Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
- Координаты вектора
- Карточки к практической работе «Действия над векторами, заданными в координатной форме»
- «Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
- Векторы в пространстве и метод координат
- Система координат в пространстве
- Плоскость в пространстве задается уравнением:
- 🎥 Видео
Координаты вектора
Теоретический материал по теме — координаты вектора.
Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
Карточки к практической работе «Действия над векторами, заданными в координатной форме»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-2;2;0)
б) В, если A(14;-8;5), М(3;-2;-7).
8. Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B (2;10;-5), C (2;3;2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;6;-8), B (-2;2;0)
б) В, если A(7;-4;2,5), М(3;-2;-7).
8. Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B (5;-3;2), C (1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-4;4;0)
б) В, если A(14;-8;5), М(6;-4;-14).
8. Даны координаты вершин треугольника A(5;-5;-1), B (5;-3;-1), C (4;-3;0). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;9;-12), B (-2;2;0)
б) В, если A(14;-8;5), М(-6;4;14).
8. Даны координаты вершин треугольника A(-5;2;0), B (-4;3;0), C (-5;2;-2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-6;6;0)
8. Даны координаты вершин треугольника A(1;3;0), B (2;3;-1), C (1;2;-1). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-2;2;0)
б) В, если A(14;-8;5), М(3;-2;-7).
8. Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B (2;10;-5), C (2;3;2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
A(-5;2;0), B (-2;7;18), C (2;3;2), D (5;8;3).
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7. Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;6;-8), B (-2;2;0)
б) В, если A(7;-4;2,5), М(3;-2;-7).
8. Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B (5;-3;2), C (1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1. Записать координаты вектора
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3. Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4. Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5 . Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6 . Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-4;4;0)
б) В, если A(14;-8;5), М(6;-4;-14).
8 . Даны координаты вершин треугольника A(5;-5;-1), B (5;-3;-1), C (4;-3;0). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1 . Записать координаты вектора
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5 . Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6 . Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;9;-12), B (-2;2;0)
б) В, если A(14;-8;5), М(-6;4;14).
8 . Даны координаты вершин треугольника A(-5;2;0), B (-4;3;0), C (-5;2;-2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1 . Записать координаты вектора
2 . Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5 . Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6 . Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-6;6;0)
8 . Даны координаты вершин треугольника A(1;3;0), B (2;3;-1), C (1;2;-1). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1 . Записать координаты вектора
2 . Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5. Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;3;-4), B (-2;2;0)
б) В, если A(14;-8;5), М(3;-2;-7).
8 . Даны координаты вершин треугольника A(9;3;-5), B (2;10;-5), C (2;3;2). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Практическая работа № 9
Действия над векторами, заданными координатами
1 . Записать координаты вектора
2. Даны векторы .
Найти координаты векторов: а) , б)
3 . Даны координаты точек A , B , C , D . Равны ли векторы и ?
4 . Найти координаты середины отрезка ВС. Координаты точек В и С взять из задания 3.
5 . Найти скалярное произведение векторов и . Координаты точек A , B , C , D взять из задания 3.
6. Даны векторы . Определите, какой угол (острый, прямой или тупой) между ними.
7 . Точка М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки: а) М, если A(0;6;-8), B (-2;2;0)
б) В, если A(7;-4;2,5), М(3;-2;-7).
8. Даны координаты вершин треугольника A(3;7;-4), B (5;-3;2), C (1;3;-10). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Видео:Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.Скачать
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
То есть A + C + D = 0.
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
🎥 Видео
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
9 класс, 4 урок, Простейшие задачи в координатахСкачать
Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и концаСкачать
ЛИПСИЦ про падение рубля, Беларусь, Путина, русских имперцев, Зубаревич, Чалый, что будет с долларомСкачать
#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.Скачать
Урок 11. Решение задач на действия с векторамиСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Сложение и вычитание векторов через координаты. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать
9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ \\ 9 класс \\ геометрияСкачать