Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы

Вопрос по геометрии:

Нужно доказать теорему.

Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна 3/4 S.

Заранее спасибо за Вашу помощь.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна 3/4 S.

Заранее спасибо за Вашу помощь.

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна S

Пусть АМ, ВК, СN – медианы треугольника АВС, О – точка их пересечения.
Площадь треугольника АВО в 3 раза меньше площади треугольника АВС (высота треугольника АВО в 3 раза меньше высоты треугольника АВС).

Тогда площадь треугольника АNO равна площади треугольника АВС (медианы треугольника делят его на 6 равновеликих, то есть равных по площади, треугольников).

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы где – угол между медианами АМ и СN.
Мы получили, что

Построим треугольник DЕF, стороны которого равны медианам треугольника АВС.
EF = АМ, DF = ВК и DE = СN. В этом треугольнике угол DEF равен , и его площадь

Видео:Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 3, 4 и 5Скачать

Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 3, 4 и 5

Медиана делит площадь треугольника пополам

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы

Медиана делит площадь треугольника пополам

Два треугольника называются равновеликими. Если они имеют одинаковую площадь.

Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы

Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы,

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Так как ВМ – медиана треугольника АВС, то АМ=МС, поэтому

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы,

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.

Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.

Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы, К – точка пересечения медиан.

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы,

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы

Пусть медианы АM, BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF=KE. Соединим точки С, F и A.

Рассмотрим треугольник KAF.

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы,

то Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Далее, Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы, так как CKAE – параллелограмм (по признаку параллелограмма: ели диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, до данный четырехугольник параллелограмм), получаем Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Так как Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы, то есть Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы, то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Вычислим площадь треугольника AKF:

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Теперь сравним площади треугольников AKF и АВС: так как AE – медиана треугольника AKF, то

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы, Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы,

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторы.

Отметим, что задачу можно решить по-другому, если воспользоваться тем фактом, что:

площадь треугольника, образованного медианами данного треугольника составляет Доказать что площадь треугольника составленного из медиан равна 3 4 через векторыот площади самого треугольника.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Вопросы для самопроверки:

1. Какие треугольники называются равновеликими?

2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?

3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?

4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?

5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?

6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.

2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.

3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.

4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

📹 Видео

Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Площадь треугольника, построенного на векторах

ОГЭ Р-2 номер 16Скачать

ОГЭ Р-2 номер 16

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 12, 15 и 21.Скачать

Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 12, 15 и 21.

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Советская олимпиада, которую сегодня решить только 2 школьниковСкачать

Советская олимпиада, которую сегодня решить только 2 школьников

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Доказать,что площадь треугольника KAB равна половине площади трапецииСкачать

Доказать,что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Секретные техники нахождения площади треугольника. Площадь по трём медианам / по трём высотам.Скачать

Секретные техники нахождения площади треугольника.  Площадь по трём медианам / по трём высотам.

8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика
Поделиться или сохранить к себе: