Доказать что площади треугольников равны

Основные свойства площадей треугольников

Факт 1.
(bullet) Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольника.
Соответственно, площади этих треугольников равны.

Доказать что площади треугольников равны

Факт 2.
(bullet) Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади (равновеликих).

Доказать что площади треугольников равны

Факт 3.
(bullet) Все 3 медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

Доказать что площади треугольников равны

Факт 4.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказать что площади треугольников равны

Факт 5.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковое основание, относятся как высоты, проведенные к этим основаниям.

Доказать что площади треугольников равны

Факт 6.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота.

Доказать что площади треугольников равны

Факт 7.
(bullet) Если прямые (p) и (q) параллельны, то Доказать что площади треугольников равны

Факт 8.
(bullet) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
(bullet) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Равновеликие треугольники

Равновеликие треугольники — это треугольники, которые имеют одинаковую площадь.

Равновеликие треугольники могут быть равными (так как равные треугольники имеют равные площади), но также могут иметь разные стороны и разные углы.

Доказать что площади треугольников равныНапример, треугольники ABC и MKF — равновеликие, так как их площади равны.

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Можно заметить, что если сторону треугольника увеличить в k раз, а высоту, проведенную к этой стороне, уменьшить в k раз, то получим треугольник, равновеликий данному.

Равновеликие треугольники в треугольнике

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники в трапеции

При пересечении диагоналей в произвольной трапеции ABCD образуется три пары равновеликих треугольников:

Доказать что площади треугольников равны1) ∆ABD и ∆ACD,

Доказать что площади треугольников равны1) Проведём в треугольниках ABD и ACD высоты BH и CF.

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

BK=CF (как высоты трапеции), следовательно,

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны3)

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Так как площади треугольников ABD и ACD равны (по доказанному), то и

Доказать что площади треугольников равны

Таким образом, треугольники , образованные боковыми сторонами и диагоналями трапеции, имеют равные площади.

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Площадь треугольника:

Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.

Доказательство:

Пусть Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

1) Проведем через вершину Доказать что площади треугольников равныпрямую, параллельную Доказать что площади треугольников равныа через вершину Доказать что площади треугольников равны— прямую, параллельную Доказать что площади треугольников равныПолучим параллелограмм Доказать что площади треугольников равны

2) Доказать что площади треугольников равны(по трем сторонам). Поэтому

Доказать что площади треугольников равныоткуда Доказать что площади треугольников равны

3) Так как Доказать что площади треугольников равныто Доказать что площади треугольников равны

В общем виде формулу площади Доказать что площади треугольников равнытреугольника можно записать так:

Доказать что площади треугольников равны

где Доказать что площади треугольников равны— сторона треугольника, Доказать что площади треугольников равны— высота, проведенная к ней.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.

Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.

Пример:

Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказать что площади треугольников равны

Доказательство:

Рассмотрим Доказать что площади треугольников равныи Доказать что площади треугольников равныу которых Доказать что площади треугольников равныПроведем высоты Доказать что площади треугольников равныи Доказать что площади треугольников равны(рис. 238).

Доказать что площади треугольников равны

2) Доказать что площади треугольников равны(по острому углу), поэтому Доказать что площади треугольников равны

3) Имеем: Доказать что площади треугольников равны

Пример:

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна Доказать что площади треугольников равны

Решение:

Пусть Доказать что площади треугольников равны— равносторонний со стороной Доказать что площади треугольников равныТогда Доказать что площади треугольников равныВ равностороннем треугольнике Доказать что площади треугольников равныгде Доказать что площади треугольников равны— медиана. Но Доказать что площади треугольников равны(§ 18, задача 4), поэтому Доказать что площади треугольников равны

Следовательно, Доказать что площади треугольников равны

Ответ. Доказать что площади треугольников равны

Пример:

Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.

Решение:

Так как Доказать что площади треугольников равны(т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.

Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого Доказать что площади треугольников равнысм -гипотенуза, Доказать что площади треугольников равныи Доказать что площади треугольников равнысм — катеты, Доказать что площади треугольников равны— высота. Найдем Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Площадь этого треугольника можно найти

по формулам: Доказать что площади треугольников равныили Доказать что площади треугольников равны

Тогда Доказать что площади треугольников равныто есть Доказать что площади треугольников равныоткуда Доказать что площади треугольников равны

Таким образом, имеем: Доказать что площади треугольников равны(см).

Ответ. Доказать что площади треугольников равнысм.

Видео:Задание 25 Доказать, что площади треугольников равныСкачать

Задание 25 Доказать, что площади треугольников равны

Теорема (формула площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Доказать что площади треугольников равны

где Доказать что площади треугольников равны — сторона треугольника, Доказать что площади треугольников равны — проведенная к ней высота.

Пусть Доказать что площади треугольников равны— высота треугольника Доказать что площади треугольников равны(рис. 148). Докажем, что Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Проведем через вершины Доказать что площади треугольников равныпрямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения Доказать что площади треугольников равныТаким образом, мы «достроили» треугольник Доказать что площади треугольников равныдо параллелограмма Доказать что площади треугольников равныв котором отрезок Доказать что площади треугольников равнытакже является высотой, проведенной к стороне Доказать что площади треугольников равны

По формуле площади параллелограмма Доказать что площади треугольников равныТреугольники Доказать что площади треугольников равныравны по трем сторонам (у них сторона Доказать что площади треугольников равныобщая, Доказать что площади треугольников равныкак противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника Доказать что площади треугольников равнысоставляет половину площади параллелограмма Доказать что площади треугольников равнычто и требовалось доказать.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Доказать что площади треугольников равны

где Доказать что площади треугольников равны— катеты прямоугольного треугольника.

Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.

Следствие 2

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Доказать что площади треугольников равны

где Доказать что площади треугольников равны — диагонали ромба.

Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами Доказать что площади треугольников равны(рис. 149). Используя следствие 1, имеем:

Доказать что площади треугольников равны

Доказать что площади треугольников равны

Следствие 3

Площадь равностороннего треугольника со стороной Доказать что площади треугольников равнывычисляется по формуле

Доказать что площади треугольников равны

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Опорная задача

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть Доказать что площади треугольников равны— медиана треугольника Доказать что площади треугольников равны(рис. 150).

Доказать что площади треугольников равны

Проведем высоту Доказать что площади треугольников равнытреугольника Доказать что площади треугольников равныЭтот отрезок является одновременно высотой треугольника Доказать что площади треугольников равныпроведенной к стороне Доказать что площади треугольников равныи высотой треугольника Доказать что площади треугольников равныпроведенной к стороне Доказать что площади треугольников равныУчитывая равенство отрезков Доказать что площади треугольников равныимеем:

Доказать что площади треугольников равны

Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг
  • Описанные и вписанные окружности
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположения прямых на плоскости
  • Треугольник
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Отношение площадей треугольников с равным углом

100. Теорема о площади треугольникаСкачать

100. Теорема о площади треугольника

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Доказать, что площади треугольников равны четверти площади параллелограммаСкачать

Доказать, что площади треугольников равны четверти площади параллелограмма

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Доказать,что площадь треугольника KAB равна половине площади трапецииСкачать

Доказать,что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции

Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синусаСкачать

Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса

Почему площадь треугольника равна половине произведения основания на высотуСкачать

Почему площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиусаСкачать

Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиуса

Геометрия 8 Площадь треугольникаСкачать

Геометрия 8 Площадь треугольника

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Отношение площадей треугольниковСкачать

Отношение площадей треугольников

Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | ИнфоурокСкачать

Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | Инфоурок

8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

8 класс, 13 урок, Площадь параллелограмма
Поделиться или сохранить к себе: