Действия с векторами в координатах задачи

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Карточки к практической работе «Действия над векторами, заданными в координатной форме»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Действия с векторами в координатах задачи

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-2;2;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(3;-2;-7).

8. Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B (2;10;-5), C (2;3;2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;6;-8), B (-2;2;0)

б) В, если A(7;-4;2,5), М(3;-2;-7).

8. Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B (5;-3;2), C (1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-4;4;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(6;-4;-14).

8. Даны координаты вершин треугольника A(5;-5;-1), B (5;-3;-1), C (4;-3;0). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;9;-12), B (-2;2;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(-6;4;14).

8. Даны координаты вершин треугольника A(-5;2;0), B (-4;3;0), C (-5;2;-2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-6;6;0)

8. Даны координаты вершин треугольника A(1;3;0), B (2;3;-1), C (1;2;-1). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-2;2;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(3;-2;-7).

8. Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B (2;10;-5), C (2;3;2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

A(-5;2;0), B (-2;7;18), C (2;3;2), D (5;8;3).

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;6;-8), B (-2;2;0)

б) В, если A(7;-4;2,5), М(3;-2;-7).

8. Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B (5;-3;2), C (1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1. Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5 . Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6 . Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-4;4;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(6;-4;-14).

8 . Даны координаты вершин треугольника A(5;-5;-1), B (5;-3;-1), C (4;-3;0). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1 . Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5 . Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6 . Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;9;-12), B (-2;2;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(-6;4;14).

8 . Даны координаты вершин треугольника A(-5;2;0), B (-4;3;0), C (-5;2;-2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1 . Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2 . Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5 . Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6 . Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-6;6;0)

8 . Даны координаты вершин треугольника A(1;3;0), B (2;3;-1), C (1;2;-1). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1 . Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2 . Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5. Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-2;2;0)

б) В, если A(14;-8;5), М(3;-2;-7).

8 . Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B (2;10;-5), C (2;3;2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Практическая работа № 9

Действия над векторами, заданными координатами

1 . Записать координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи

2. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи.

Найти координаты векторов: а) Действия с векторами в координатах задачи, б) Действия с векторами в координатах задачи

3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи?

4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.

5 . Найти скалярное произведение векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.

6. Даны векторы Действия с векторами в координатах задачи. Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.

Действия с векторами в координатах задачи

7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;6;-8), B (-2;2;0)

б) В, если A(7;-4;2,5), М(3;-2;-7).

8. Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B (5;-3;2), C (1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Действия с векторами в координатах задачи

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Действия с векторами в координатах задачи

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Действия с векторами в координатах задачи
Действия с векторами в координатах задачи

Длина вектора Действия с векторами в координатах задачив пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Действия с векторами в координатах задачи

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Действия с векторами в координатах задачи

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Действия с векторами в координатах задачи

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи.

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Произведение вектора на число:

Действия с векторами в координатах задачи

Скалярное произведение векторов:

Действия с векторами в координатах задачи

Косинус угла между векторами:

Действия с векторами в координатах задачи

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Действия с векторами в координатах задачи

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи. Для этого нужны их координаты.

Действия с векторами в координатах задачи

Запишем координаты векторов:

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

и найдем косинус угла между векторами Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи:

Действия с векторами в координатах задачи

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Действия с векторами в координатах задачи

Координаты точек A, B и C найти легко:

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Действия с векторами в координатах задачи

Координаты вершины пирамиды: Действия с векторами в координатах задачи

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Найдем координаты векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

и угол между ними:

Действия с векторами в координатах задачи

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Действия с векторами в координатах задачи

Запишем координаты точек:

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Действия с векторами в координатах задачи

Найдем координаты векторов Действия с векторами в координатах задачии Действия с векторами в координатах задачи, а затем угол между ними:

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.Скачать

Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Действия с векторами в координатах задачи

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Действия с векторами в координатах задачи

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Действия с векторами в координатах задачи

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Действия с векторами в координатах задачи

То есть A + C + D = 0.

Действия с векторами в координатах задачиДействия с векторами в координатах задачи

Аналогично для точки K:

Действия с векторами в координатах задачи

Получили систему из трех уравнений:

Действия с векторами в координатах задачи

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Действия с векторами в координатах задачи

Решив систему, получим:

Действия с векторами в координатах задачи

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Действия с векторами в координатах задачи

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Действия с векторами в координатах задачи

Вектор Действия с векторами в координатах задачи— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Действия с векторами в координатах задачиимеет вид:

Действия с векторами в координатах задачи

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Действия с векторами в координатах задачи

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Действия с векторами в координатах задачи

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Действия с векторами в координатах задачи

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Действия с векторами в координатах задачиперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Действия с векторами в координатах задачи

Напишем уравнение плоскости AEF.

Действия с векторами в координатах задачи

Берем уравнение плоскости Действия с векторами в координатах задачии по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Действия с векторами в координатах задачиДействия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Действия с векторами в координатах задачи

Нормаль к плоскости AEF: Действия с векторами в координатах задачи

Найдем угол между плоскостями:

Действия с векторами в координатах задачи

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Действия с векторами в координатах задачи

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Действия с векторами в координатах задачиили, еще проще, вектор Действия с векторами в координатах задачи.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи— тоже:

Действия с векторами в координатах задачи

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Действия с векторами в координатах задачи

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Действия с векторами в координатах задачи

Получим:
Действия с векторами в координатах задачи

Ответ: Действия с векторами в координатах задачи

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Действия с векторами в координатах задачи— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Действия с векторами в координатах задачи— нормаль к плоскости α.

Действия с векторами в координатах задачи

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Действия с векторами в координатах задачи

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Находим координаты вектора Действия с векторами в координатах задачи.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Действия с векторами в координатах задачи.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Действия с векторами в координатах задачи

Ответ: Действия с векторами в координатах задачи

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Действия с векторами в координатах задачи

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Действия с векторами в координатах задачи, AD = Действия с векторами в координатах задачи. Высота параллелепипеда AA1 = Действия с векторами в координатах задачи. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Действия с векторами в координатах задачи

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Действия с векторами в координатах задачиДействия с векторами в координатах задачи

Решим эту систему. Выберем Действия с векторами в координатах задачи

Тогда Действия с векторами в координатах задачи

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Действия с векторами в координатах задачи

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Действия с векторами в координатах задачи

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

🎥 Видео

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

9 класс, 4 урок, Простейшие задачи в координатахСкачать

9 класс, 4 урок, Простейшие задачи в координатах

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и концаСкачать

9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

ЛИПСИЦ про падение рубля, Беларусь, Путина, русских имперцев, Зубаревич, Чалый, что будет с долларомСкачать

ЛИПСИЦ про падение рубля, Беларусь, Путина, русских имперцев, Зубаревич, Чалый, что будет с долларом

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.Скачать

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.

Урок 11. Решение задач на действия с векторамиСкачать

Урок 11. Решение задач на действия с векторами

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Сложение и вычитание векторов через координаты. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторов через координаты. Практическая часть. 11 класс.

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ \\ 9 класс \\ геометрияСкачать

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ \\\\ 9 класс \\\\ геометрия
Поделиться или сохранить к себе: