Длина разности векторов ab ad (7 видео) | Курс школьной геометрии

Содержание

Длина разности векторов ab ad
Как написать хороший ответ?
Сумма векторов. Длина вектора. Задачи!
Задание по геометрии — вектора.
Задачи на вектора.
💥 Видео

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Длина разности векторов ab ad

Вопрос по геометрии:

Две стороны прямоугольника abcd равны 16 и 30. найдите длину разности векторов ab и ad

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Длина разности векторов вычисляется по правилу параллелограмма:

ас это диагональ
Так как нам дан прямоугольник , то диагонали ас и bd равны
То есть мы можем рассмотреть треугольник abd и найти гипотенузу(длину разности наших векторов)

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Видео:егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать

Сумма векторов. Длина вектора. Задачи!

Сумма векторов. Длина вектора. Дорогие друзья, в составе типов задний экзамена присутствует группа задач с векторами. Задания довольно широкого спектра (важно знать теоретические основы). Большинство решается устно. Вопросы связаны с нахождением длины вектора, суммы (разности) векторов, скалярного произведения. Так же много заданий, при решении которых необходимо осуществить действия с координатами векторов.

Теория касающаяся темы векторов несложная, и её необходимо хорошо усвоить. В этой статье разберём задачи связанные с нахождением длины вектора, также суммы (разности) векторов. Некоторые теоретические моменты:

Вектор — это направленный отрезок.

Все векторы, имеющие одинаковое направление и равные по длине являются равными.

*Все представленные выше четыре вектора равны!

То есть, если мы будем при помощи параллельного переноса перемещать данный нам вектор, то всегда получим вектор равный исходному. Таким образом, равных векторов может быть бесчисленное множество.

Вектор может быть обозначен латинскими заглавными буквами, например:

При данной форме записи сначала записывается буква обозначающая начало вектора, затем буква обозначающая конец вектора.

Ещё вектор обозначается одной буквой латинского алфавита (прописной):

Возможно также обозначение без стрелок:

Суммой двух векторов АВ и ВС будет являться вектор АС .

Записывается как АВ + ВС = АС .

Это правило называется – правилом треугольника.

То есть, если мы имеем два вектора – назовём их условно (1) и (2), и конец вектора (1) совпадает с началом вектора (2), то суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора (1), а конец совпадает с концом вектора (2).

Вывод: если мы имеем на плоскости два вектора, то всегда сможем найти их сумму. При помощи параллельного переноса можно переместить любой из данных векторов и соединить его начало с концом другого. Например:

Перенесём вектор b, или по-другому – построим равный ему:

Как находится сумма нескольких векторов? По тому же принципу:

Это правило является следствием изложенного выше.

Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Построим вектор равный вектору b так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a, и мы можем построить вектор, который будет являться их суммой:

Ещё немного важной информации, необходимой для решения задач.

Вектор, равный по длине исходному, но противоположно направленный, обозначается также но имеет противоположный знак:

Эта информация крайне полезна для решения задач, в которых стоит вопрос о нахождении разности векторов. Как видите, разность векторов это та же сумма в изменнёном виде.

Пусть даны два вектора, найдём их разность:

Мы построили вектор противоположный вектору b, и нашли разность.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала:

То есть, координаты вектора представляют собой пару чисел.

И координаты векторов имеют вид:

Модулем вектора называется его длина, определяется по формуле:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов АО и ВО .

Найдём вектор, который будет являться результатом АО – ВО:

АО – ВО = АО +(– ВО )= АВ

То есть разность векторов АО и ВО будет являться вектор АВ. А его длина равна восьми.

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ + AD .

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов AD и AB . Вектор BC равен вектору AD . Значит AB + AD = AB + BC = AC

Длина вектора AC это длина диагонали ромба АС, она равна 16.

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО + ВО .

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов АО и ВО . Вектор ВО равен вектору OD, з начит

Длина вектора AD это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AOD. Вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО – ВО .

Найдём вектор, который будет являться результатом АО – ВО :

Длина вектора АВ это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике AOB. вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Стороны правильного треугольника ABC равны 3.

Найдите длину вектора АВ – АС .

Найдём результат разности векторов:

Длина вектора СВ равна трём, так как в условии сказано, что треугольник равносторонний и его стороны равны 3.

27663. Найдите длину вектора а (6;8).

27664. Найдите квадрат длины вектора АВ .

27707. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину вектора АС .

27708. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов AB и AD .

27709. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов AB и AD .

27711. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов АО и ВО .

27713. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ .

27715. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.

Найдите длину вектора АВ – AD .

27716. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.

Найдите длину вектора АВ – АС .

Стороны правильного треугольника ABC равны 2√3. Найдите длину вектора АВ + АС .

В будущем мы продолжим рассматривать задачи с векторами, не пропустите! Задания будут связаны с координатами векторов, скалярным произведением.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр

Вступительный экзамен по математике. Преподаватели приглашают первого абитуриента:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Пять! — Нет! — Шесть!
— Неправильно! Да… дурак, но ищущий… берем!
Заходит второй абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Три! — Нет! — Три!
— Неправильно! Да… дурак, но настырный… берем!
Заходит третий абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Четыре, конечно!
— Да… умный. Но мест уже нет!

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Задание по геометрии — вектора.

Эта страница посвящена группе задач по геометрии, связанной с векторами, и является продолжением рассмотрения серии геометрических заданий, характерных для ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Если вы не занимались другими типами этого задания, перейдите по ссылкам в конце страницы.

Видео:Сумма и разность векторов. Длина вектора (профильный ЕГЭ)Скачать

Задачи на вектора.

Длина отрезка называется модулем вектора. Два вектора равны, если они имеют равные модули и одинаково направлены.
Вектора обозначают либо строчными латинскими буквами a, b, c . , либо указанием концов отрезка AB, CD, MN. Чтобы отличить обозначение вектора от обозначения просто отрезка, эти символы сверху дополняются черточками или стрелочками. В печатном тексте строчные латинские буквы часто выделяют только полужирным шрифтом.

Если вектор обозначен двумя буквами (концами отрезка), то на первом месте всегда стоит начало вектора.

Задать вектор можно разными способами:
1. Графически — изобразить на координатной сетке.
2. Задать начальную и конечную точки и их координаты.
3. Задать длину отрезка и направление. Направление определяют углы с осями координат (направляющие косинусы).
4. Задать координаты вектора.

Уточним понятие координаты вектора.

На рисунке вектор AB имеет координаты (9;5). Обратите внимание, что эти числа фактически задают катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является отрезок АВ. Длина этих катетов не изменится, если мы переместим параллельным переносом отрезок, а с ним и весь треугольник, в другое место. Координаты вектора не зависят от его положения на плоскости, а только от длины отрезка и направления. Если направление вектора не совпадает с направлением оси координат, то соответствующая координата вектора будет равна длине катета со знаком «минус».

Вектора можно складывать, вычитать, умножать на число. Для векторов также определены специальные виды умножения — скалярное произведение, результатом которого является число, и — векторное произведение, результатом которого является вектор. (Векторное произведение не входит в обязательную школьную программу по математике, но частично встречается на уроках физики, когда изучают законы индукции магнитного поля.) Операции над векторами можно производить либо координатным методом, либо графическим (правило параллелограмма, правило треугольника. ). Повторите эти правила по учебнику или справочнику и выберите себе «любимое». Я привожу решение тем методом, который короче для конкретной задачи.

Для следующей группы задач чертёж в условии, вообще говоря, не обязателен. Если решать задачи координатным методом, то и в решении можно обойтись без чертежа, тем более, не нужна сетка. Однако лучше чертежи делать всегда, чтобы избежать нечаянных ошибок. А сетка помогает зрительно контролировать своё решение. Конечно, в том случае, если масштаб данных позволяет.

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Найдите длину вектора AC .

Длина вектора AC — равна длине отрезка AC, который является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC с известными катетами.
AC 2 = AB 2 + BC 2 = 8 2 + 6 2 = 64 + 36 = 100; AC = 10.

Ответ: 10

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Найдите длину суммы векторов AB и AD .

По правилу параллелограмма: сумма векторов совпадает с диагональю параллелограмма, проходящей через точку, в которой совмещены начала векторов-слагаемых; начало вектора-суммы находится в точке начала обоих векторов. На рисунке это вектор AC — . Его длину мы находили в предыдущей задаче:
AC 2 = AB 2 + BC 2 = 8 2 + 6 2 = 64 + 36 = 100; AC = 10.

Ответ: 10

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Найдите длину разности векторов AB и AD .

По правилу параллелограмма: разность векторов совпадает с другой диагональю параллелограмма (соединяющей концы векторов-слагаемых, если их начала совмещены в одной точке); вектор разности направлен от вычитаемого к уменьшаемому. На рисунке это вектор DB — , направлен от D к B, так как я нахожу разность AB — − AD — .
DB 2 = AB 2 + AD 2 = 8 2 + 6 2 = 64 + 36 = 100; DB = 10.

Ответ: 10

Замечание: Ответы совпали, потому что дан один и тот же прямоугольник, а диагонали в прямоугольнике, как известно, равны.

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Найдите скалярное произведение векторов AB и AD .

Скалярное произведение двух векторов a и b находится по любой из двух формул.
1) Через координаты по формуле (a,b) = a₁·b₁ + a₂·b₂
2) Через длины векторов и угол между ними по формуле (a,b) = |a|·|b|·cosα

Способ I.
Координаты вектора AB — равны (8;0), вектора AD — равны (0;6).
Значит ( AB — , AD — ) = 8·0 + 0·6 = 0.
Способ II.
| AB — | = AB = 8, | AD — | = AD = 6, cosα = cos∠DAB = cos90° = 0.
Значит ( AB — , AD — ) = | AB — |·| AD — |·cos∠DAB = 8·6·0 = 0.

Ответ: 0

Замечание: Есть несколько способов обозначения скалярного произведения. Можно со скобками (a,b) или без них a·b _ _ , как обычное умножение.

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов AO и BO .

Вспомним, что диагонали прямоугольника пересекаются в его центре и в точке пересечения делятся пополам.

Способ I.
Координаты вектора AO — равны (4;3), обе положительны, потому что вектор направлен вверх, как ось Oy и вправо, как ось Ox. Координаты вектора BO — равны (-4;3), вектор направлен вверх, как ось Oy, но влево, противоположно оси Ox. Чтобы найти сумму векторов, воспользуемся тем, что при сложении векторов их соответствующие координаты складываются. Пусть вектор s(s₁;s₂) — сумма, тогда s₁ = 4 + (- 4) = 4 — 4 = 0; s₂ = 3 + 3 = 6. Квадрат длины вектора |s| 2 = s₁ 2 + s₂ 2 = 0 2 + 6 2 = 36;
длина вектора |s| = 6.

Способ II.
Чтобы решить задачу графически, надо применить к одному или к обоим векторам параллельный перенос. Для применения правила параллелограмма надо сместить их так, чтобы обе начальные точки совпали. Для применения правила треугольника надо начало одного из векторов-слагаемых совместить с концом другого. Здесь сместили вектор BO — вдоль линии ВD. На рисунке показан результат графического сложения — это вектор AD — . Как видно непосредственно по рисунку, его длина равна 6.

Ответ: 6

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов AO и BO .

‘Способ I.
Координаты вектора AO — равны (4;3), вектора BO — равны (-4;3). Чтобы найти разность векторов, нужно найти разность их соответствующих координат. Пусть вектор d(d₁;d₂) — разность, тогда d₁ = 4 — (- 4) = 4 + 4 = 8; d₂ = 3 — 3 = 0. Квадрат длины вектора |d| 2 = d₁ 2 + d₂ 2 = 8 2 + 0 2 = 64; длина вектора |d| = 8.

Способ II.
Чтобы решить задачу графически, совмещаем начала векторов параллельным переносом обоих векторов вдоль диагоналей прямоугольника. На рисунке показан результат графического вычитания — это вектор DС — . Как видно непосредственно по рисунку, его длина равна 8.