Длина дуги окружности пропорциональна ее градусной

Основные определения и свойства. Число π

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и ее дуг

Площадь круга

Длина окружности

Длина дуги

Площадь сектора

Площадь сегмента

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
		Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Длина окружности
Длина дуги

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Урок математики по теме «Длина окружности и длина дуги окружности». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цель урока:

• Совершенствовать навыки решения задач на применение формул длины дуги окружности и длины окружности.
• Формировать у обучающихся регулятивные универсальные учебные действия: Учить способам самопроверки и самоанализа.
• Развивать логическое мышление, интерес к познавательной деятельности, творческие способности учащихся, математическую речь.

Тип урока: урок деятельного типа.

Оборудование: распечатки для выполнения задания «Лови ошибку!» и решения задач из различных источников для подготовки к ОГЭ и дополнительного домашнего задания, интерактивная доска, учебно-методическое пособие для подготовки к ОГЭ в 2019 году. 40 вариантов под редакцией Лысенко Ф.Ф. (у каждого ученика).

Ход урока

1. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности

Учитель. Приветствует всех. Предлагает вспомнить тему прошлого урока и тематику домашнего задания

Предполагаемые ответы учеников (длина окружности, длина дуги окружности).

Учитель. И если сегодня у нас не будет нового теоретического материала, значит что же нам предстоит делать на этом уроке?

Предполагаемые ответы учеников (решать задачи, повторять теоретический материал).

Учитель, с учётом ответов учащихся сообщает цель урока, акцентируя внимание на эпиграфе урока, особенно на заключительном предложении, подчёркивая важность формирования у себя регулятивных универсальных учебных действий.

II. Актуализация знаний учащихся

1.1 Проверка домашнего задания (три человека работают у доски)

а) Учитель, обращаясь к классу, выясняет, кто сможет решить дополнительную задачу с объяснениями у доски и сообщает, что это была задача с сайта «Решу ОГЭ» №24 по структуре ОГЭ. Решение с использованием интерактивной доски.

1 ученик. №24. Решу ОГЭ №311 650

В треугольнике АВС: R=4, В=72 о , С= 63 о , ВС = .

Найти:

а) радиус окружности, описанной около треугольника;

б) длину окружности;

в) длину дуги ВС.

Решение:

а) В треугольнике АВС А = 180 о — 135 о = 45 о . Применив следствие из теоремы синусов имеем:

Применив свойство пропорции получим:

б) По формуле вычисления длины окружности через полученное значение радиуса находим: .

в) По формуле длины дуги окружности l = где α = 90 о , по свойству центрального угла находим: l =

Ответ: 2; 4, .

б) 2 ученик (ГВЭ) Учебник № 1101(1)

С = 6,28 · 4= 25,12

Ответ: 25,12.

в) 3 ученик. Учебник №1109(1)

а) R = 6, дуга АВ = 30 о . Найти длину дуги АВ.

Ответ: .

1.2 Учитель проверяет решение домашней работы у доски, а класс выполняет самостоятельную работу по карточкам с последующей проверкой.

(Для диагностики и формирования регулятивных учебных действий использовать такой вид занятий как «Лови ошибку»).

Ответить на вопросы: «да» или «нет», заполнив таблицу

Да

2, 6, 8, 9

Нет

1, 3, 4, 5, 7

1. Окружность – это шар, все точки которого находятся на заданном расстоянии от одной данной точки. (нет)

2. Любой равносторонний треугольник является правильным? (Да)

3. Любой равносторонний четырёхугольник является правильным? (Нет, например ромб)

4. Угол, лежащий напротив радиуса – прямой. (нет)

5. Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. (нет)

6. Сторона квадрата, вписанного в окружность равна. Длина этой окружности равна 12. (да)

7. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 6. Длина этой окружности равна 6. (нет)

8. Длина окружности более чем в 3 раза превышает диаметр этой окружности. (да)

9. Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере. (да)

1.3 Самопроверка ответов с последующей самооценкой. (Правильные ответы заготовлены для проверки).

Критерии оценивания

Менее 3 баллов

3-4 балла

5-6 баллов

7-9 баллов

«2»

«3»

«4»

«5»

III. Решение задач

1 тип (прямоугольный треугольник в окружности …)

Учитель обращает внимание на 4 и 5 вопросы «Лови ошибку» и выясняют с классом правильный ответ, подводит итог с классом: применение каких дополнительных теоретических сведений требовалось для решения задачи и правильного ответа на вопросы.

Предлагает решить задачи (Лысенко. Варианты №5,6. Задание №16), но добавить вопрос: найти С окружности.

В треугольнике АВМ АМ=12, ВМ=5, угол М=90 о . Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника, длину окружности

Решение: АВ=13, R = 6,5; С=13.

Ответ: R = 6,5; С=13.

Вариант №6. Задание №16

В треугольнике ВСК ВС=8, СК=6, угол С=90 о . Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника, длину окружности.

Решение: АВ=10, R = 5; С=10.

Ответ: R = 5; С=10.

IV. Физкульминутка

V. Решение задач нового типа по рассматриваемой теме

Учитель обращает внимание учеников на последний 9 вопрос. Необходимо довести до учащихся тот факт, что длина дуги окружности прямо пропорциональна её градусной мере, т.е , где α, β — градусные меры дуг, т.е. центральные углы, а Х и У – длины этих дуг.

Учитель предлагает продолжить работу с учебно-методическим пособием по подготовке ОГЭ. Лысенко Ф.Ф. (40 вариантов).

Лысенко Вариант №13. Задание №16

На окружности с центром О отмечены точки С и Д так, что угол СОД равен 48 о . Длина меньшей дуги СД равна 34. Найти длину большей дуги.

Решение:

Пусть длина большей дуги СД равна х.

Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

Ответ: 221.

Лысенко Вариант №14. Задание №16

На окружности с центром О отмечены точки К и L так, что угол КOL равен 76 о . Длина меньшей дуги КL равна 95. Найти длину большей дуги.

Решение:

Пусть длина большей дуги равна х. Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

Ответ: 355.

VI. Рефлексия учебной деятельности

• Задачи какого содержания решали на уроке? Какие из них не совсем понятны?
• Что нового узнали на уроке?
• Какие знания сегодня приобрели, приумножили, а какие умело применили.

VII. Информация о домашнем задании

Стр. 284 вопросы 1,6,7,10 № 1108 (практич.содер.; межпред. Связь) №1104(б)

Индивидуальные задания. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите длину окружности, если AB = 15, AC = 25 (теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки).

Дополнительные задачи

1 часть. 50 вариантов заданий. ОГЭ 2019. Под редакцией И.В.Ященко. Задание №17.

Вариант 1.

1. Центр окружности, описанной около треугольника АВС лежит на стороне АВ, АС = 16, ВС = 30. Найти длину окружности.

Вариант 2

1. Центр окружности, описанной около треугольника АВС лежит на стороне АВ, АС = 32, ВС = 24. Найти длину окружности.

Вариант 3.

1. Сторона равностороннего треугольника равна . Найти длину окружности, описанной около этого треугольника.

2 часть

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите длину окружности, если AB = 15, AC = 25 (теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки).

Длина дуги окружности — формула, обозначение, примеры расчета

В любой отрасли знаний существует два подхода: академический (теоретический) и прикладной (практический). На стыке этих тенденций всегда находилась геометрия. Определить значение длины дуги окружности и рассчитать площадь круга пытались ещё строители древнеегипетских пирамид. Аналогичные задачи актуальны до сих пор и не потеряют важности для человечества в любую эпоху.

Необходимость расчётов

Геометрическими формулами, связанными с подсчетом площади сектора, объема сегмента и периметра полукруга, следует виртуозно владеть людям, связавшим свою жизнь со строительством или благоустройством территорий. Чтобы обновить после зимы элементы архитектуры городского парка и закрасить дефекты абстрактных скульптур, не нужно вспоминать сложные уравнения, достаточно применить знание геометрических формул.

К примеру, для правильного нахождения веса декоративного камня, предназначенного для окантовки части клумбы, нужно уметь быстро посчитать размер полуокружности на поверхности ландшафта. Затем необходимо определиться с ценой и принять решение, какой камень можно покупать с учетом сметы. Аналогичная задача возникает при строительстве альпийской горки. Тяжесть камня обеспечит круговую укладку, это свойство позволит высадить декоративные растения в запланированных местах сечения, придав конструкции форму трапеции.

Что представляет собой часть клумбы? Это сектор геометрической фигуры. Внешняя его часть — окантовка клумбы — чаще всего представляет собой дугу окружности. Существует две методики вычисления этой величины:

• градусная (с привязкой к центральному углу);
• по формуле Гюйгенса (с использованием хорды).

Определение методики расчета в полевых условиях зависит от наличия инструментов и особенностей рельефа местности. Но сначала немного теории. Дугой называют часть окружности, расположенную между двумя произвольными точками, находящимися на ней.

Для удобства рассмотрим пример с двумя точками A и B, расположенными на окружности на небольшом расстоянии друг от друга. Они делят её на 2 части — большую и меньшую. Каждая из них называется дугой окружности.

Градусная мера

Длина дуги между точками окружности является функцией центрального угла, образованного радиусами круга (см. рисунок) в прямо пропорциональной зависимости. На этом основана градусная мера.

За 1° дуги принимают часть окружности.

Поскольку L равна , то развернутому углу 180° будет соответствовать длина дуги .

Если значение угла равно 1°, формула выглядит так: .

Следовательно, формула длины дуги окружности с центральным углом n° будет выражаться следующим образом: .

Определим значение l для угла 120° с радиусом, равным 5 мм: l=3,14*30*5/180=2,62 мм.

Применение хорды и высоты

Существует методика расчета длины дуги по хорде и высоте перпендикуляра. Она получила название формулы Гюйгенса. Хорда представляет собой часть прямой, расположенной внутри окружности. Проходящая через центр хорда называется диаметром.

Формулу Гюйгенса применяют, если центральный угол меньше 60 градусов. Для проведения вычислений необходимо сначала соединить точки окружности прямой линией. Это будет хорда. Далее нужно провести перпендикуляр из ее середины, а из точки соприкосновения перпендикуляра с дугой начертить две прямые линии к концам хорды.

Получился равнобедренный треугольник, стороны которого обозначим l , а саму хорду назовем L . Для углов более 60 градусов формулу Гюйгенса не стоит использовать, поскольку при расчетах может возникнуть ошибка. Чем больше угол, тем значительней будет погрешность.

Замерив хорды L и l, можно получить значение дуги, обозначенной на рисунке синим цветом. Если L равна 30 мм, а l — 20 мм, то Р=2*20+3,33=43,33 мм.

Теперь, когда существует понимание методики расчета, можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Этот инструмент хорош для проверки полученного экспериментальным путем результата, особенно при обработке большого количества данных, когда необходимо быстро получить ответ.

Онлайн-калькулятор позволяет сохранять полученные значения в буферной памяти компьютера. Оформить данные в виде произвольной таблицы или графика в системе координат не составит труда. Длина дуги окружности по онлайн-калькулятору считается с использованием любой из двух формул: либо по градусной мере, либо по хорде и высоте. Образно говоря, эти формулы являются синонимами, они взаимозаменяемы.

Практика с задачами

Нужно сказать несколько слов об изучении геометрии в средних классах общеобразовательной школы. Существует категория учащихся, для которых формулы сложны для восприятия. Таким ученикам требуется наглядный материал.

На уроке геометрии при изучении материала по вычислениям параметров окружности можно провести практическое занятие. Для этого следует предварительно подготовиться: сделать небольшой чертеж-проекцию гимнастического кольца. Цель занятия — научиться использовать формулы в процессе работы. Ход урока:

Попросить дежурного ученика принести из спортивного зала гимнастическое кольцо (хула-хуп) небольшого диаметра.

Отметить фломастером или цветным мелком 3 точки на наружной стороне кольца. После этого оно окажется поделенным на несколько секторов.

Сделать проекцию кольца на школьной доске с нанесенными точками. На чертеже обозначить центр круга, провести диаметр. Затем нужно соединить отмеченные на окружности точки радиусами с центром круга и хордами между собой.

Провести все замеры. Получить значения всех параметров и записать на доске. Её предварительно разделить на две части: в центре, доступном для обзора, будут значения центральных углов АОВ и ВОС, диаметр, длина прямых линий АВ, ВС и АС.

Ответы (искомые значения) записать в правой части доски и прикрыть шторкой до момента окончания практического занятия.

Далее следует разделить класс на 4 небольших группы. Каждой из них нужно дать задание по проведению вычислений с использованием изученных формул.

• группа №1 вычисляет длину дуги между точками А и В, используя градусную меру центрального угла АОВ;
• вторая группа получает аналогичное задание для отрезка между точками В и С;
• третья группа вычисляет искомый параметр между точками А и С, используя длину хорды АС и вспомогательных линий АВ и ВС;
• группа №4 работает с точками А и С, применяя значения угла АОС.

На выполнение задания отводится 12 минут. После истечения времени от каждой из четырех групп выходит ученик, поясняет формулу и записывает на доске полученный результат. Эти ответы сравниваются с уже готовыми замерами, записанными ранее на правой стороне доски.

Следующие 7 минут урока отводятся на обсуждение полученного результата и анализа возникновения погрешности.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Усложнение формулы

Группе продвинутых учеников предлагается задание «Как изменить градусную формулу?». Можно ли найти значение радиуса, используя другие геометрические выражения, например, представить его как половину диаметра круга? В этом случае формулы будет выглядеть следующим образом: r=1/2d, тогда l= πd/360*n.

Если использовать формулу вычисления площади круга и выразить радиус через неё, тогда можно получить s=πr 2 .

Обозначаться радиус будет интересно — в виде производной квадратного корня. Вывести формулу нетрудно, это станет прекрасной ментальной гимнастикой для учащихся.

Базовая цель уроков математики — развитие аналитического мышления учащихся достигается в процессе обсуждения и сравнения различных методик расчета. В качестве дополнительного задания можно предложить ученикам посчитать значение кривой линии наружного края школьной клумбы. Затем следует попросить обосновать свои расчеты.

Использование наглядности поможет учащимся подружиться с формулами, увидеть роль геометрии в повседневной практической жизни и облегчить усвоение конкретного материала.

🎦 Видео

9 класс, 26 урок, Длина окружностиСкачать

Задание 16 из ОГЭ. Найдите длину большей дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Длина окружности. 9 класс.Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)Скачать