Дивергенция и вихрь ротор вектора

60. Дивергенция и ротор векторного поля. Свойства. Формула Стокса и Остроградского.

Пусть X — заданное многообразие, T — касательное расслоение, то есть отображение, которое каждой точке X сопоставляет касательное пространство в данной точке T | X , тогда сечение касательного расслоения является векторным полем.

Таким образом, векторное поле — это отображение, которое ставит каждой точке многообразия в соответствие вектор из касательного пространства в данной точке.

Видео:Александр Чирцов: ротор, дивергенция и градиентСкачать

Александр Чирцов: ротор, дивергенция и градиент

Частные случаи векторных полей

Векторные поля на прямой

Любую вещественнозначную функцию вещественного переменного можно интерпретировать как одномерное векторное поле.

Векторные поля на плоскости

Если Дивергенция и вихрь ротор вектора— радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид Дивергенция и вихрь ротор вектора, то векторное поле описывается вектор-функцией вида:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Векторные поля в трёхмерном пространстве

Если Дивергенция и вихрь ротор вектора— радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид Дивергенция и вихрь ротор вектора, то векторное поле описывается вектор-функцией вида:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

В трёхмерном пространстве имеют смысл следующие характеристики векторного поля

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где точка означает скалярное произведение, Дивергенция и вихрь ротор вектора— векторный элемент криволинейного пути, вдоль которого происходит интегрирование, F τ — проекция Дивергенция и вихрь ротор векторана (положительную) касательную к криволинейному пути, dl — скалярный элемент пути (элемент длины), C — конкретная кривая — путь интегрирования (обычно полагаемая достаточно гладкой). Пожалуй, простейшим физическим прообразом такого интеграла является работа силы Дивергенция и вихрь ротор вектора, действующей на точку при перемещении точки по заданному пути.

Циркуляция — интеграл по замкнутому контуру:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где подынтегральное выражение совпадает с описанным чуть выше, а отличие состоит в пути интегрирования C, который в данном случае по определению замкнут, что обозначается кружком на знаке интеграла.

Поток векторного поля Дивергенция и вихрь ротор векторачерез поверхность S определяется как интеграл по S:

Дивергенция и вихрь ротор вектора,

где F n — проекция вектора поля на нормаль к поверхности, Дивергенция и вихрь ротор вектора— «векторный элемент поверхности», определяемый, как вектор единичной нормали, умноженный на dS . Простейшим примером этой конструкции является объём жидкости, проходящий через поверхность S, при её течении со скоростью F.

Аналогом производной для векторного поля выступает тензор частных производных (якобиан), который в декартовых координатах имеет вид:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция векторного поля — след такого тензора производных. Она не зависит от системы координат (является инвариантом преобразований координат, скаляром), а в прямоугольных декартовых координатах вычисляется по формуле:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Это же выражение можно записать с использованием символического оператора набла

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет вычислить поток векторного поля с помощью объёмного интеграла от дивергенции поля.

Ротор — векторная характеристика вихревой составляющей векторного поля. Это вектор с координатами:

Дивергенция и вихрь ротор вектора,

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Градиент — важнейшая и простейшая операция, позволяющая получить векторное поле из скалярного поля. Полученное применением такой операции к скалярному полю fвекторное поле называется градиентом f:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

или, записывая с помощью наблы:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Векторное поле, дивергенция которого всюду равна нулю, называется соленоидальным; оно может быть представлено как ротор некоторого другого векторного поля.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым); оно может быть представлено как градиент некоторого скалярного поля (потенциала).

Имеет место теорема Гельмгольца: если всюду в области D у векторного поля определены дивергенция и ротор, то это поле может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального поля.

Векторное поле, у которого и дивергенция, и ротор всюду равны нулю, называется гармоническим; его потенциал представляет собой гармоническую функцию.

Интегральные кривые (силовые линии)

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Силовой линией (векторной линией или интегральной кривой, в зависимости от контекста) для поля Дивергенция и вихрь ротор вектораназывается кривая Дивергенция и вихрь ротор вектора, касательная к которой во всех точках кривой совпадает со значением поля:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Для силовых полей силовые линии наглядно показывают направление воздействия полевых сил.

Если в достаточно малой области пространства поле нигде не обращается в нуль, то через каждую точку этой области проходит одна и только одна силовая линия. Точки, где вектор поля нулевой — особые, в них направление поля не определено, и поведение силовых линий в окрестности этих точек может быть различным: возможно, через особую точку проходит бесконечно много силовых линий, но возможно, что не проходит ни одна.

Векторное поле называется полным, если его интегральные кривые определены на всём многообразии.

Видео:#8 Ротор/Дивергенция/ГрадиентСкачать

#8 Ротор/Дивергенция/Градиент

Общая формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии M размерности n заданы ориентируемое p -мерное подмногообразие σ и дифференциальная форма ω степени p − 1 класса C 1 (Дивергенция и вихрь ротор вектора). Тогда, если граница подмногообразия Дивергенция и вихрь ротор вектораположительно ориентирована, то

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где dω обозначает внешний дифференциал формы ω .

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия M .

Видео:Дивергенция векторного поляСкачать

Дивергенция векторного поля

[править] Частные случаи

[править] Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая l , соединяющая две точки a и b (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма ω нулевой степени класса C 1 — это дифференцируемая функция f . Формула Стокса тогда записывается в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора

[править] Теорема Грина

Пусть M — плоскость, а D — некоторая её ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах x и y — это выражение Дивергенция и вихрь ротор вектора, и для интеграла этой формы по границе области D верно

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Видео:Оператор Набла. Градиент. Дивергенция. Ротор. Лапласиан.Скачать

Оператор Набла. Градиент. Дивергенция. Ротор. Лапласиан.

Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса

Содержание:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле а ) к и замкнутый ориентированный контур L. Определение 1. Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от оектора а по контуру L Здесь dr — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, оп- Рис. 31 ределяемымориентацией контура (рис. 31); символ f означает, что интеграл берется по зам1«угому контуру L. ь

Пример 1. вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: По определению циркуляции имеем Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид: , и, значит, . Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора 8.1.

Ротор (вихрь) векторного поля Рассмотрим поле вектора Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам. Огределенив 2. Ротором вектора »(М) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством или, в символической, удобной для запоминания форме, Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например,

Определение 3. Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называете я безвихревым. Пример 2. Найти ротор вектора 4 Согласно формуле (3) имеем Так как rot а — вектор, то мы можем рассматривать векторное поле — поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим Таким образом, поле вектора rot а соленоида л ьно.

Теорема 7 (Стокса). Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L, При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Е, и что ориентация орта нормали п° к поверхности ЕС G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормши обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

Учитывая, что , и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде: Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Е и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу — контур А соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура А. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Е остается слева, так что веетор нормали п к поверхности Е составдя етсосью Oz острый угол 7 (cos 7 >0).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть — уравнение поверхности Е и функция ф(х>у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные gf и ^ в замкнутой области D.

Рассмотрим интеграл Линия L лежит на поверхности Е. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности , мы можем заменить г под знаком интеграла на ^(ж, у). Координаты перемсннойточки кривой А равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по А, Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина.

Имеем Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Е. Так как dS = cos 7 • da, то из формулы (8) получим, что Вектор нормали п° к поверхности Е определяется выражением к. Отсюда видно, что . Поэтому равенсгво (9) можно переписать так: Считая Е гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул Циркуляция векторного поля.

Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Складывая равенства почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче, Замечание 1. Мы показали, что поле вектора rote — соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Е, натянутой на контур L. Замечание 2. Формула (4) выведена в предположении, что поверхность £ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Бели это условие не выполнено, то разбиваем £ на частя так, чтобы каждая часть указанному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов.

Пример 3:

Вычислить циркуляцию вектора по линии 1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса. 4 1) Зададим линию L параметрически: Тогда 2) Найдем rota: Натянем на контур L кусок плосхости Тогда . Инвариантное определение ротора поля Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат. Теорема 8.

Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению, Здесь (Е) — плоская площадка, перпендикулярная вектору л; 5 — площадь этой площадки; L — контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; (Е) М означает, что площадка (Е) стягивается к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33). 4

Применим сначала к циркуляции (a,dr) вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу — теорему о среднем значении: откуда (скалярное произведение берется в некоторой средней точке Мф площадки (Е)). Пристягивании площадки (Е) кточке М средняяточка Л/ср тоже стремится кточ-ке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависитотвы-бора системы координат,то и сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора.

Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rota согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта. 8.3.

Физический смысл ротора поля Пустьтвердое

тело вращается вокруг неподвижной оси I с угловой скоростью и. Не нарушая общности, можно считать, что ось I совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) — изучаемая точка тела, где Вектор угловой скорости в нашем случае равен из = wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М, Отсюда Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля.

Правила вычисления ротора

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения. 8.4. Правила вычисления ротора 1. Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору, 2. Ротор обладает свойством линейности постоянные числа. 3. Ротор произведения скалярной функции и<М) на векторную а(М) вычисляется по формуле

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Ротор векторного поляСкачать

Ротор векторного поля

Теории поля с примерами решения и образцами выполнения

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор Дивергенция и вихрь ротор вектора, то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.

Если функция Дивергенция и вихрь ротор векторане зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):

Дивергенция и вихрь ротор вектора

(Наряду с обозначениями Дивергенция и вихрь ротор вектораиспользуют запись Дивергенция и вихрь ротор вектора— радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют плоским.

Аналогично: вектор Дивергенция и вихрь ротор вектора, определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов Дивергенция и вихрь ротор вектора

Вектор Дивергенция и вихрь ротор вектораможно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где P(x;y;z), Q(x;y;z ), R(x;y;z) — проекции вектора Дивергенция и вихрь ротор векторана оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора Дивергенция и вихрь ротор вектораравна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, Дивергенция и вихрь ротор вектора

Векторное поле называется однородным, если Дивергенция и вихрь ротор вектора— постоянный вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = — mg, g — ускорение силы тяжести, m — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример:

Функция Дивергенция и вихрь ротор вектораопределяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле Дивергенция и вихрь ротор вектораопределено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней Дивергенция и вихрь ротор вектора).

Пример:

Найти поле линейной скорости Дивергенция и вихрь ротор вектораматериальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью Дивергенция и вихрь ротор векторавокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Решение:

Угловую скорость представим в виде вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора, лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Построим радиус-вектор Дивергенция и вихрь ротор вектораточки М (см. рис. 267).

Численное значение линейной скорости Дивергенция и вихрь ротор вектора(модуль), как известно из курса физики, равно Дивергенция и вихрь ротор вектора, где р — расстояние вращающейся точки M(x;y,z) от оси вращения (оси Oz).Но Дивергенция и вихрь ротор вектора— угол между вектором r и осью Oz). Следовательно, Дивергенция и вихрь ротор вектора

Вектор скорости Дивергенция и вихрь ротор векторанаправлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторного произведения Дивергенция и вихрь ротор векторавекторы Дивергенция и вихрь ротор вектораобразуют правую тройку). Следовательно, Дивергенция и вихрь ротор векторат. е.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

или Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Поле линейных скоростей Дивергенция и вихрь ротор векторатела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Видео:Александр Чирцов про дивергенцию и роторСкачать

Александр Чирцов про дивергенцию и ротор

Скалярное поле

Поверхности и линии уровня:

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

Дивергенция и вихрь ротор вектора

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: Дивергенция и вихрь ротор вектораВ частности, при с = 1 получим Дивергенция и вихрь ротор вектора, т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении Дивергенция и вихрь ротор вектора. Пусть вектор Дивергенция и вихрь ротор вектораимеет начало в точке М и направляющие косинусы Дивергенция и вихрь ротор вектора

Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке Дивергенция и вихрь ротор векторав направлении вектора Дивергенция и вихрь ротор вектораопределяется как

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Производной от функции U = U(M) в точке М по направлению Дивергенция и вихрь ротор вектораназывается предел

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Производная по направлению Дивергенция и вихрь ротор вектораи характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если Дивергенция и вихрь ротор вектора> 0, то функция U возрастает в направлении Дивергенция и вихрь ротор вектора, если Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора

где Дивергенция и вихрь ротор вектора— бесконечно малые функции при Дивергенция и вихрь ротор вектора(см. п. 44.3). Поскольку

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Переходя к пределу при Дивергенция и вихрь ротор вектораполучим формулу для вычисления производной по направлению:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Формула (70.2) принимает вид:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Замечание:

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Дивергенция и вихрь ротор вектораИх можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Дивергенция и вихрь ротор векторасовпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) Дивергенция и вихрь ротор вектораполучим

Пример:

Найти производную функции Дивергенция и вихрь ротор векторав точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке Дивергенция и вихрь ротор вектора
Решение:

Находим вектор Дивергенция и вихрь ротор вектораи его направляющие косинусы:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Поскольку jj^- Градиент скалярного поля и его свойства

В каком направлении Дивергенция и вихрь ротор векторапроизводная Дивергенция и вихрь ротор вектораимеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

и некоторого вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е. Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где Дивергенция и вихрь ротор вектораугол между вектором grad U и направлением Дивергенция и вихрь ротор вектора(см. рис. 269).

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда Дивергенция и вихрь ротор вектораТаким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна

Дивергенция и вихрь ротор вектора

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.

Приведем важные свойства градиента функции.

1.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня Дивергенция и вихрь ротор вектораНо тогда из (70.3) следует, что Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.

Пример:

Найти наибольшую скорость возрастания функции

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Решение:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Наибольшая скорость возрастания функции равна

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью Дивергенция и вихрь ротор вектора, если точка А движется в направлении Дивергенция и вихрь ротор вектора(антиградиентное направление).

Видео:Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор Лапласа

Векторное поле

Векторные линии поля:

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором Дивергенция и вихрь ротор вектора. Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.

Векторной линией поля Дивергенция и вихрь ротор вектораназывается линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора.

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

Дивергенция и вихрь ротор вектора

описываются системой дифференциальных уравнений вида

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, Дивергенция и вихрь ротор вектора— ее радиус-вектор. Тогда вектор Дивергенция и вихрь ротор векторанаправлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов Дивергенция и вихрь ротор вектораследует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).

Пример:

Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Дивергенция и вихрь ротор векторавокруг оси Oz.

Решение:

Это поле определено вектором Дивергенция и вихрь ротор вектора(см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Интегрируя, получим: Дивергенция и вихрь ротор векторат. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать Дивергенция и вихрь ротор векторавектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть Дивергенция и вихрь ротор вектора— единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки Дивергенция и вихрь ротор вектораВыберем в каждой площадке точку Дивергенция и вихрь ротор вектора(см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости Дивергенция и вихрь ротор векторав каждой точке: .Дивергенция и вихрь ротор вектора.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор Дивергенция и вихрь ротор векторапостоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через Дивергенция и вихрь ротор векторапротекает количество жидкости, приближенно равное Дивергенция и вихрь ротор вектора— площадь i-й площадки,Дивергенция и вихрь ротор вектора— высота i-гo цилиндра с образующей Дивергенция и вихрь ротор вектора. Но Я, является проекцией вектора Дивергенция и вихрь ротор векторана нормаль Дивергенция и вихрь ротор вектора— единичный вектор нормали к поверхности в точке Дивергенция и вихрь ротор вектора. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров Дивергенция и вихрь ротор вектораплощадок):

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Независимо от физического смысла поля Дивергенция и вихрь ротор вектораполученный интеграл называют потоком векторного поля.

Потоком вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где Дивергенция и вихрь ротор вектора— проекция вектора а на направление нормали Дивергенция и вихрь ротор вектора— дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где вектор Дивергенция и вихрь ротор векторанаправлен по нормали к поверхности, причем Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

— проекции вектора Дивергенция и вихрь ротор векторана соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора, можно записать в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора

В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).

Если векторное поле Дивергенция и вихрь ротор вектораесть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором Дивергенция и вихрь ротор вектораострый угол и Дивергенция и вихрь ротор векторав точках, где векторные линии входят в объем, Дивергенция и вихрь ротор вектора).

При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если К Дивергенция и вихрь ротор вектора

Пример:

Найти поток вектора Дивергенция и вихрь ротор векторачерез верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Решение:

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть Дивергенция и вихрь ротор векторана верхней стороне Дивергенция и вихрь ротор векторапоэтому надо выбрать знак «минус»; получим:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Итак, Дивергенция и вихрь ротор вектораНаходимДивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

В результате имеем: Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Пример:

Найти поток радиус-вектора Дивергенция и вихрь ротор векторачерез внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).

Решение:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Очевидно, чтоДивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

т. к. Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

Дивергенция и вихрь ротор вектора

в точке М называется скаляр вида Дивергенция и вихрь ротор вектораи обозначается символом Дивергенция и вихрь ротор вектора, т. е.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Отметим некоторые свойства дивергенции.

  1. Если Дивергенция и вихрь ротор вектора— постоянный вектор, то Дивергенция и вихрь ротор вектора
  2. Дивергенция и вихрь ротор векторагде с = const.
  3. Дивергенция и вихрь ротор векторат. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, Дивергенция и вихрь ротор вектора— вектор, то

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как Дивергенция и вихрь ротор векторато

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

Дивергенция и вихрь ротор вектора

в так называемой векторной форме.

Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора Дивергенция и вихрь ротор векторачерез поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора. Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля Дивергенция и вихрь ротор векторав точке М (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где Дивергенция и вихрь ротор вектора— некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде Дивергенция и вихрь ротор вектораОтсюда

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда Дивергенция и вихрь ротор вектора, и мы получаем выражение для Дивергенция и вихрь ротор векторав точке М:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Дивергенция и вихрь ротор вектора

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что Дивергенция и вихрь ротор вектораесть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при Дивергенция и вихрь ротор вектораточка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при Дивергенция и вихрь ротор вектораточка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина Дивергенция и вихрь ротор векторахарактеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то Дивергенция и вихрь ротор вектора

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. Дивергенция и вихрь ротор вектораназывается соленоидалъным (или трубчатым).

Пример:

Найти дивергенцию поля линейных скоростей Дивергенция и вихрь ротор векторажидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью Дивергенция и вихрь ротор вектора.

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), Дивергенция и вихрь ротор вектораИмеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Поле Дивергенция и вихрь ротор вектора— соленоидальное.

Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.

Пусть Дивергенция и вихрь ротор вектора— радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор Дивергенция и вихрь ротор векторанаправлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и Дивергенция и вихрь ротор вектора— дифференциал дуги кривой Дивергенция и вихрь ротор вектора

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора Дивергенция и вихрь ротор векторана вектор Дивергенция и вихрь ротор вектора, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.

Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где Дивергенция и вихрь ротор вектора— проекция вектора Дивергенция и вихрь ротор векторана касательную Дивергенция и вихрь ротор вектора, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы Дивергенция и вихрь ротор вектораполя при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение Дивергенция и вихрь ротор векторасохраняет знак: положительный, если направление вектора Дивергенция и вихрь ротор векторасовпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.

Пример:

Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) Дивергенция и вихрь ротор векторавдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости Дивергенция и вихрь ротор вектора, перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Будем считать, что направление нормали к плоскости Дивергенция и вихрь ротор векторасовпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол Дивергенция и вихрь ротор векторас осью Oz, то циркуляция будет равна Дивергенция и вихрь ротор векторас изменением угла Дивергенция и вихрь ротор векторавеличина С изменяется.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

Дивергенция и вихрь ротор вектора

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Решение:

Согласно формуле (71.12), имеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,

Дивергенция и вихрь ротор вектора

На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,

Дивергенция и вихрь ротор вектора

На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

Дивергенция и вихрь ротор вектора

называется вектор, обозначаемый Дивергенция и вихрь ротор вектораи определяемый формулой

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Отметим некоторые свойства ротора.

  1. Если Дивергенция и вихрь ротор вектора— постоянный вектор, то Дивергенция и вихрь ротор вектора
  2. Дивергенция и вихрь ротор вектора
  3. Дивергенция и вихрь ротор векторат. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, а Дивергенция и вихрь ротор вектора— векторная, то

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора Дивергенция и вихрь ротор векторапо контуру L, т. е. Дивергенция и вихрь ротор вектора(см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора Дивергенция и вихрь ротор векторачерез поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где Дивергенция и вихрь ротор вектора— некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда Дивергенция и вихрь ротор вектораПерейдя к пределу, получаем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Ротором вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектораесть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) Дивергенция и вихрь ротор вектора, т. е. ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора

По определению ротора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей Дивергенция и вихрь ротор векторапредставляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание:

Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

Оператор Гамильтона

Векторные дифференциальные операции первого порядка:

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полем Дивергенция и вихрь ротор вектораявляются gradU, Дивергенция и вихрь ротор вектораДействия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Этот символический вектор называют также оператором Дивергенция и вихрь ротор вектора(читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора Дивергенция и вихрь ротор векторана скаляр U или вектор Дивергенция и вихрь ротор векторапроизводится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов Дивергенция и вихрь ротор векторана величины Дивергенция и вихрь ротор векторапонимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где Дивергенция и вихрь ротор вектора

Векторные дифференциальные операции второго порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

(Понятно, что операция Дивергенция и вихрь ротор векторанапример, не имеет смысла: Дивергенция и вихрь ротор вектора— скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о Дивергенция и вихрь ротор векторабессмысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается Дивергенция и вихрь ротор вектора. Таким образом,

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дифференциальное уравнение Лапласа Дивергенция и вихрь ротор вектораиграет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

(который тоже называют оператором Лапласа).

2. Дивергенция и вихрь ротор векторатак как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

4. Дивергенция и вихрь ротор векторатак как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

так как двойное векторное произведение обладает свойством

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Здесь Дивергенция и вихрь ротор вектора— векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору Дивергенция и вихрь ротор вектора.

Некоторые свойства основных классов векторных полей

Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле Дивергенция и вихрь ротор вектораназывается соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. Дивергенция и вихрь ротор вектора

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля.

  1. В соленоидальном поле Дивергенция и вихрь ротор векторапоток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
  2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если Дивергенция и вихрь ротор вектора, то существует такое поле Дивергенция и вихрь ротор вектора, что Дивергенция и вихрь ротор вектора. Вектор Дивергенция и вихрь ротор вектораназывается векторным потенциалом поляДивергенция и вихрь ротор вектора.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что Дивергенция и вихрь ротор вектора).

3. В соленоидальном поле Дивергенция и вихрь ротор векторапоток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями Дивергенция и вихрь ротор векторабоковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из Дивергенция и вихрь ротор вектораравен нулю. Следовательно,

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где n — внешняя нормаль.

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, то Дивергенция и вихрь ротор вектораи, следовательно,

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Переменив направление нормали на площадке Дивергенция и вихрь ротор вектора, т.е. взяв внутреннюю нормаль Дивергенция и вихрь ротор вектораполучим:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

Потенциальное поле

Векторное поле Дивергенция и вихрь ротор вектораназывается потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. Дивергенция и вихрь ротор вектораПримером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Свойство 1. Циркуляция потенциального поля Дивергенция и вихрь ротор векторапо любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,

Дивергенция и вихрь ротор вектора

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

Свойство 2. В потенциальном поле Дивергенция и вихрь ротор векторакриволинейный интеграл Дивергенция и вихрь ротор векторавдоль любой кривой L с началом в точке Дивергенция и вихрь ротор вектораи концом в точке Дивергенция и вихрь ротор векторазависит только от положения точек Дивергенция и вихрь ротор вектораи не зависит от формы кривой.

Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки Дивергенция и вихрь ротор векторасоединим их двумя кривыми Дивергенция и вихрь ротор векторатак, чтобы контур Дивергенция и вихрь ротор векторалежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если Дивергенция и вихрь ротор вектора, то существует функция U (х; у; z) такая, что Дивергенция и вихрь ротор вектора

Из равенства Дивергенция и вихрь ротор векторавытекает, что Дивергенция и вихрь ротор векторат. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Отсюда: Дивергенция и вихрь ротор вектораСледовательно,

Дивергенция и вихрь ротор вектора

т. е. вектор поля Дивергенция и вихрь ротор вектораявляется градиентом скалярного поля.

Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.

Из равенства Дивергенция и вихрь ротор вектораследует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

Дивергенция и вихрь ротор вектора

где Дивергенция и вихрь ротор вектора— координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U ).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).

Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле Дивергенция и вихрь ротор вектораназывается потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. Дивергенция и вихрь ротор вектора. (Иногда пишут Дивергенция и вихрь ротор вектора; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример:

Установить потенциальность поля

Дивергенция и вихрь ротор вектора

и найти его потенциал.

Решение:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Следовательно, поле вектора Дивергенция и вихрь ротор векторапотенциальное.

Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. Дивергенция и вихрь ротор вектораТак как

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Гармоническое поле

Векторное поле Дивергенция и вихрь ротор вектораназывается гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Так как поле Дивергенция и вихрь ротор векторапотенциально, то его можно записать в виде Дивергенция и вихрь ротор вектора— потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

Дивергенция и вихрь ротор вектора

или, что то же самое,

Дивергенция и вихрь ротор вектора

т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Дивергенция и вихрь ротор вектора

Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора Дивергенция и вихрь ротор вектора

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🌟 Видео

ДивергенцияСкачать

Дивергенция

РоторСкачать

Ротор

41. Основные понятия теории векторных полейСкачать

41. Основные понятия теории векторных полей

ДивергенцияСкачать

Дивергенция

Дивергенция векторного поля. Гидродинамическая аналогия. Теорема Остроградского.Скачать

Дивергенция векторного поля. Гидродинамическая аналогия. Теорема Остроградского.

Найти дивергенцию и ротор векторного поляСкачать

Найти дивергенцию и ротор векторного поля

Демидович №4427: дивергенция радиус-вектораСкачать

Демидович №4427: дивергенция радиус-вектора

Дивергенция и ротор: Язык уравнений Максвелла, течения жидкости и большеСкачать

Дивергенция и ротор: Язык уравнений Максвелла, течения жидкости и больше

Демидович №4438: дивергенция векторного произведенияСкачать

Демидович №4438: дивергенция векторного произведения

Юшков Е. В. - Математический анализ III - Скалярные и векторные поляСкачать

Юшков Е. В. - Математический анализ III - Скалярные и векторные поля

Демидович №4439б: дивергенция ротораСкачать

Демидович №4439б: дивергенция ротора

Скалярное и векторное поля. Определения и отличия.Скачать

Скалярное и векторное поля. Определения и отличия.

Демидович №4429: дивергенция произведения функций от радиус-вектораСкачать

Демидович №4429: дивергенция произведения функций от радиус-вектора
Поделиться или сохранить к себе: