Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Четырехугольники
Содержание
  1. теория по математике 📈 планиметрия
  2. Выпуклый четырехугольник
  3. Виды и свойства выпуклых четырехугольников
  4. Прямоугольник
  5. Квадрат
  6. Параллелограмм
  7. Трапеция
  8. Виды трапеций
  9. Средняя линия трапеции
  10. Тест по геометрии по теме «Четырехугольники» (8 класс)
  11. «Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
  12. «Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
  13. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  14. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  15. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  16. Оставьте свой комментарий
  17. Подарочные сертификаты
  18. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  19. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  20. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  21. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  22. Параллелограмм
  23. Параллелограмм и его свойства
  24. Признаки параллелограмма
  25. Прямоугольник
  26. Признак прямоугольника
  27. Ромб и квадрат
  28. Свойства ромба
  29. Трапеция
  30. Средняя линия треугольника
  31. Средняя линия трапеции
  32. Координаты середины отрезка
  33. Теорема Пифагора
  34. Справочный материал по четырёхугольнику
  35. Пример №1
  36. Признаки параллелограмма
  37. Пример №2 (признак параллелограмма).
  38. Прямоугольник
  39. Пример №3 (признак прямоугольника).
  40. Ромб. Квадрат
  41. Пример №4 (признак ромба)
  42. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  43. Пример №5
  44. Пример №6
  45. Трапеция
  46. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  47. Центральные и вписанные углы
  48. Пример №8
  49. Вписанные и описанные четырёхугольники
  50. Пример №9
  51. Пример №10
  52. 📺 Видео

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамОпределение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Видео:Диагонали параллелограмма делятся пополамСкачать

Диагонали параллелограмма делятся пополам

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамНа рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

  1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
  2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
  3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
  5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамСвойства квадрата

  1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
  2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
  4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
  5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры3517

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазинаРасход краскиМасса краски в одной банкеСтоимость одной банки краскиСтоимость доставки заказа
10,25 кг/кв.м6 кг3000 руб.500 руб.
20,4 кг/кв.м5 кг1900 руб.800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

Тест по геометрии по теме «Четырехугольники» (8 класс)

Видео:Геометрия Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, одна из его сторон равнаСкачать

Геометрия Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, одна из его сторон равна

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Тест по геометрии 8класс по теме «Четырехугольники»

Цель: Проверить усвоение учащимися теоретического материала по теме «Четырехугольники»

Тест состоит из 10 заданий с 4-мя вариантами ответов, из которых один или два являются правильными.

На выполнение теста отводится 10 минут.

Каждый правильный ответ- 1балл.

За 10 баллов выставляется отметка «5»

За 9-8 баллов отметка «4»

За 7-6 баллов отметка «3»

В остальных случаях ставится отметка «2»

Тест по геометрии 8класс по теме «Четырехугольники»

Выбери из четырех предложенных правильный ответ (один или два)

1 Какой из четырехугольников не является параллелограммом?

2. Диагонали какого из четырехугольников равны?

А) равнобедренная трапеция

3.У какого из четырехугольников все углы прямые и противоположные стороны равны?

Г) прямоугольная трапеция

4.Диагонали какого из четырехугольников взаимно перпендикулярны?

5. У какого из четырехугольников противоположные стороны и углы не равны?

6.Диагонали какого из четырехугольников не являются биссектрисами углов?

7. Какой из четырехугольников не обладает осевой симметрией?

А) равнобедренная трапеция

Г) прямоугольная трапеция

8. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам?

9. Какой из четырехугольников имеет две оси симметрии?

10.Какой из четырехугольников имеет четыре оси симметрии?

В) равнобедренная трапеция

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 342 человека из 71 региона

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 689 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

  • Карасева Галина АнатольевнаНаписать 7756 11.02.2018

Номер материала: ДБ-1159186

    11.02.2018 177
    11.02.2018 613
    11.02.2018 441
    11.02.2018 1264
    11.02.2018 136
    11.02.2018 1374
    11.02.2018 260
    11.02.2018 193

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Время чтения: 1 минута

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

В России разработают рекомендации по сопровождению студентов с ОВЗ

Время чтения: 2 минуты

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Видео:№383 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что PB=QD. ДокажитеСкачать

№383 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что PB=QD. Докажите

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамуглы Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамявляются внешними.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамДиагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамДиагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамто параллелограмм Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамявляется ромбом.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство теоремы 1.

Дано: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамромб.

Докажите, что Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство (словестное): По определению ромба Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамравнобедренный. Медиана Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам(так как Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамТак как Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамявляется прямым углом, то Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. Аналогичным образом можно доказать, что Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

План доказательства теоремы 2

Дано: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамравнобедренная трапеция. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Докажите: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамтогда Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампроведем параллельную прямую к прямой Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамчерез точку Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам— середину стороны Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампроведите прямую параллельную Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамКакая фигура получилась? Является ли Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамтрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамМожно ли утверждать, что Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство. Пусть дан треугольник Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополами его средняя линия Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамПроведём через точку Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампрямую параллельную стороне Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамт.е. совпадает со средней линией Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамТ.е. средняя линия Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампараллельна стороне Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамТеперь проведём среднюю линию Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамТ.к. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамто четырёхугольник Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамПо теореме Фалеса Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамТогда Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство: Через точку Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополами точку Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамсередину Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамчерез Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамрадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополами Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополами точка Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамкоторая является серединой отрезка Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамто Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополама отсюда следует, что Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

2) По теореме Фалеса, если точка Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамявляется серединой отрезка Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамто на оси абсцисс точка Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополами Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

3) Координаты середины отрезка Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамс концами Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополами Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамточки Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамнаходятся так:

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамто, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам— прямоугольный.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамтакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 клСкачать

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 кл

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамДиагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Решение:

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам(АВ CD, ВС-секущая), Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам(ВС || AD, CD — секущая), Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. По свойству углов четырёхугольника, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Следовательно, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампо двум сторонами и углу между ними.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополами Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамПри помощи циркуля сравните длины отрезков Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказать: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство. Проведём через точки Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампрямые Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампараллельные ВС. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампо стороне и прилежащим к ней углам. У них Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампо условию, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополами Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамкак противоположные стороны параллелограммов Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамПроведём прямую Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. Через точки Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополампроведём прямые, параллельные прямой Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказать: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Поэтому Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРДиагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамкак вертикальные, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамвнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамравнобедренный. Поэтому Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамсоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамДиагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. По свойству внешнего угла треугольника, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамДиагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Из доказанного в первом случае следует, что Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамизмеряется половиной дуги AD, a Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам— половиной дуги DC. Поэтому Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказать: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Тогда Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Докажем, что Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам. По свойству равнобокой трапеции, Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Тогда Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополами, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополамвписанного в окружность. Действительно,

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Следовательно, четырёхугольник Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Диагонали какого из четырехугольников не делятся точкой пересечения пополам

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

ЧетырехугольникиСкачать

Четырехугольники

8 класс. Геометрия. Четырехугольник: вершины, стороны, диагонали. Свойства параллелограмма. Урок #1Скачать

8 класс. Геометрия. Четырехугольник: вершины, стороны, диагонали. Свойства параллелограмма. Урок #1

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Диагонали параллелограмма делятся пополамСкачать

Диагонали параллелограмма делятся пополам

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Геометрия. ЧетырехугольникиСкачать

Геометрия. Четырехугольники

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК 8 класс РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АтанасянСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК 8 класс РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Атанасян

Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромбСкачать

Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромб

142 (29) Диагонали делят площадь пополамСкачать

142 (29) Диагонали делят площадь пополам

Геометрия ОГЭ. Четырехугольники #4 (задача 9 и 11 типа ФИПИ)🔴Скачать

Геометрия ОГЭ. Четырехугольники #4 (задача 9 и 11 типа ФИПИ)🔴

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник
Поделиться или сохранить к себе: