305. Параллельны ли изображённые на рисунке 212 прямые a и b , если:
3) ∠ 4 = 125°, ∠ 6 = 55°;
4) ∠ 2 = 35°, ∠ 5 = 146°;
5) ∠ 1 = 98°, ∠ 6 = 82°;
6) ∠ 1 = 143°, ∠ 7 = 37°?
306. На каких из рисунков 213, а – г прямые m и n параллельны?
307. На рисунке 214 укажите все пары параллельных прямых.
308. На рисунке 215 укажите параллельные прямые, если ∠ 1 = 53°, ∠ 2 = 128°, ∠ 3 = 127°.
309. На рисунке 216 AB = BC , CD = DK . Докажите, что AB ‖ DK .
310. На рисунке 217 AK — биссектриса угла BAC , AM = MK . Докажите, что MK ‖ AC .
311. На рисунке 218 ∠ ACB = ∠ ACD , AD = CD . Докажите, что BC ‖ AD .
312. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , ∠ A = 60°, ∠ BCD — смежный с ∠ ACB , CM — биссектриса угла BCD . Докажите, что AB ‖ CM .
313. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Докажите, что AC ‖ BD .
314. На рисунке 219 AB = CD , BC = AD . Докажите, что AB ‖ CD .
315. Известно, что некоторая прямая m пересекает прямую a (рис. 220). Пересекает ли прямая m прямую b ?
316. Каково взаимное расположение прямых CD и EF на рисунке 221?
317. Угол ABC равен 60°, а угол BCD — 120°. Можно ли утверждать, что прямые AB и CD параллельны?
318. Угол между прямыми a и c равен углу между прямыми b и c . Можно ли утверждать, что прямые a и b параллельны?
319. Четыре угла, образованные при пересечении прямых a и b прямой c , равны по 40°, а любой из остальных четырёх углов — 140°. Можно ли утверждать, что прямые a и b параллельны?
320. Прямая пересекает биссектрису BM треугольника ABC в точке O , являющейся серединой отрезка BM , а сторону BC — в точке K . Докажите, что если OK ⊥ BM , то MK ‖ AB .
321. Отрезки AM и CK — медианы треугольника ABC . На продолжении отрезка AM за точку M отложен отрезок MF , а на продолжении отрезка CK за точку K — отрезок KD так, что MF = AM , KD = CK . Докажите, что точки B , D и F лежат на одной прямой.
Упражнения для повторения
322. Луч OC разбивает угол AOB на два угла так, что ∠ AOC : ∠ BOC = 3 : 5. Найдите угол между лучом OC и биссектрисой угла, смежного с углом AOB , если угол BOC на 42° больше угла AOC .
323. На рисунке 222 AB = BC , ∠ ABK = ∠ CBM . Докажите, что BM = BK .
324. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC . Прямая BD пересекает отрезок AC в точке E . Докажите, что AE = EC .
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
325. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырёхугольника является восьмиугольник.
Когда сделаны уроки
Пятый постулат Евклида
В § 6 вы узнали, что в качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1 и 5.1 не включить в список аксиом, ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос понятен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома. С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида
V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов ( рис. 223 ).
Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в § 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.
Более двадцати веков многие учёные пытались доказать пятый постулат, т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX в. несколько математиков независимо друг от друга пришли к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, мож но провести только одну прямую, параллельную данной , является аксиомой.
Вам может показаться, что в этом выводе ничего особенного нет: присоединяем аксиому параллельности к уже существующему списку аксиом-правил, а дальше доказываем теоремы.
Однако если в футболе добавить только одно правило, например разрешить полевым игрокам играть и руками, то мы получим совершенно новую игру.
Если пятый постулат — это правило, которое мы принимаем, а не теорема, то его можно заменить противоположным утверждением.
Так и поступил Н.И. Лобачевский. Он заменил лишь одно правило — аксиому параллельности прямых — следующим: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Новая аксиома позволила построить новую геометрию — неевклидову.
Н.И. Лобачевский (1792–1856)
Выдающийся русский математик, про-
фессор Казанского университета.
С подобной идеей несколько позже выступил венгерский математик Янош Бойяи (1802–1860).
Видео:№186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°Скачать
Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых
Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).
Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.
Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:
 . |
На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).
 |
Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.
Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).
 |
Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.
    |
На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать
Признаки параллельности прямых
Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.
При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):
 |
- накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
- односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
- соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: 
(Рис.8).
 |
Докажем, что .
Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).
 |
Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).
 |
Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, . Тогда 
и 
.
означает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. 
Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например (Рис.11).
 |
Так как углы 2 и 3 вертикальные, то 
. Тогда из и следует, что 
. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны.
Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например 
(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. 
. Из и следует, что . Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Известно, что ∠1 = 46°, ∠2 = 134°. Докажите, что прямые а и b параллельны.
Видео:№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые mСкачать
Ваш ответ
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать
решение вопроса
Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,277
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,680
- разное 16,822
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
📺 Видео
Параллельные прямые (задачи).Скачать
№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать
№202. На рисунке 116 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1=42°, ∠2=140°, ∠3=138°. Какие из прямыхСкачать
Задачи. Признак параллельности прямых. Доказать, что прямые параллельны. По рисунку.Скачать
№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать
№55. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любуюСкачать
7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать
Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать
7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать
№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АССкачать
Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать
Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать
№58. Докажите, что если плоскость γ пересекает одну из параллельных плоскостей α и β,Скачать
