Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Содержание
  1. Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
  2. Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения
  3. Подобные треугольники
  4. Первый признак подобия треугольников
  5. Пример №1
  6. Теорема Менелая
  7. Теорема Птолемея
  8. Второй и третий признаки подобия треугольников
  9. Пример №4
  10. Прямая Эйлера
  11. Обобщенная теорема Фалеса
  12. Пример №5
  13. Подобные треугольники
  14. Пример №6
  15. Пример №7
  16. Признаки подобия треугольников
  17. Пример №8
  18. Пример №9
  19. Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  20. Пример №10
  21. Пример №11
  22. Свойство биссектрисы треугольника
  23. Пример №12
  24. Пример №13
  25. Применение подобия треугольников к решению задач
  26. Пример №14
  27. Пример №15
  28. Подобие треугольников
  29. Определение подобных треугольники
  30. Пример №16
  31. Вычисление подобных треугольников
  32. Подобие треугольников по двум углам
  33. Пример №17
  34. Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними
  35. Пример №18
  36. Подобие треугольников по трем сторонам
  37. Подобие прямоугольных треугольников
  38. Пример №19
  39. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  40. Пример №20
  41. Теорема Пифагора и ее следствия
  42. Пример №21
  43. Теорема, обратная теореме Пифагора
  44. Перпендикуляр и наклонная
  45. Применение подобия треугольников
  46. Свойство биссектрисы треугольника
  47. Пример №22
  48. Метрические соотношения в окружности
  49. Метод подобия
  50. Пример №23
  51. Пример №24
  52. Справочный материал по подобию треугольников
  53. Теорема о пропорциональных отрезках
  54. Подобие треугольников
  55. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
  56. Признак подобия треугольников по трем сторонам
  57. Признак подобия прямоугольных треугольников
  58. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  59. Теорема Пифагора и ее следствия
  60. Перпендикуляр и наклонная
  61. Свойство биссектрисы треугольника
  62. Метрические соотношения в окружности
  63. Подробно о подобных треугольниках
  64. Пример №25
  65. Пример №26
  66. Обобщённая теорема Фалеса
  67. Пример №27
  68. Пример №28
  69. Второй и трети и признаки подобия треугольников
  70. Пример №29
  71. Применение подобия треугольников
  72. Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).
  73. Пример №31
  74. Зачет по главе «Параллельные прямые» -7 класс
  75. 📸 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

305. Параллельны ли изображённые на рисунке 212 прямые a и b , если:

3) ∠ 4 = 125°, ∠ 6 = 55°;

4) ∠ 2 = 35°, ∠ 5 = 146°;

5) ∠ 1 = 98°, ∠ 6 = 82°;

6) ∠ 1 = 143°, ∠ 7 = 37°?

306. На каких из рисунков 213, а – г прямые m и n параллельны?

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

307. На рисунке 214 укажите все пары параллельных прямых.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

308. На рисунке 215 укажите параллельные прямые, если ∠ 1 = 53°, ∠ 2 = 128°, ∠ 3 = 127°.

309. На рисунке 216 AB = BC , CD = DK . Докажите, что AB ‖ DK .

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

310. На рисунке 217 AK — биссектриса угла BAC , AM = MK . Докажите, что MK ‖ AC .

311. На рисунке 218 ∠ ACB = ∠ ACD , AD = CD . Докажите, что BC ‖ AD .

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

312. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , ∠ A = 60°, ∠ BCD — смежный с ∠ ACB , CM — биссектриса угла BCD . Докажите, что AB ‖ CM .

313. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Докажите, что AC ‖ BD .

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

314. На рисунке 219 AB = CD , BC = AD . Докажите, что AB ‖ CD .

315. Известно, что некоторая прямая m пересекает прямую a (рис. 220). Пересекает ли прямая m прямую b ?

316. Каково взаимное расположение прямых CD и EF на рисунке 221?

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

317. Угол ABC равен 60°, а угол BCD — 120°. Можно ли утверждать, что прямые AB и CD параллельны?

318. Угол между прямыми a и c равен углу между прямыми b и c . Можно ли утверждать, что прямые a и b параллельны?

319. Четыре угла, образованные при пересечении прямых a и b прямой c , равны по 40°, а любой из остальных четырёх углов — 140°. Можно ли утверждать, что прямые a и b параллельны?

320. Прямая пересекает биссектрису BM треугольника ABC в точке O , являющейся серединой отрезка BM , а сторону BC — в точке K . Докажите, что если OK ⊥ BM , то MK ‖ AB .

321. Отрезки AM и CK — медианы треугольника ABC . На продолжении отрезка AM за точку M отложен отрезок MF , а на продолжении отрезка CK за точку K — отрезок KD так, что MF = AM , KD = CK . Докажите, что точки B , D и F лежат на одной прямой.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Упражнения для повторения

322. Луч OC разбивает угол AOB на два угла так, что ∠ AOC : ∠ BOC = 3 : 5. Найдите угол между лучом OC и биссектрисой угла, смежного с углом AOB , если угол BOC на 42° больше угла AOC .

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

323. На рисунке 222 AB = BC , ∠ ABK = ∠ CBM . Докажите, что BM = BK .

324. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC . Прямая BD пересекает отрезок AC в точке E . Докажите, что AE = EC .

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

325. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырёхугольника является восьмиугольник.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Когда сделаны уроки

Пятый постулат Евклида

В § 6 вы узнали, что в качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1 и 5.1 не включить в список аксиом, ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос понятен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома. С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов ( рис. 223 ).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в § 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более двадцати веков многие учёные пытались доказать пятый постулат, т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX в. несколько математиков независимо друг от друга пришли к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, мож но провести только одну прямую, параллельную данной , является аксиомой.

Вам может показаться, что в этом выводе ничего особенного нет: присоединяем аксиому параллельности к уже существующему списку аксиом-правил, а дальше доказываем теоремы.

Однако если в футболе добавить только одно правило, например разрешить полевым игрокам играть и руками, то мы получим совершенно новую игру.

Если пятый постулат — это правило, которое мы принимаем, а не теорема, то его можно заменить противоположным утверждением.

Так и поступил Н.И. Лобачевский. Он заменил лишь одно правило — аксиому параллельности прямых — следующим: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Новая аксиома позволила построить новую геометрию — неевклидову.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Н.И. Лобачевский (1792–1856)

Выдающийся русский математик, про-

фессор Казанского университета.

С подобной идеей несколько позже выступил венгерский математик Янош Бойяи (1802–1860).

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Предположим, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПусть серединой отрезка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетявляется некоторая точка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— средняя линия треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Отсюда
Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЗначит, через точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроходят две прямые, параллельные прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетчто противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Предположим, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПусть серединой отрезка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетявляется некоторая точка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— средняя линия трапеции Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЗначит, через точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроходят две прямые, параллельные прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетМы пришли к противоречию. Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Аналогично можно доказать, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети т. д.

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЗаписывают: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 113). Докажем, что: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравных отрезков, каждый из которых равен Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетсоответственно на Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.

Если рисунок 113 дополнить прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпараллельной прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. На рисунке 116 медианы Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттреугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттакже проходит через точку М и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Проведем Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто по теореме Фалеса Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

По теореме о пропорциональных отрезках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Таким образом, медиана Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпересекая медиану Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетделит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттакже делит медиану Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоскольку BE = ВС, то Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А1. Затем отметим точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттак, чтобы Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПроведем отрезок А2В. Через точки A1 и А2 проведем прямые, параллельные прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОни пересекут отрезок АВ в точках В1 и В2 соответственно. По теореме Фалеса Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Видео:№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину ОСкачать

№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

На рисунке 131 изображены треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаету которых равны углы: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Стороны Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетлежат против равных углов Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТакие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаету которых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПо определению эти треугольники подобны. Пишут: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(читают: «треугольник АВС подобен треугольнику Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает»).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетс коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто можно также сказать, что треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобен треугольнику АВС с коэффициентом Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПишут: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Докажите это свойство самостоятельно.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Лемма 1 о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

1 Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпараллелен стороне АС. Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Углы Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны как соответственные при параллельных прямых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Покажем, что стороны ВА и ВС пропорциональны соответственно сторонам Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Из теоремы о пропорциональных отрезках (теорема 11.2) следует, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Проведем Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПолучаем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПо определению четырехугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— параллелограмм. Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Таким образом, мы доказали, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Следовательно, в треугольниках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетуглы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Пусть треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k. Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткудаДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть Р1 — периметр треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетР — периметр треугольника АВС. Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетвыполняются условия Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, у которых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДокажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтложим на стороне ВА отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравный стороне Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЧерез точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроведем прямую Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпараллельную стороне АС (рис. 140).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Углы Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— соответственные при параллельных прямых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети секущей Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетАле Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПолучаем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТаким образом, треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетСледовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример №1

Средняя линия трапеции Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Отсюда AM • МВ = DM • МС.

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетУгол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетСледовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетвв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает а на продолжении стороны АС — точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для того чтобы точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетлежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 153, а). Поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто треугольники АМС1 и BNC1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Из подобия треугольников BNA1 и СРА1 получаем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Из подобия треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетследует равенство Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Перемножив почленно левые и правые части пропорции
Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетполучаем равенство

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетлежат на одной прямой.
Пусть прямая Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A2 (рис. 153, б). Поскольку точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетлежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетделят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпересекает сторону ВС в точке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетлежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

На диагонали АС отметим точку К так, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетУглы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетУглы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Сложив равенства (1) и (2), получаем:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв которых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДокажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Если k = 1, то Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета следовательно, треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетНа сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттак, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 160). Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Покажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПредположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Следовательно, буквами М и С2 обозначена одна и та же точка. Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
По лемме о подобных треугольниках получаем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв которых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДокажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Если k = 1, то треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттакие, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 161). Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

В треугольниках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетугол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Учитывая, что по условию Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетполучаем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Следовательно, треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетполучаем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— высоты треугольника АВС. Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
В прямоугольных треугольниках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетострый угол В общий. Следовательно, треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетУгол В — общий для треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетСледовательно, треугольники АВС и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобны по второму признаку подобия треугольников.

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 167).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. Для этой окружности угол Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетявляется центральным, а угол Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетУглы ВАС и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны как противолежащие углы параллелограмма Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпоэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто равнобедренные треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— соответственные высоты подобных треугольников, то АН = Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Докажем теперь основную теорему.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Поскольку точка М1 — середина стороны ВС, то отрезок AM1 — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетУглы Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны как вертикальные. Следовательно, треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЗначит, точка М делит медиану Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично.

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

  • Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках

  • Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника

  • Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника

  • Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Подобные треугольники

  • Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

  • Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

  • Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетназывают отношение их длин, то есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Говорят, что отрезки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпропорциональные отрезкам Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Например, если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетдействительно Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпропорциональны трем отрезкам Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетесли

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпересекают стороны угла Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 123). Докажем, что

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетявляются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеткоторый можно отложить целое число раз и на отрезке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети на отрезке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2) Разделим отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетна Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравных частей длины Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— на Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравных частей длины Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПроведем через точки деления прямые, параллельные прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетна Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравных отрезков длины Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпричем Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетбудет состоять из Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттаких отрезков, а Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— из Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттаких отрезков.

Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3) Найдем отношение Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетБудем иметь:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1. Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следствие 2. Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство:

Поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Учитывая, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

будем иметь: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Откуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПостройте отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

Поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для построения отрезка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетможно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

1) Строим неразвернутый угол с вершиной Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета на другой — отрезки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2) Проведем прямую Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЧерез точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпараллельно Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроведем прямую, точку пересечения которой со стороной Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетугла обозначим через Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетСледовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Построенный отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетназывают четвертым пропорциональным отрезков Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттак как для этих отрезков верно равенство: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. — 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобны (рис. 127), то

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЧисло Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетназывают коэффициентом подобия треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетк треугольнику Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетили коэффициентом подобия треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Подобие треугольников принято обозначать символом Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетВ нашем случае Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЗаметим, что из соотношения Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетследует соотношение

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример №7

Стороны треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетотносятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Обозначим Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПо условию Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(см). Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Ответ. 12 см, 21 см.

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

«Подобные прямолинейные фигуры — суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпересекает стороны Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттреугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетсоответственно в точках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 129). Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

1) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— общий для обоих треугольников, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(как соответственные углы при параллельных прямых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети секущей Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(аналогично, но для секущей Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетСледовательно, три угла треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны трем углам треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3) Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Через точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроведем прямую, параллельную Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети пересекающую Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв точке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТак как Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— параллелограмм, то Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПо обобщенной теореме Фалеса: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Но Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетСледовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

4) Окончательно имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета значит, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаету которых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 130). Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

1) Отложим на стороне Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттреугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетотрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети проведем через Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпрямую, параллельную Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 131). Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по лемме).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетНо Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по построению). Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПо условию Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетследовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3) Так как Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по двум сторонам между ними).

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетследовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаету которых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетно Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3) Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаету которых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2) Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетно Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпоэтому

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетУчитывая, что

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетимеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3) Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по трем сторонам).

4) Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетНо Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетзначит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Пример №9

Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, — 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— параллелограмм (рис. 132). Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— высота параллелограмма. Проведем Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— вторую высоту параллелограмма.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— прямоугольный треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— высота треугольника (рис. 145). Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

1) У прямоугольных треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетугол Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— общий. Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по острому углу).

2) Аналогично Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает-общий, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3) У треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по острому углу).

Отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетназывают проекцией катета Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетна гипотенузу Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроекцией катета Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетна гипотенузу Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетназывают средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по лемме). Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетили Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по лемме). Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетили Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по лемме). Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетили Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример №10

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— высота прямоугольного треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

с прямым углом Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДокажите, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета так как Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

1) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТак как Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТак как Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

4) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— биссектриса треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 147). Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

1) Проведем через точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпрямую, параллельную Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети продлим биссектрису Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетдо пересечения с этой прямой в точке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети секущей Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— равнобедренный (так как Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета значит, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(как вертикальные), поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по двум углам). Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Но Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттаким образом Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Из пропорции Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетможно получить и такую: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример №12

В треугольнике Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— биссектриса треугольника. Найдите Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

Рассмотрим Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 147). Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТак как Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетимеем уравнение: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Ответ. 6 см, 3 см.

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетмедиана (рис. 148).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетявляется также высотой и биссектрисой. Поскольку точка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— центр вписанной окружности — является точкой пересечения биссектрис треугольника, то Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— радиус окружности.

Учитывая, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетобозначим Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТак как Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— середина Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— биссектриса треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпоэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетИмеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает пересекаются в точке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство:

Пусть хорды Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпересекаются в точке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 150). Рассмотрим Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаету которых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(как вертикальные), Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по двум углам), а значит, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следствие. Если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— центр окружности, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— ее радиус, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— хорда, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетгде Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство:

Проведем через точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетдиаметр Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 151). Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пример №14

AL — биссектриса треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДокажите формулу биссектрисы: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство:

Опишем около треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетокружность и продлим Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетдо пересечения с окружностью в точке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 152).

1) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по условию). Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по двум углам).

2) Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетлежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети касательную Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетгде Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает — точка касания, то Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153. Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(как вписанный угол), Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, то

есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по двум углам),

значит, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следствие 1. Если из точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпровести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета другая — в точках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Так как по теореме каждое из произведений Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравно Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто следствие очевидно.

Следствие 2. Если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— центр окружности, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— ее радиус, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— касательная, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— точка касания, то Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетгде Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство:

Проведем из точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетчерез центр окружности Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетсекущую (рис. 154), Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетно Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпоэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетс планкой, которая вращается вокруг точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетНаправим планку на верхнюю точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв которой планка упирается в поверхность земли.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Рассмотрим Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаету них общий, поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по острому углу).

Тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Если, например, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаету которого углы Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттреугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети откладываем на прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетотрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравный данному.

3) Через точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроводим прямую, параллельную Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОна пересекает стороны угла Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв некоторых точках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 157).

4) Так как Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЗначит, два угла треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны данным.

Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— середина Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по двум углам). Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по двум углам). Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Получаем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетНо Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(по построению), поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— медиана треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— искомый.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетназывается частное их длин, т.е. число Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Иначе говоря, отношение Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпоказывает, сколько раз отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети его части укладываются в отрезке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДействительно, если отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпринять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Отрезки длиной Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпропорциональны отрезкам длиной Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетесли Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпоказывает, сколько раз отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетукладывается в отрезке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета отношение Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетсколько раз отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетукладывается в отрезке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТеорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДействительно, прямые, параллельные Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает«переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает«переходит» в отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетдесятая часть отрезка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— в десятую часть отрезка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети т.д. Поэтому если отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетукладывается в отрезке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетраз, то отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетукладывается в отрезке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттакже Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетраз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети следствие данной теоремы можно записать в виде Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетНа такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПостройте отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети отложим на одной его стороне отрезки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета на другой стороне — отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 91).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Проведем прямую Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети прямую, которая параллельна Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроходит через точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети пересекает другую сторону угла в точке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПо теореме о пропорциональных отрезках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетСледовательно, отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— искомый.

Заметим, что в задаче величина Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетявляется четвертым членом пропорции Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Подобие этих треугольников кратко обозначают так: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетВ этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Число Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетс коэффициентом подобия Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЭто означает, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетт.е. Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетИмеем:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв которых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, (рис. 99).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтложим на луче Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетотрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравный Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети проведем прямую Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпараллельную Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеткак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо второму признаку, откуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПо теореме о пропорциональных отрезках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетследовательно Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетАналогично доказываем что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТаким образом по определению подобных треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТеорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетдиагонали пересекаются в точке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 100).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Рассмотрим треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетВ них углы при вершине Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны как вертикальные, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеткак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети секущей Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо двум углам. Отсюда следует, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПо скольку по условию Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетзначит, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е. Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв которых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 101).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетотрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравный Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети проведем прямую Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпараллельную Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеткак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо двум углам. Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо первому признаку равенства треугольников, следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо двум углам. Теорема доказана.

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттреугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетделит каждую из них в отношении Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетначиная от вершины Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДокажите, что эта прямая параллельна Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть прямая Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпересекает стороны Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттреугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв точках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетсоответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетНо эти углы являются соответственными при прямых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети секущей Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетСледовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 103).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетотрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравный отрезку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети проведем прямую Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпараллельную Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеткак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо двум углам. Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетУчитывая, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетимеем Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетАналогично доказываем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо третьему признаку равенства треугольников, следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо двум углам. Теорема доказана.

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетс острым углом Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроведены высоты Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 110). Докажите, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПоскольку они имеют общий острый угол Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетони подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е. Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Рассмотрим теперь треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетУ них также общий угол Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетназывается средним пропорциональным между отрезками Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетесли Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

В прямоугольном треугольнике Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетс катетами Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети гипотенузой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроведем высоту Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети обозначим ее Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 111).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Отрезки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетна которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетна гипотенузу Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетобозначают Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетсоответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

По признаку подобия прямоугольных треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(у этих треугольников общий острый угол Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(у этих треугольников общий острый угол Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетИз подобия треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетимеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетАналогично из подобия треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетполучаем Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетИ наконец, из подобия треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетимеем Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТеорема доказана.

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 112).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Из метрического соотношения в треугольнике Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетполучаем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетИз соотношения Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетимеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетоткуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетСледовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети гипотенузой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 117) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Складывая эти равенства почленно, имеем:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— высота треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв котором Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 118).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— наибольшая сторона треугольника, то точка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетлежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравной Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетсм, тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПо теореме Пифагора из прямоугольного треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетимеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета из прямоугольного треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетимеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетт.е. Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПриравнивая два выражения для Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетполучаем:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Таким образом, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Тогда из треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо теореме Пифагора имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть в треугольнике Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 119, а) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДокажем, что угол Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпрямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетс прямым углом Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв котором Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 119, б). По теореме Пифагора Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо трем сторонам, откуда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОб этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетдля которых выполняется равенство Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпринято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетне лежит на прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетс точкой прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетНа рисунке 121 отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— наклонная к прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетточка Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— основание наклонной. При этом отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпрямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетна данную прямую.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а):
  2. равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б);
  3. большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (рис. 122, в).

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

По данным рисунка 123 это означает, что

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— биссектриса треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДокажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

В случае, если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетутверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетявляется одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Проведем перпендикуляры Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетк прямой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 124). Прямоугольные треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобны, поскольку их острые углы при вершине Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

С другой стороны, прямоугольные треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттакже подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда следует что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Сравнивая это равенство с предыдущем Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетчто и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— биссектриса прямоугольного треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетс гипотенузой Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 125).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

По свойству биссектрисы треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Тогда если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети по теореме Пифагора имеем:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

тогда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть хорды Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпересекаются в точке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПроведем хорды Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТреугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобны по двум углам: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеткак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетт.е. Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть из точки Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетк окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети касательная Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— точка касания). Проведем хорды Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТреугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобны по двум углам: у них общий угол Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаета углы Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетизмеряются половиной дуги Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетт.е. Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпересекаются в точке Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДокажите, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетЭлементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 129). Поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеткак вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетНо углы Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетвнутренние накрест лежащие при прямых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети секущей Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетСледовательно, по признаку параллельности прямых Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетопределяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпроводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Построение:

1.Построим треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв котором Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2.Построим биссектрису угла Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

4.Проведем через точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпрямую, параллельную Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетПусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— точки ее пересечения со сторонами угла Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетТреугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетискомый.

Поскольку по построению Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеткак соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— биссектриса и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо построению, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети ни одного, если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Подобие треугольников

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  • любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую
  • равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные
  • большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Метрические соотношения в окружности

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте Евклид и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая

колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков.

Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней.

Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию.

Подробно о подобных треугольниках

Вы знаете, что в равных треугольниках равны соответственные стороны и углы. Посмотрите на рисунок 243. Углы Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравны соответственным углам Δ ABC: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. Но стороны Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетв два раза больше соответственных сторон Δ ABC: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. Следовательно, треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетне равен треугольнику ABC. Треугольники Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети ABC — подобные.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает= 2АВ, составим отношение этих сторон: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Аналогично получим: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. Каждое из этих отношений равно числу 2. Следовательно, их можно приравнять: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Из этого двойного равенства составим три пропорции: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Именно поэтому говорят, что соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны. Их называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если в них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число, которому равно отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Его обозначают буквой h.

Записываем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаети говорим: «Треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобен треугольнику ABC*. Знак Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетзаменяет слово «подобный». Если коэффициент подобия треугольников известен, то записываем:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для подобных треугольников, как и для равных треугольников, имеет значение порядок записи вершин. Для треугольников на рисунке 243 запись Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— неверна.

Пример №25

Два треугольника на рисунке 244 подобны. Найдите длину их неизвестных сторон.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

В данных треугольниках: ے A = ے ,N ےB = ے K, ے C= ے P. Составим отношение сходственных сторон: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Подставим известные длины сторон: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Приравняем первое и третье отношения, а затем — второе и третье.

Получаем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, отсюда АВ = 5,6 см; Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для того чтобы составить отношение сходственных сторон подобных треугольников:

  1. определите соответственно равные углы треугольников;
  2. выясните, какие их стороны являются сходственными;
  3. запишите равенство трёх дробей, в их числителях — стороны одного треугольника, а в знаменателях — сходственные стороны другого.

Может ли коэффициент подобия быть равным 1? Да, может. В этом случае подобные треугольники имеют равные стороны, следовательно, они равны.

Равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников с коэффициентом k = 1.

Пример №26

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Докажите это.

Решение:

Пусть треугольники АВС и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 245) подобны с коэффициентом k.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Докажем, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Поскольку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетто Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Запишем периметры подобных треугольников АВС и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

1. Слово «подобный» означает «имеющий общие черты с кем-либо, чем-либо; похожий на кого-либо, что-либо». Этот термин часто используют в быту, науке, производстве. Например, эскиз треугольной косынки в масштабе 1: 10 и её выкройка в натуральную величину — это подобные треугольники. А вот выкройка и сама косынка — равные треугольники.

2. Древнегреческие математики вместо термина «подобный» употребляли слово «похожий». В отечественной математической литературе русский термин «подобие» используется с 1739 г. Знак ввёл в 1679 г. немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 — 1716).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

3. На рисунке 246 вы видите подобные треугольники АВС и НТР. Они расположены так, что их стороны параллельны, а прямые АН, ВТ и CP, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Говорят, что такие подобные треугольники ABC и НТР имеют перспективное расположение.

Понятие перспективы известно с древности, но собственно научная теория начинает интенсивно развиваться только в эпоху Возрождения. Посредством перспективы художники достигали эффекта объёмности своих холстов. Первым, кому это удалось сделать, был выдающийся флорентийский художник Джотто ди Бон-доне (1266 — 1337). Одновременно начинается поиск научных основ перспективы. Здесь первенство принадлежит также флорентийцу Филиппо Брунеллески (1377 — 1446). Учение о перспективе развивали и активно использовали в своём творчестве выдающиеся художники Леонардо да Винчи (Италия, 1452 — 1519), Альбрехт Дюрер (Германия, 1471 — 1528) и другие. Со временем из первых геометрических ростков учения о перспективе возникла новая наука — проективная геометрия. Её основателем был французский геометр, архитектор и инженер Жерар Дезарг (1591 — 1661), а развил до уровня стройной математической теории французский математик Жан Виктор Понселе (1788 — 1867).

Обобщённая теорема Фалеса

В теореме Фалеса утверждается, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответственно равные отрезки. Обобщённым является случай, когда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 253). Соответствующая теорема называется обобщённой теоремой Фалеса. Приведём её без доказательства.

Теорема (обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Обобщённую теорему Фалеса иначе называют теоремой о пропорциональных отрезках.

Следствие. Прямая, параллельная любой стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Действительно, в треугольниках ABC и MNC (рис. 254) общий угол С. Его пересекают параллельные прямые АВ и MN. С секущей АС они образуют равные соответственные углы CAB и CMN. Третьи углы треугольников также равны. Докажем пропорциональность сторон треугольников.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Из обобщенной теоремы Фалеса, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Проводим прямую NK || АС, аналогично получаем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. Но КА = MN, поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Итак, в треугольниках ABC и MNC соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает‘ Данные треугольники подобны по определению.

Для того чтобы доказать подобие треугольников:

  1. докажите равенство соответственных углов данных треугольников;
  2. докажите пропорциональность сходственных сторон данных треугольников;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по определению.

1. Может возникнуть вопрос: Как доказать обобщённую теорему Фалеса? Разделим отрезок АВ на п равных отрезков (рис. 255).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть длина каждого из них равна d. Тогда АВ = dn. Отложим от точки В на луче ВМ отрезки длиной d. Через все точки деления проведём прямые, параллельные ВС. Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые отсекают равные отрезки и на стороне АС данного угла. Обозначим их длины Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетНа отрезке АС их будет одинаковое количество п, поэтому АС = Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетn. Пусть на отрезке ВМ помещается целое количество m таких отрезков (рис. 255). На отрезке CN их также будет m. Тогда ВМ = dm, a CN = Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетm. Найдём отношение отрезков на двух сторонах угла:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Мы видим, что два отношения равны одному и тому же числу Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следовательно, их можно приравнять: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Пусть на отрезке ВМ помещаются т отрезков длиной dn остаётся отрезок меньшей длины, чем d (рис. 256). Это означает, что отрезок из m частей длиной d меньше отрезка ВМ, а отрезок из m + 1 частей длиной d — больше этого отрезка. Пришли к неравенству: dm ے А = ے Ау Тогда стороны АВ и АС будут лежать соответственно на лучах Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. Прямые ВС и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетcообразуют с секущей Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетравные соответственные углы: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетИз признака параллельности прямых следует, что, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

По следствию из обобщённой теоремы Фалеса, прямая ВС параллельная стороне Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, отсекает от треугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобный треугольник. Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следствие. Равносторонние треугольники подобны. Действительно, в равносторонних треугольниках все углы — по 60′. Поэтому треугольники подобны по двум углам.

Пример №27

В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 274). Докажите, что ∆АОВ

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD. В них: ے АОВ = ے COD как вертикальные, ے ОАВ = ے OCD как внутренние разносторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, ∆АОВ

∆COD по двум углам.

Для того чтобы доказать подобие двух треугольников:

  1. выделите их на рисунке;
  2. докажите равенство двух пар соответственных углов;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по двум углам.

1. На свойствах подобных треугольников базируется принцип построения номограммы — специального чертежа, при помощи которого, не выполняя расчётов, можно найти корни некоторого уравнения. Рассмотрим задачу.

Пример №28

К заданному отрезку АВ в его концах и с М одной стороны от него проведены два перпендикуляра AM = а и BN = by а также отрезки MB и NA, пересекающиеся в точке О. Расстояние от О до АВ равно х. Найдите зависимость х от а и b.

Решение:

Пусть точка К (рис. 275) — основание перпендикуляра, проведённого из точки О к прямой АВ. По условию задачи, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. Тогда:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Получили уравнение, выражающее искомую зависимость. Для его приближённого решения можно на листе в клеточку или миллиметровой бумаге построить (аналогично рис. 275) отрезки о и b заданной длины и измерить расстояние х— это и будет искомый корень уравнения. Такие номограммы можно использовать в задачах по физике, в частности в разделе «Оптика».

Второй и трети и признаки подобия треугольников

Вы уже знаете, что равенство треугольников можно установить по двум сторонам и углу между ними либо по трём сторонам. Признаки подобия треугольников аналогичны. Но в данном случае нужно определить не равенство, а пропорциональность соответственных сторон двух треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказать: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство. Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. Отложим на стороне Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаеттреугольника Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетотрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает= АВ = с (рис. 288). Через точку В2 проведём прямую Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетИмеем треугольник Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, который по следствию из теоремы Фалеса, подобен треугольнику Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает.

Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон и сократим полученные дроби.

Имеем: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетИз равенства треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетподобия треугольников Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетследует, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает.

Пример №29

В каждом из треугольников ABC и /?5Г(рис. 291) медиана, проведённая к большей стороне, равна половине этой стороны. Подобны ли заданные треугольники, если АС = 9, АК= 7,5, RT = б, MR = 5?

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

Медианы СK и ТМ отсекают от треугольников АВС и RSТсоответственно ∆АСК и ∆RTM. В каждом из них известны три стороны: АС= 9, АК= КС— 7,5; RT= 6, RM= МТ= 5.

Выясним, пропорциональны ли сходственные стороны этих треугольников: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следовательно, AACK ARTM по трём сторонам. Из подобия этих треугольников следует, что ے A = ے R.

Рассмотрим ∆АВС и ∆RST. У них: ے A= ے R, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

∆RSTno двум сторонам и углу между ними.

Решая задачи, помните:

  1. если на рисунке нет нужной пары треугольников, то для их получения проведите вспомогательные отрезки;
  2. иногда необходимо доказать подобие нескольких треугольников.

1. Вы, наверное, заметили, что признаки подобия и признаки равенства треугольников имеют много общего.

Пользуясь таблицей 19, сформулируйте попарно признак равенства и признак подобия треугольников. Чем отличаются соответствующие признаки?

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

2. Используя признаки подобия треугольников, можно доказать, что точка пересечения высот треугольника Н, точка пересечения его медиан М и центр описанной окружности Олежат на одной прямой (рис. 292).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Эту прямую называют прямой Эйлера в честь великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Он родился в Базеле (Швейцария), в 1727 — 1741 гг. работал в Петербурге, затем — в Берлине, а с 1766 г. — снова в Петербурге. С его работами связаны выдающиеся достижения во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Теорему о прямой, получившей его имя, Л. Эйлер сформулировал, доказал и опубликовал в 1765 г.

Применение подобия треугольников

Проведём высоту CD к гипотенузе ЛВ в прямоугольном треугольнике АБС (рис. 300). Она делит гипотенузу на отрезки AD и BD, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Если стороны треугольника обозначены А малыми буквами (рис. 300), то проекции катетов а и b на гипотенузу с обозначают соответственно: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Существуют ли зависимости между проекциями катетов на гипотенузу и сторонами прямоугольного треугольника? Да, существуют.

Одна из этих зависимостей очевидна: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. Другие зависимости требуют доказательства.

Отрезок x называется средним пропорциональным между отрезками а и b, если выполняется равенство а : х = х : b.

Из определения следует, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает. То есть квадрат среднего пропорционального между двумя отрезками равен произведению этих отрезков. В прямоугольном треугольнике можно выделить три средних пропорциональных: высоту, проведённую к гипотенузе, и оба катета.

Теорема (о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике).

В прямоугольном треугольнике:

  1. высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу;
  2. катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Дано: ∆АСВ (рис. 301), ے C= 90°, СH— высота.

Доказать: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Доказательство.

1) Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо двум углам.

Действительно, они имеют по прямому углу и ے ACH— ے CBH

Из подобия треугольников следует: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетОтсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает= Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает.

2) Каждый из треугольников АНС и СНВ подобен заданному треугольнику АСВ. Это следует из равенства их соответственных углов. Тогда получим:

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Следствие. Проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов.

Действительно, по теореме о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике, квадраты катетов соответственно равны Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(рис. 302).

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Поэтому Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Вы знаете, что биссектриса треугольника делит его угол пополам. Существует ли зависимость между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону треугольника? Да, существует.

Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите это.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 303) проведена биссектриса AL АС

Надо доказать, что Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Из точек А и В проводим перпендикуляры AM и BN к прямой CL.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетno двум углам. В них: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, поскольку CL — биссектриса ے С. Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо двум углам.

В них: ے AML = ے BNL = 90°, ے ALM— ے BLN как вертикальные.

Отсюда Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает(2)

Из равенств (1) и (2) получим: Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Подобие треугольников используют не только в задачах на доказательство или вычисление, но и на построение.

Пример №31

Постройте треугольник по двум углам А и С и биссектрисе I угла В.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Решение:

Анализ (рис. 304). Углы А и С определяют треугольники, подобные искомому, а биссектриса — размеры искомого треугольника.

Пусть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает— искомый. Опустим требование задачи, что I — биссектриса ے B, то есть Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает= I. Тогда можно построить вспомогательный Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетпо двум заданным углам А и С. Через точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетна биссектрисе ے В ( Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает= I) проходит прямая Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, отсекающая от треугольника ABC подобный ему треугольник. Следовательно, вершины Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, искомого треугольника являются точками пересечения прямой С, со сторонами ВА и несоответственно вспомогательного Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетАВС.

Построение.

  1. Строим вспомогательный ∆ABC двум углам А и С.
  2. Проводим биссектрису BL угла В.
  3. На луче BL откладываем отрезок Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает= I.
  4. Через точку Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, проводим прямую Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает.

Доказательство.

По построению, в треугольнике Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает: ے At = ے A, ے CX = ے C, BLy — биссектриса угла В и Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает= I. Следовательно, Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает, — искомый.

Дано:

Способ применения подобия треугольников в задачах на построение называют методом подобия.

Для того чтобы решить задачу на построение треугольника методом подобия:

  1. выделите из условия задачи те данные, которые определяют форму искомого треугольника;
  2. постройте по этим данным вспомогательный треугольник, подобный искомому;
  3. постройте искомый треугольник, используя те заданные условия, которые определяют его размеры.

1. Важные свойства имеет биссектриса внешнего угла треугольника.

Если треугольник равнобедренный, то биссектриса внешнего угла параллельна основанию (рис. 305). Если треугольник не равнобедренный, то биссектриса его внешнего ума пересекает противолежащую сторону в точке, расстояния от которой до вершин этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Пусть ABC — заданный треугольник (рис. 306), биссектриса его внешнего угла КВС пересекает продолжение стороны АС в точке D. Докажем, что DC: DA= ВС: ВА. Выполним вспомогательное построение: проведём СМ || BD. Две параллельные прямые пересекают стороны угла А, поэтому, по обобщённой теореме Фалеса, А С : CD = А М: MB, либо AD: CD=AB: MB.

Для пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекаетДля пары параллельных прямых а и в проведена секущая м которая пересекает

Но МВ= СВ, поскольку ∆ВСМ— равнобедренный.

Действительно, в нём ے 3 = ے 4, так как ے 1 = ے 2 (BD— биссектриса ے KBC);

ے 1 = ے 3 как соответственные (BD II СМ, АВ — секущая);

ے 2 = ے 4 как внутренние накрест лежащие (BD || СМ, ВС — секущая).

Следовательно, AD : CD = АВ : СВ, то есть DC: DA = ВС: ВА.

Рассмотрите самостоятельно случаи, когда треугольник ABC— остроугольный

2. Значительный вклад в развитие теории геометрических построений сделал известный украинский математик Александр Степанович Смогоржевский.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Зачет по главе «Параллельные прямые» -7 класс

1. Дайте определение параллельных прямых.
2. Какие два отрезка называются параллельными?
3. Что такое секущая?
4.Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых и секущей.
5. Перечислите признаки параллельности прямых.
6. Расскажите о практических способах построения параллельных прямых.
7. Объясните, какие утверждения называются аксиомами.
8. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
9. Какое утверждение называется следствием?
10. Сформулируйте следствия из аксиомы параллельных прямых.
11. Какая теорема называется обратной данной?
12. Сформулируй теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

📸 Видео

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать