Дивергенция единичного вектора почему 3 (7 видео)

Дивергенция единичного вектора почему 3

Библиографическая ссылка на статью:
Чуев А.С. О понятии дивергенции поля векторных физических величин // Современные научные исследования и инновации. 2013. № 1 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2013/01/20234 (дата обращения: 19.01.2022).

Истина бытия – это сущность,

истина сущности есть понятие.

ВВЕДЕНИЕ

Понятие «дивергенция» переводится на русский язык как расходимость (можно к этому отнести и сходимость) линий векторного поля. Логически это понятно, в пространственно неоднородном векторном поле (когда есть изменение плотности линий поля) дивергенция не нулевая. В однородном векторном поле дивергенция равна нулю.

На практике, если брать математическое определение дивергенции, то ненулевое значение дивергенции приписывается исключительно только в истоках и стоках поля без определенности их размера. Например, для центральных полей типа электрического и гравитационного, дивергенция считается равной нулю всюду, кроме истоков и стоков. Если же брать в качестве примера магнитное поле, то равенство нулю дивергенции вектора магнитной индукции B вообще возведено в закон (четвертое уравнение Максвелла).

Автор считает, что с точки зрения логики и здравого физического смысла дивергенция в любой точке векторного поля – это скорость пространственного изменения вектора в своем собственном направлении (изменение модуля), а смысл ротора – скорость пространственного изменения направления вектора. Поскольку выделенная в тексте позиция не соответствует общепринятой точке зрения, попробуем пояснить и защитить ее, привлекая наглядные изображения векторных полей, логику понятий и математический аппарат.

Хорошо известны изображения расходящихся и сходящихся силовых линий полей центрального типа (рис.1) и вихреобразных силовых линий стержневого магнита (рис.2). Силовые линии поля строятся по касательным, определяющим направление силы в любой точке пространства, окружающего электрический заряд или магнит.

Рис.1 Пространственная расходимость и сходимость линий электрического поля

Рис.2. Пространственная расходимость и сходимость силовых линий магнитного поля

Известно, что густота силовых линий определяет числовое значение вектора в любой точке поля, а его направление определяется по касательной к линии в этой точке.

По рис.1, хотя пространственная расходимость и сходимость силовых линий электрического поля очевидны и густота линий убывает при отдалении от центра, дивергенция таких полей (центрального типа) всюду вне источника или стока считается равной нулю.

По рис.2 ситуация сложнее. Считается, что источников магнитного поля нет и линии поля замкнуты сами на себя. В соответствии с четвертым уравнением Максвелла дивергенция силового вектора магнитной индукции B всюду равна нулю. Однако приводимая картина наглядно иллюстрирует, что значение индукции B, определяемое густотой линий, вблизи торцов магнита максимально большое, а в отдалении оно становится меньше. На бесконечно большом удалении от магнита значение магнитной индукции будет нулевым. Таким образом можем констатировать, что в окружающем магнит пространстве тоже имеет место изменение модуля вектора B – это эмпирический факт.

Но если есть изменение модуля вектора (хотя сам поток не изменяется ), то неизбежно будет и дивергенция вектора (или поля, если дивергенцию понимать как пространственную расходимость или сходимость линий поля). Поэтому утверждение четвертого уравнения Максвелла о равенстве нулю дивергенции вектора B в любой точке магнитного поля применительно к рис.2, со всей очевидностью, – ложно.

Несмотря на очевидность приводимых фактов, известных почти каждому, в физике почему-то общепринято и не подвергается сомнению известное положение о нулевом значении дивергенции векторных полей вне источников и стоков поля 2. Заблуждение это, по мнению автора, частью связано с гидродинамической аналогией, а частью с привычкой упрощенного описания центральных полей в сферической системе координат.

Приведем конкретные примеры из классических учебников с имеющейся там трактовкой понятия дивергенции. Возьмем классический учебник Тамма И.Е. «Основы теории электричества» [1, стр.586]. Тамм пишет: «Отметим в заключение, что в гидродинамике дивергенция скорости жидкости v имеет непосредственное физическое значение. Действительно, в каждой точке жидкости

при (1)

равна рассчитанному на единицу объема количеству жидкости, вытекающей из элемента объема dV , окружающего рассматриваемую точку. Название «дивергенция», что значит по-латыни расхождение или расходимость, было избрано для этой величины именно потому, что жидкость растекается или расходится из тех или только тех точек или участков занимаемого ею пространства, в которых div v > 0. Очевидно, что в этих точках должны быть расположены источники жидкости. По аналогии, те точки поля произвольного вектора а, в которых div а
0, принято называть истоками этого поля. Числовое же значение div а называется силой, или обильностью
истоков поля; в зависимости от знака дивергенции сила истоков может быть как положительной, так и отрицательной. Иногда отрицательным истокам поля дают название стоков поля. Векторные поля, у которых div а = 0, называются свободными от источников, или соленоидальными».

Слова сила или обильность истоков и стоков поля здесь применены правильно, они очень хорошо подходят в качестве характеристики для источников и стоков поля. Но причем тут дивергенция (расходимость) поля?

Другой источник, более современный, описывая дивергенцию конкретного электрического поля [2, стр.24], излагает так: «В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит только от плотности электрического заряда ρ в этой точке и больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств электрического поля. Например, в разных точках поля точечного заряда поле Е отличается друг от друга. Это же относится, вообще говоря, и к пространственным производным , , . Однако, как утверждает теорема Гаусса, сумма этих производных, которая определяет дивергенцию Е, оказывается во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю».

В этой фразе чувствуются сильные нотки сомнения в излагаемом материале, но они прикрыты ссылкой на авторитет теоремы Гаусса. Но вообще-то защищать позицию, при которой производные по координатам есть, а их сумма всегда равна нулю – это против здравого смысла. Ведь пространственные изменения по трем координатам вполне могут быть одного знака, а также изменение может быть только по одной координате. В последнем случае вообще некуда деваться, ведь при изменении вектора по одной единственной координате, совпадающей с направлением вектора, как ни крути, а придется признавать наличие ненулевой дивергенции.

Наглядная иллюстрация к этому случаю приведена на рис.3. Здесь изображено изменение плотности электрического тока в линейном однородном проводнике переменного сечения. Очевидно, что на участках Б и Г, где происходит переход от одного значения плотности тока к другому значению, . Аналогичный пример можно привести и для жидкости, текущей в линейной трубе переменного сечения. Для скоростного потока жидкости в трубе, как и для плотности тока, дивергенция потокового вектора в местах расширения и сужения трубы не будет равна нулю – это факт.

Рис.3. Изменение плотности тока в линейном проводнике переменного сечения

Если рассматривать потенциальное электрическое поле точечных зарядов (рис.1), то ситуация с критикуемым пониманием дивергенции вообще забавная. Вне заряда дивергенция признается равной нулю, а в самом заряде она неопределенна ввиду немыслимо большой плотности заряда. Тогда о каком значении дивергенции вообще можно вести речь?

Приведем еще один пример из зарубежных источников (заблуждение не знает границ) [3, стр.73]. Рассматривается электрическое поле, создаваемое заряженным источником в виде бесконечно длинного цилиндра. «Вне цилиндра, где нет заряда, конечный поток, вытекающий из любого объема – и большого и малого, – равен нулю, так что предел отношения потока к объему, конечно, равен нулю. Внутри цилиндра мы получили результат, следующий из фундаментального соотношения (54) (примеч. в ссылке div E = 4)».

Интересно, как это понимать: «дивергенция внутри цилиндра». Еще более нелепым будет определение дивергенции «внутри» электрона или протона. Если же отойти от слова «внутри», то возникает вопрос – на каком расстоянии от источника или в каком объеме вычислять дивергенцию. Если в расчет брать только размер микрочастиц, то значение дивергенции (и плотности ) будет чудовищно большим из-за малой величины размера микрочастиц. Так, для отдельного электрона div E = 1,93·10 35 В/м 2 , при этом данная цифра совсем ничего не говорит о пространственной расходимости векторного поля, создаваемого электроном. Значит, здесь что-то не так.

В этой же книге [3] приводится иллюстрация, изображенная на рис.4, позволяющая трактовать дивергенцию точно так же, как ее понимает автор настоящей статьи.

Выделенная область на рис. 4 б) не содержит источников и стоков, однако дивергенция поля в этой области не равна нулю и это правильно. Дивергенция есть в любой точке неоднородного поля, неоднородного в реальном трехмерном физическом пространстве. То есть в любой точке поля, где наблюдается расходимость или сходимость линий векторного поля.

Рис.4. Значения дивергенции и ротора в выделенной области векторного поля

Исходя из описываемого здесь понятия дивергенции, можно предположить, что в случае центрального электрического поля (берем вектор D в системе СИ), дивергенция в любой точке поля будет численно равняться объемной плотности заряда, приходящегося на объем шара с радиусом, равным удалению данной точки поля от центрального источника. В этом случае работают и теорема Гаусса и наше понимание дивергенции векторного поля.

Одним из оппонентов данной точки зрения на дивергенцию автору была высказана претензия в том, что он «придумал» свое определение дивергенции и не вправе пользоваться общепринятым. Помилуйте! Я ничего не придумывал и пользуюсь таким определением, как оно есть [4, стр. 358]. Дивергенцией называется функция

, (2)

а то, что она входит в подынтегральное выражение формулы Остроградского

, (3)

так эта формула, при допущении равномерной плотности потока, применима для поверхностей и объемов любого размера. При отсутствии такого допущения формулой (3) пользоваться практически невозможно.

Наше понимание дивергенции, как изменения вектора в своем собственном направлении, математически обоснована тем, что формула (2) обязательно дает нулевой результат только при неизменности модуля вектора . Это определяется свойством любого вектора – сохранять свое значение по модулю при любых поворотных изменениях системы координат. Заметим, прямо противоположное качество у функции ротора вектора.

Осознание ложности привязки понятия дивергенции лишь к источникам и стокам поля уже появилось в гидродинамике [5]. По мнению автора, не за горами признание аналогичного положения и в других областях физики, в частности, в электростатике и магнитостатике. Отмеченное соответствует математическому положению о том, что «всякое векторное поле А дает некоторое скалярное поле divA, а именно поле своей расходимости» [4, стр.359]. Если векторное поле непрерывно и дифференцируемо в своей области, то в той же области должно существовать и быть непрерывным скалярное поле его дивергенции.

К сожалению, большинство математических и физических источников трактуют сегодня понятие дивергенции совершенно иначе. Например [6, пример 7.10, стр.406]: «Силовое поле, создаваемое в пустоте помещенным в начало координат электрическим зарядом q₀ , имеет аналогичный вид …, дивергенция рассмотренных силовых полей при равна нулю». Правда наблюдаются и попытки вынести понятие дивергенции из «прокрустова ложа» истоков и стоков поля. В источнике [7, стр.171] приводится такая формула:

при (4)

где: — область, содержащая точку (), — замкнутая поверхность, ограничивающая область , — наибольшее расстояние от точки () до точек поверхности .

В формуле (4) имеет место уход от устремления объема в точку, анализируются поверхность и объем, внутри которых расположена рассматриваемая точка поля. При правильной интерпретации этой формулы и применительно к полям центрального типа она дает результат, близкий к верному.

В источнике [8] для физических полей приводится еще одно, несколько иное, определение дивергенции. Здесь дивергенция определяется как показатель объемной плотности потока векторной величины в той или иной точке пространства векторного поля. Дивергенция в этом случае математически выражается так:

при (5)

где: – поток векторного поля через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Считается, что такое определение дивергенции применимо не только к декартовым системам координат. Надо отметить, что здесь не очень понятно требование сферичности, а не замкнутости поверхности.

В чем-то аналогичный подход обнаруживается и в работе [9, стр.22]: «… дивергенция векторного поля а(М) является объемной плотностью потока векторного поля а(М) в данной точке М». По мнению автора, такой подход более близок к истине.

В источнике [8] приводится интересный пример наглядной физической модели дивергенции: «Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся)».

По мнению автора, такая модель дивергенции не совсем логична. На вершинах и впадинах наискорейшего спуска совсем нет, а в источниках или стоках дивергенция по модулю должна быть максимальна. Кроме того, данная модель, во-первых, исключает гладкость вершин и впадин, поскольку значения дивергенции скачут от плюса к минусу, а правило перехода не обозначено. Во-вторых, надо заметить, принимая пространственное направление за векторную величину, ее нельзя определять в том же пространстве направлений. Пример из логики: нельзя определить понятие через само это понятие, иначе получится тавтология.

В наглядных примерах по рис.1 и рис.2 видно, что дивергенция (расходимость) электрических и магнитных силовых линий есть и заведомо есть плавное уменьшение модуля вектора при отдалении рассматриваемых точек окружающего пространства от источника и стока поля. Для центральных полей вычислить дивергенцию как объемную плотность потока вектора в той или иной точке поля не сложно. Но для соленоидального магнитного поля определение дивергенции как объемной плотности потока векторного поля затруднительно, поскольку это поле не сферично. К тому же заметим, дивергенция, по сути, должна быть не плотностью потока векторного поля, что присуще и однородным векторным полям, а пространственным изменением плотности потока вектора в той или иной точке поля. Математически это можно выразить так:

при и (6)

где: – изменение плотности потока векторной величины в рассматриваемом объеме предельно малого размера; – единичный вектор, касательный к направлению вектора в данной точке.

Кажется не вполне осознаваемое, но почти полное соответствие авторскому пониманию дивергенции удалось обнаружить в источнике [10, стр.206]: «Дивергенцию векторной функции … еще называют расходимостью. Она определяет скорость изменения каждой компоненты вектора в своем «собственном» направлении». Но если есть изменения компонентов вектора в своем «собственном направлении», то не замечать или отрицать такое же изменение самого вектора – просто грешно.

Обсуждение полученных результатов .

В заключение приведем и рассмотрим для сравнения в табличном формате различные варианты определения дивергенции, в том числе, предлагаемые автором и защищаемые им как наиболее подходящие (см. таблицу 1).

Таблица 1. Возможные определения и толкования дивергенции

Видео:Александр Чирцов: ротор, дивергенция и градиентСкачать

Дивергенция векторного поля и ее физический смысл

Другой не менее важной характеристикой векторного поля является дивергенция, которая характеризует поток данного поля через поверхность малой окрестности в каждой внутренней точки области определения поля. Термин дивергенция произошел от латинского слова divergere, что означает обнаруживать расхождение.

Математически дивергенция — это дифференциальный оператор divF, отображающий векторное поле на скалярное поле, т.е. осуществляющий операцию дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле. Этот оператор определяет для каждой точки поля насколько расходятся входящий и исходящий потоки. Дивергенция векторного поля F определяется выражением

где Фр — поток векторного поля F через любую поверхность площадью S, ограничивающую объем V, при условии, что поверхность находится внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю.

Если векторное поле дифференцируемо в некоторой области, тогда в трехмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

где V — векторный дифференциальный оператор набла.

Физический смысл дивергенции векторного поля состоит в том, что эта характеристика показывает то, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

Видео:Дивергенция векторного поляСкачать

О понимании, вычислении и измерении дивергенции векторных полей физических величин

А. С. Чуев.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана» Национальный исследовательский университет техники и технологий (МГТУ им. Н. Э. Баумана),

Россия, Москва, e-mail: chuev@mail.ru

В математической теории поля и полевой физике широко распространено представление о дивергенции (расходимости) векторных полей с нулевым значением вне истоков и стоков поля и практически неопределяемым значением внутри последних. Однако это представление не соответствует очевидно наблюдаемому факту пространственной расходимости и сходимости физических векторных полей. Проблема описания и вычисления дивергенции любого физического поля, точнее сказать, скалярного поля дивергенции векторного поля, соответствующего своему понятию — реально наблюдаемой пространственной расходимости и сходимости силовых линий поля, а также возможность экспериментального измерения этого параметра обсуждается в данной статье. Предложены варианты вычисления и измерения дивергенции статических электрических и магнитных полей.

Ключевые слова: физические поля, дивергенция, теория поля, электрическое поле, магнитное поле, намагниченность.

The mathematical theory of fields and field physics is widespread understanding of divergence vector fields with zero out the source and drain of the field and almost undetectable levels in the past. However, this contrasts with a clearly observable facts spatial divergence and convergence of the physical vector fields. The problem of describing and calculating the divergence of any physical field, more precisely, the scalar field divergence vector field corresponding to its concept — actually observed spatial divergence and convergence of the field lines, and the possibility of experimental measurement of this parameter is discussed in this article. The variants of calculations and measurements of the divergence of static electric and magnetic fields.

Key words: physical fields, divergence, field theory, the electric field, magnetic field, the magnetization.

Истина бытия — это сущность, истина сущности есть понятие.
Гегель

Понятие «дивергенция» переводится на русский язык как расходимость (можно к этому отнести и сходимость) линий векторного поля. Логически это понятно, в пространственно расходящемся или сходящемся векторном потоке обязательно есть изменение плотности линий поля, что возможно (при сохраняющейся величине потока) только за счет изменения модуля вектора, посему дивергенция (расходимость) неотделима от изменений модуля вектора. В однородном векторном поле дивергенция, согласно своему понятию, должна быть равна нулю.

Несмотря на сказанное, в математической теории поля и полевой физике дивергенция считается, чаще всего, ненулевой только в истоках и стоках поля, при этом числовое значение дивергенции в них, как правило, неопределимо по причине неопределенности их размеров. Например, для центральных полей типа электрического и гравитационного дивергенция считается равной нулю всюду кроме истоков и стоков. Если же брать в качестве примера магнитное поле, то равенство нулю дивергенции вектора магнитной индукции В принято безусловным и возведено в закон (четвертое уравнение Максвелла).

Реже встречается определение дивергенции — как объемной плотности потока векторного поля в той или иной точке поля. Такое определение более подходяще к явлению расходимости, хотя ненулевое значение дивергенции в этом случае приходится приписывать и однородным (не расходящимся) векторным полям. Далее рассматриваются варианты адекватного представления дивергенции векторных полей с возможностью ее теоретического вычисления и практического измерения.

Хорошо известны изображения пространственно неоднородных полей в виде расходящихся и сходящихся силовых линий полей центрального типа (рис.1) и соленоидального поля стержневого магнита (рис.2). Силовые линии поля строятся по касательным, определяющим направление силы в любой точке пространства, окружающего электрический заряд или магнит.

Густота линий поля определяет числовое значение полевого вектора в любой точке поля. Сам вектор касателен к линии поля, проходящей через данную точку, а его направление определяется действующим соглашением о положительной направленности.

Пространственная расходимость и сходимость линий поля, создаваемых электрическими зарядами очевидна, потому как густота линий убывает при отдалении от центра, указывая на ослабление поля при отдалении от источника или стока поля. Однако в математической теории поля и в большинстве физических толкований 3 дивергенция векторных полей центрального типа (рис. 1) всюду вне источника и стока считается равной нулю.

Приводимая на рис. 2 картина силовых линий магнитного поля тоже наглядно иллюстрирует, что данное поле неоднородно. Густота силовых линий магнитного поля, определяющих величину и направление силового вектора В, вблизи торцов магнита самая большая, а в отдалении от торцов магнита становится значительно меньше. На бесконечно большом удалении от магнита значение магнитной индукции будет нулевым. Однако в соответствии с четвертым уравнением Максвелла дивергенция вектора магнитной индукции В принимается всюду равной нулю. Считается также, что источников и стоков у магнитного поля нет, а линии поля замкнуты сами на себя.

Очевидное несоответствие господствующих представлений о дивергенции электрического и магнитного полей — самому понятию (расходимость) связано, скорее всего, с гидродинамической аналогией, а также с математическим описанием центральных полей в сферической системе координат.

Приведем несколько примеров из учебников с имеющейся там трактовкой понятия дивергенции. Возьмем классический учебник И. Е. Тамма «Основы теории электричества» [1, стр.586]. Тамм пишет: «Отметим в заключение, что в гидродинамике дивергенция скорости жидкости v имеет непосредственное физическое значение. Действительно, в каждой точке жидкости

равна рассчитанному на единицу объема количеству жидкости, вытекающей из элемента объема dV, окружающего рассматриваемую точку».

Другой источник [2, стр.24], описывая дивергенцию статического электрического поля, излагает так: «В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит только от плотности электрического заряда р в этой точке и больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств электрического поля. Например, в разных точках поля точечного заряда поле Е отличается друг от друга. Это же относится, вообще говоря,и к пространственным производным ∂Ех/∂х, ∂Еу/∂у, ∂Ez/∂z. Однако, как утверждает теорема Гаусса, сумма этих производных, которая определяет дивергенцию Е, оказывается во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю».

В последней фразе чувствуются сильные нотки сомнения в правильности излагаемого, но они прикрыты ссылкой на авторитет теоремы Гаусса. Действительно, трудно объяснить положение, согласно которому производные по координатам есть, но их сумма всегда равна нулю. Это явно не соответствует элементарной логике. Ведь координатные проекции изменяющегося вектора вполне могут быть одного знака, а изменение вектора может быть и вовсе только по одной координате.

В источнике [3] приводятся иллюстрации, изображенные на рис. 3, среди которых есть одна, позволяющая трактовать дивергенцию согласно ее понятию — как расходимость или сходимость потока векторного поля. Выделенная область на рис. 36 не содержит источников и стоков, однако дивергенция поля в этой области не равна нулю и это правильно. Согласно своему понятию дивергенция должна быть ненулевой в любой точке неоднородного поля, то есть в любой точке поля, где наблюдается изменение плотности линий векторного поля, выражаемое в пространственной расходимости или сходимости векторов. Ненулевую дивергенцию для стока векторного поля иллюстрирует рис. Зе, но как уже отмечалось, определить в этом случае конкретное значение дивергенции без знания границ стока не представляется возможным.

Математически дивергенция выражается не только формулой (1), но и как функция пространственной производной вектора, обозначаемая оператором набла [4, стр. 3581]:

Формула (2) выражает дивергенцию, как изменение модуля вектора, то есть изменение вектора в своем собственном направлении. Данное выражение верно в декартовой системе координат. При любых изменениях модуля вектора А значение пространственной производной согласно формуле (2) будет отличным от нуля. При неизменности модуля вектора А формула (2) дает нулевой результат. Математически это основано на свойстве вектора — сохранять свое значение по модулю при любых поворотных изменениях системы координат, что общеизвестно.

Таким образом, формула (2) выражает не совсем привычное на первый взгляд, но истинное представление, соответствующее своему понятию-дивергенции векторного поля, как скорости изменения вектора в любой точке поля в своем собственном направлении, то есть по модулю.

Подтверждение такому (или примерно такому) пониманию дивергенции можно обнаружить в других источниках. В учебнике по математике [4, стр.359] встречается такая фраза: «. всякое векторное поле А дает некоторое скалярное поле divA, а именно поле своей расходимости». Другой источник [5, стр.402]: «Дивергенция div a векторного поля а в точке М есть скаляр (действительное число). Рассматривая дивергенцию в каждой точке области определения векторного поля а, мы получаем скалярное поле div а».

Именно так и следует понимать, дивергенция — это скалярное поле значений расходимости, а не одно (и, как правило, неопределимое) значение, приписываемое лишь стокам и истокам векторного поля.

Понимание ошибочности привязки понятия дивергенции лишь к истокам и стокам векторного поля в физике зреет уже давно. Осознание этого уже появилось в гидродинамике [6]. По мнению автора не за горами признание аналогичного положения и в других областях физики, в частности в электростатике и магнитостатике.

Попытку вывести понятие дивергенции из «прокрустова ложа» истоков и стоков можно обнаружить в источнике [7, стр.171]. Там приводится такая формула:

где: V1 — область, содержащая точку (r), S1 замкнутая поверхность, ограничивающая область V1, δ- наибольшее расстояние от точки (r) до точек поверхности S1.

В формуле (4) нет устремления объема в точку, а анализируются внешняя поверхность и объем, которым принадлежит рассматриваемая точка поля. При правильной интерпретации этой формулы и применительно к векторным полям центрального типа она дает достаточно верный результат оценки величины дивергенции векторного поля.

В источнике [8] для дивергенции приводится еще одна отличная от выражения (1) Формула:

где: Ф_F — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V: (Примеч. автора — почему сферическую, а не просто замкнутую площадь не очень понятно).

Здесь дивергенция определяется как объемная плотность потока векторной величины в той или иной точке пространства векторного поля. Считается [8], что такое определение дивергенции применимо не только к декартовым системам координат. В чем-то аналогичный подход обнаруживается и в работе [9, стр.22]: «. дивергенция векторного поля а (М) является объемной плотностью потока векторного поля а (М) в данной точке М».

Однако, если векторное поле однородное, то объемная плотность потока векторного поля будет иметь одно определенное для всех точек поля значение, а расходимости (надо понимать, дивергенции) линий поля не будет. Налицо противоречие. В наглядных примерах по рис.1 и рис.2 видно, что дивергенция (расходимость) электрических и магнитных силовых линий определяется неоднородностью поля, которое связано с изменением модуля вектора, такое значение определяется плотностью потока линий поля, зависящей от пространственного удаления рассматриваемой точки от источника или стока поля. В однородном векторном поле дивергенции (расходимости) нет и быть не может.

По мнению автора, дивергенция, по сути своей, должна быть не плотностью потока векторного поля, что присуще и однородным векторным полям, а скоростью пространственного изменения плотности потока вектора в той или иной точке поля, которое по идее должно совпадать с пространственной производной вектора по формуле (2). Математически это можно выразить так:

где изменение плотности потока векторной величины tв рассматриваемой точке поля(объеме Vпредельно малого размера); fF-единичный вектор, касательный к направлению линии поля в данной точке поля и совпадающий с направлением вектора F.

Почти полное соответствие отстаиваемому здесь пониманию дивергенции обнаруживается в источнике [10, стр. 206]: «Дивергенцию векторной функции . еще называют расходимостью. Она определяет скорость изменения каждой компоненты вектора в своем «собственном» направлении». Но если есть изменение «каждой компоненты вектора в своем собственном направлении», то не замечать или отрицать результирующее изменение самого вектора в своем собственном направлении — просто нелепо.

Для сравнения приведем в табличном формате различные варианты определения и понимания (толкования) дивергенции, в том числе отстаиваемые автором в настоящей работе (см. таблицу 1).

Приведем расчетные оценки дивергенции для различных вариантов ее определения по таблице 1, применительно к вектору D электростатического поля в точке М, находящейся на расстоянии г от центрального заряда q0.

А. Общепринятое значение дивергенции вне истоков и стоков поля равно нулю (div D = 0).

Б. Значение, вычисленное из условия равномерной объемной плотности заряда, приходящегося на весь рассматриваемый сферический объем, что можно понимать как своеобразное (грубое) определение дивергенции для полей центрального типа, составляет:

В. Авторские варианты определения дивергенции по вариантам 1 и 2 по модулю должны быть эквивалентны. Значение дивергенции по варианту 1:

По варианту 2, если принимать дивергенцию у расходящихся полей положительной:

Ввиду общепринятого представления о дивергенции магнитного поля -как повсеместно равной нулю, а также из-за соленоидальной формы этого поля, задача расчета дивергенции магнитного поля, кажется, вообще не ставилась. Практические расчеты магнитных цепей обычно исходят из условия сохранения в магнито-проводе и примыкающем к полюсам магнита пространстве магнитного потока 0=B’S. Однако, тема естественного (при этом условии) изменения числового значения индукции магнитного поля В, обусловливаемого увеличением вне магнита площади потока S, как правило, не затрагивается.

В расчетах магнитных цепей обычно дополнительно используют еще одну физическую величину напряженность магнитного поля Н, хотя в действительности она применима лишь к токовым источникам магнитного поля, а не к источникам поля в виде постоянных магнитов. Этот вопрос более подробно рассмотрен в авторской работе [11].

Расчетное определение дивергенции магнитного поля, создаваемого стержневым магнитом типа, изображенного на рис. 2, возможно двумя путями. В первом варианте следует принимать неизменным поток магнитной индукции 0=B‘S, выходящий из торца магнита и расходящийся в окружающем пространстве. Тогда изменение модуля магнитной индукции будет обратно пропорционально увеличению площади потока. Изменение площади потока вне постоянных магнитов можно определить известным эмпирическим методом с использованием железных опилок.

Второй вариант расчета основан на принятии неизменным модуля суммарного магнитного дипольного момента, создаваемого молекулами и атомами магнита. В этом случае дивергенцию рассчитывают как уменьшение модуля векторов магнитной индукции и намагниченности в окружающем магнит пространстве, исходя из условия увеличения объема пространства, приходящегося на суммарный магнитный дипольный момент тела магнита. В расчетах магнитных систем с малыми воздушными зазорами этот вариант расчета (из приведенных двух) будет единственно возможным и он дает верный результат. Близкий к этому подход, правда, с энергетических позиций и с некорректным, по мнению автора, использованием напряженности магнитного поля Н, описан в работе [12, стр.457].

Теперь рассмотрим возможность опытного измерения дивергенции, что должно поставить завершающую точку в теоретических разногласиях математиков и физиков об этом параметре.
Для статического электрического поля проблема опытного измерения дивергенции решается достаточно просто. Измеряем напряженность поля в двух точках, лежащих на линии поля в окрестности точки, в которой определяется дивергенция. Разницу полученных измерений делим на расстояние между точками измерений, это и будет средним значением дивергенции вектора Е для искомой точки поля. Дивергенция «материального» [12] вектора D, который чуть выше фигурировал в расчетах, определяется по этим измерениям с учетом электрической постоянной £0 и относительной диэлектрической проницаемости среды.

Для статического магнитного поля практическое измерение дивергенции выполняется подобным же образом, правда определять линии поля здесь несколько сложнее, потому как оно не центральное. Кроме того, следует учитывать, что измеряя значение полевого параметра магнитной индукции В, мы фактически измеряем намагниченность вакуума ]0. В работах [13,14] показано, что вектор В относится к чисто полевым (по мнению автора, фантомным) величинам, которые модельного (материального) представления не имеют, хотя вроде бы на практике и измеримы. На самом деле измерение магнитной индукции В сводится к измерению разности электрических потенциалов (в датчиках Холла) или электродвижущей силы, образуемой при изменении (во времени) магнитного потока Ф, который выражаем и через другие магнитные величины. Покажем это в формулах.

Вне магнита индукция В связана с намагниченностью среды соотношением

В воздухе μ=1, поэтому максимальная величина магнитного потока определяется произведением площади S измерительной рамки на магнитную постоянную μ₀ и на вектор намагниченности вакуума J₀ который не вполне оправданно (при отсутствии токов проводимости) считают вектором напряженности магнитного поля Н. Алгебраическое соотношение названных величин имеет вид:

При фиксированной величине площади S измерительной рамки и ее ориентации перпендикулярно измеряемому полю пространственные изменения магнитного потока будут соответствовать соответствующим изменениям намагниченности окружающего магнит пространства. По этим измерениям можно определить дивергенцию векторов В и Jo в интересующей нас точке поля.

ВЫВОДЫ

1. Математические и физические представления дивергенции с приписыванием ей нулевого значения вне истоков и стоков поля малопродуктивны и не соответствуют реальности. Реальная дивергенция — это опытно измеряемая и теоретически вычисляемая расходимость (или сходимость) силовых линий электрического, магнитного или гравитационного полей. Любое векторное поле, неоднородное в трехмерном евклидовом пространстве, обязательно характеризуется наличием своего скалярного поля дивергенции с вычисляемым или измеряемым значением дивергенции в каждой точке поля.

2. Для полей центрального типа дивергенцию в каждой точке поля можно грубо вычислять как объемную плотность источника поля (заряда или массы) в сферическом объеме, на поверхности которого расположена рассматриваемая точка. Более точно дивергенция вычисляется как пространственное изменение плотности потока векторного поля. В такой форме дивергенция вычислима для полей любого типа и формы.

3. Наиболее простое и точное представление дивергенции в любой точке векторного поля -это скорость пространственного изменения вектора в своем собственном направлении, то есть пространственное изменение модуля вектора.

1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. Учеб. Пособие для вузов,- 11-е изд., испр. и доп.- М.: Физматлит-2003.- 616 с.

2. Иродов И. Е. Электромагнетизм. Основные законы. Изд. 4-е испр- М.: БИНОМ. Лаборатория знаний- 2003 — 320 с.

3. Парселл Э. Электричество и магнетизм: Учебное руководство; Пер с англ./Под ред. А. Н. Школьникова и А. О. Вайсберга- 3-е изд., испр-М.: Наука-1983- (Берклеевский курс физики).- 410 с.

4. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том2. Изд. 19испр-М.: Наука — 1965.

5. Гаврилова В. Р., Иванова Е.Е., Морозова В. Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля,- М.: Изд-во МГТУим. Н. Э. Баумана. -2003- 496 с.

6. Волков П. К. О природе движения жидкости. /Вестник Югорского государственного университета-2011.- Выпуск 2 (21).- С. 8-28.

7. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Корн Г., Корн Т.- М.: НАУКА,- 1973,- 832 с.

8. Дивергенция. URL: http://ru.math.wikia.com/wiki/Дивергенция (дата обращения — 10.11.2012).

9. Болсун А. И., Гронский В. К., БейдаА.А. Методы математической физики: Учеб. пособие-Минск.: Высш. Школа — 1988 — 199 с.

10. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. Продолжение курса. Под ред. А. Н. Тихонова- М.: Изд. МГУ.- 1987.- 358 с.

11. Чуев А. С. Магнитное поле — какие векторы первичны и что мы измеряем? //Законодательная и прикладная метрология- 2012-№6,-С. 45-48.

12. Боровик Е. С., Еременко В. В., Мильнер А. С. Лекции по магнетизму- 3-е изд. перераб. и доп.-М.: ФИЗМАТЛИТ,- 2005.- 512 с.

13. Чуев А. С. Системный подход в физическом образовании инженеров. //Наука и образование. -2012- №2,- URL: http://technomag.edu.ru/doc/299700. html (дата обращения: 2.02.2012).

14. Чуев А. С. Полевые электромагнитные величины — фантом или реальность?//Законодательная и прикладная метрология- 2012-№3,- С. 71-75.