6 (в конце), найти следующие суммы и разности:

Решение. Учитывая равенство , получаем по правилу треугольника .

Поскольку и , то .

По правилу параллелограмма . Так как и , находим

Видео:сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора равна , т.е. ;

2) векторы и коллинеарные ;

3) векторы и одинаково направлены, если 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAvydBYeqhkaCBEdFRcZpXsy0AAADDSURBVBjTY2DACXglMcWMwWSeA7q4aXkwiNITQBNnCmFwVQDSjI/AXA0FmAT7Awa+AiDN8hbMZZaAybAKMDBuANJcryF85kQDCIMPKPEAxJCDKmVqPMAAtZTxFYjhVwCzNRXsQDugxGMQNzQAZi3X7ANIEq5qb1AloHawPGZ+BjNqtgPMVUBD/BwYQhdALYeEARvQHwkMLM8ZGOY5QMShzmV+zGBnAJJjUAUFCrOgAcwq17shQHUgtSAhNQVEYLkoMAAA/y0j/mOlY6gAAAAASUVORK5CYII=» />, и противоположно направлены, если .

Произведение нулевого вектора на любое число считается (по определению) нулевым вектором: ; произведение любого вектора на число нуль также считается нулевым вектором: . Из определения произведения следует, что:

а) при умножении на единицу вектор не изменяется: ;

б) при умножении вектора на получается противоположный вектор: ;

в) деление вектора на отличное от нуля число сводится к его умножению на число , обратное .

г) при делении ненулевого вектора на его длину, т.е. при умножении на число получаем единичный вектор, одинаково направленный с вектором .

Действительно, длина вектора равна единице: .

Вектор коллинеарен и одинаково направлен с вектором , так как 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAGgAAAAwBAMAAAAP7yIIAAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAgUH7J8EBn5MRZNNSscg1DbUAAAGiSURBVEjHY2CgLnAkXQuTrGkCyZqSlpChiS2NDE0MbHTUxDC4nTeYNbEoGktNwJ3IwrHKMQkKCjpgEedUAVPKF0hxgbBsCIjitiRBD5cJQzXIr1lWBJWugvsg+wKD8gGQlwmnF66NMF3OAgyTG0CMYAeCurJ2QNUoCzAkh4EYixeASCclEFDBoSsnHKJLGKbJeRsoLh0FQUAGd8wowDSZgUJ+twmIm4ZQMKMDAQTguq46IGmavcYCzVT3cgSAa2IpBWk6DHEey3Y2Y1DIE3JeqEIaNPQuMLA5X2AoPkAwIJIgAcGWDIynBQws1hMYnAvgkmnYkzbXdmiQM1oyNE9gYN3JwIaZkI6g0lwb4VFZvQIYbCzAuObURNckBE6UUJqBYSEiI7DI4MwwQgwLBQWlBWCakEAa7mQjxOCkKHh5ARZNeEARGzBAWhhI0xQEDt8EkjWxSM0k3abFZ4IXkKoJmK+bFUjVBExhxST7SXgB21aS/XTZgcWQZE3BCVxGXqRqKk6YbdZDqibnNTeswkjVxLlmguIEMpIRA8Ow0uSARqMCAGU+ZLrFh1ZQAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» />;

д) при умножении единичного вектора на число получаем коллинеарный ему вектор, длина которого равна .

На рис.1.10 изображены векторы, получающиеся в результате умножения данного вектора на и , а также противоположный вектор .

Свойства линейных операций над векторами

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами . Для любых векторов , , и любых действительных чисел справедливы равенства:

Свойства 1, 2 выражают коммутативность и ассоциативность операции сложения векторов, свойство 5 — ассоциативность операции умножения на число, свойства 6,7 — законы дистрибутивности, свойство 8 называется унитарностью.

Свойства линейных операций устанавливают такие же правила действия с векторами, как с алгебраическими выражениями.

Линейные комбинации векторов

Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа.

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если он может быть представлен в виде

где — некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор разложен по векторам , а числа называют коэффициентами разложения.

Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.

Отметим следующие свойства линейных комбинаций векторов:

1. Если векторы — коллинеарны, то любая их линейная комбинация им коллинеарна.

2. Если векторы — компланарны, то любая их линейная комбинация им компланарна.

Докажем, например, первое свойство. При умножении вектора на число получаем (по определению) вектор, колпинеарный данному. При сложении двух векторов, параллельных некоторой прямой, получаем (по определению) вектор, параллельный той же самой прямой. Поэтому линейная комбинация двух коллинеарных векторов и коллинеарна им. По индукции свойство распространяется на любое конечное число коллинеарных
векторов.