В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.
Содержание:
- Определение треугольника
- Классификация треугольников
- 1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
- 2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
- 3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
- 4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
- 5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
- 6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
- Свойства треугольника
- 1.Свойства углов и сторон треугольника.
- 2.Теорема синусов.
- 3. Теорема косинусов.
- 4. Теорема о проекциях
- Медианы треугольника
- Свойства медиан треугольника:
- Формулы медиан треугольника
- Виды треугольников
- Виды треугольников
- 🌟 Видео
Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать
Определение треугольника
Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.
Треугольник ABC (△ABC)
- Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
- Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
- Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.
Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — ∠. После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:
Видео:Математика 3 класс. Виды треугольниковСкачать
Классификация треугольников
Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.
1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
Видео:Виды треугольников 3 классСкачать
Свойства треугольника
1.Свойства углов и сторон треугольника.
- Сумма всех углов треугольника равна 180°:
- Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
- В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
2.Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
| a | = | b | = | c |
| sin α | sin β | sin γ |
3. Теорема косинусов.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
4. Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
Видео:ТреугольникСкачать
Медианы треугольника
Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медиан треугольника:
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
| AO | = | BO | = | CO | = | 2 |
| OD | OE | OF | 1 |
3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части
4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны:
Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать
Виды треугольников
В зависимости от величин углов и соотношения длин сторон различают следующие виды треугольников.
Виды треугольников по углам:
- остроугольные
- прямоугольные
- тупоугольные
Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).
Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).
Виды треугольников по сторонам:
- равносторонние
- равнобедренные
- разносторонние
Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.
Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.
Если в задаче ничего не сказано о виде треугольника, его считают произвольным, то есть разносторонним.
Отрезки равной длины на чертеже отмечают равным количеством черточек:
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Виды треугольников
Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными, прямоугольными, разносторонними, равносторонними, равнобедренными.
Определение 1. Треугольник называется остроугольным, если все ее углы острые, т.е. меньше 90° (Рис.1).
 |
Определение 2. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, т.е. больше 90° (Рис.2).
 |
Если треугольник тупоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.
Определение 3. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, т.е. равен 90° (Рис.3).
 |
Если треугольник прямоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.
Определение 4. Треугольник называется разносторонним, если длины всех сторон треугольника разные (Рис.4).
 |
Определение 5. Треугольник называется равносторонним или правильным, если длины всех сторон равны (Рис.5).
 |
Определение 6. Треугольник называется равнобедренным, если длины двух сторон равны (Рис.6).
 |
В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона называется основанием.
🌟 Видео
Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
3 класс. Математика. Виды треугольников. Часть 1Скачать
Треугольники: остро-, тупо- и прямоугольныеСкачать
Треугольник и его виды. 5 классСкачать
Виды треугольников. 6 классСкачать
8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать
Виды треугольников 2Скачать
ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
ТреугольникиСкачать
3 класс. Математика. Виды треугольников. Часть 2Скачать
Математика 5 класс (Урок№28 - Треугольники.)Скачать
Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
