Действия с векторами в координатах задачи

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Карточки к практической работе «Действия над векторами, заданными в координатной форме»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора

2. Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-2;2;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(3;-2;-7).

8. Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B (2;10;-5), C (2;3;2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора

2. Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;6;-8), B (-2;2;0)

б) В, если A(7;-4;2,5), М(3;-2;-7).

8. Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B (5;-3;2), C (1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора

2. Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-4;4;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(6;-4;-14).

8. Даны координаты вершин треугольника A(5;-5;-1), B (5;-3;-1), C (4;-3;0). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора

2. Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;9;-12), B (-2;2;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(-6;4;14).

8. Даны координаты вершин треугольника A(-5;2;0), B (-4;3;0), C (-5;2;-2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора

2. Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-6;6;0)

8. Даны координаты вершин треугольника A(1;3;0), B (2;3;-1), C (1;2;-1). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора

2. Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-2;2;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(3;-2;-7).

8. Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B (2;10;-5), C (2;3;2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора

2. Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

A(-5;2;0), B (-2;7;18), C (2;3;2), D (5;8;3).

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;6;-8), B (-2;2;0)

б) В, если A(7;-4;2,5), М(3;-2;-7).

8. Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B (5;-3;2), C (1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора

2. Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5 . Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6 . Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-4;4;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(6;-4;-14).

8 . Даны координаты вершин треугольника A(5;-5;-1), B (5;-3;-1), C (4;-3;0). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1 . Записать координаты вектора

2. Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5 . Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6 . Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;9;-12), B (-2;2;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(-6;4;14).

8 . Даны координаты вершин треугольника A(-5;2;0), B (-4;3;0), C (-5;2;-2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1 . Записать координаты вектора

2 . Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5 . Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6 . Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-6;6;0)

8 . Даны координаты вершин треугольника A(1;3;0), B (2;3;-1), C (1;2;-1). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1 . Записать координаты вектора

2 . Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-2;2;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(3;-2;-7).

8 . Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B (2;10;-5), C (2;3;2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1 . Записать координаты вектора

2. Даны векторы .

Найти координаты векторов: а) , б)

3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?

4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5 . Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;6;-8), B (-2;2;0)

б) В, если A(7;-4;2,5), М(3;-2;-7).

8. Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B (5;-3;2), C (1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:9 класс, 4 урок, Простейшие задачи в координатахСкачать

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

📸 Видео

Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.Скачать

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.Скачать

ЛИПСИЦ про падение рубля, Беларусь, Путина, русских имперцев, Зубаревич, Чалый, что будет с долларомСкачать

Урок 11. Решение задач на действия с векторамиСкачать

9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и концаСкачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

Сложение и вычитание векторов через координаты. Практическая часть. 11 класс.Скачать

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ \\ 9 класс \\ геометрияСкачать