Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.
Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2
Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть
Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.
Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.
Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.
Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.
Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.
Периметр сектора: P = s + 2R.
Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.
Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.
Видео:A.2.8 Дополнение, вычитание и декартово произведение множествСкачать
Декартово произведение окружности на круг
Окружность − это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки ( центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр . Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу:
(D = 2R)
Центральный угол − это угол, вершина которого совпадает с центром окружности. Соотношение между хордой и центральным углом имеет вид:
(a = 2Rsin largefracnormalsize)
Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками. Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу. Длина дуги определяется соотношением
(s = alpha R),
где (alpha) − центральный угол, выраженный в радианах, (R) − радиус окружности.
Вписанный угол − это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее. Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности:
(beta = largefracnormalsize),
Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково:
( = )
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами:
(varphi = largefrac <<+ >>normalsize),
где (), () − меры дуг (в градусах или радианах).
Секущей называется прямая, проходящая через две различные точки окружности. Для любых двух секущих, проведенных из произвольной точки вне окружности, произведение длины первой секущей на ее внешнюю часть равно произведение длины второй секущей на ее внешнюю часть:
(e = f)
Угол между секущими , проведенными из произвольной точки вне окружности, равен полуразности большей и меньшей дуг, высекаемых данными секущими:
(gamma = largefrac <<— >>normalsize),
где (), () − меры соответствующих дуг (в градусах или радианах).
Для любой секущей и касательной , проведенных из произвольной точки вне окружности, произведение длины секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной:
(f = )
Угол между секущей и касательной , проведенными из произвольной точки, равен полуразности высекаемых дуг:
(delta = largefrac <<— >>normalsize),
где (), () − меры соответствующих дуг.
Угол между касательной и хордой , проходящей через точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой:
(theta = largefracnormalsize = largefracnormalsize)
Касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Угол между двумя касательными , проведенными к окружности из произвольной точки, равен полуразности высекаемых дуг:
(eta = largefrac <<— >>normalsize),
где (), () − меры соответствующих дуг (в градусах или радианах).
Уравнение окружности в декартовой системе координат
(<left( <x — > right)^2> + <left( <y — > right)^2> = ),
где (), () − координаты центра окружности, (R) − ее радиус, () − координаты точек окружности.
Периметр окружности
(P = 2pi R = pi D)
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.
Площадь круга
(S = pi = largefrac<<pi >>normalsize = largefrac<>normalsize)
Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.
Периметр сектора
(P = s + 2R),
где (s) − длина дуги, (R) − радиус круга.
Площадь сектора
(S = largefrac<>normalsize = largefrac<<x>>normalsize = largefrac<<pi alpha >><>normalsize),
где (s) − длина дуги, (R) − радиус круга, (x) − центральный угол в радианах, (alpha) − центральный угол в градусах.
Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.
Высота сегмента
(h = R — largefracnormalsizesqrt <4- > ,;;h Соотношение между высотой сегмента и длиной хорды
(a = 2sqrt <2hR — > )
Периметр сегмента
(P = s + a),
где (s) − длина дуги, (a) − длина хорды.
Площадь сегмента
(S = largefracnormalsizeleft[ <sR — aleft( right)> right] = largefrac<<>>normalsizeleft( <largefrac<><>normalsize — sin alpha > right) = largefrac<<>>normalsizeleft( right)),
где (s) − длина дуги, (a) − длина хорды, (h) − высота сегмента, (R) − радиус круга, (x) − центральный угол в радианах, (alpha) − центральный угол в градусах.
Приближенная формула для площади сегмента
(S approx largefrac<>normalsize).
Здесь (h) − высота сегмента, (a) − длина хорды.
Видео:Декартово произведениеСкачать
Декартово произведение двух множеств
Понятие декартова произведения
Множество всех возможных пар, составленных из элементов множества A и B, называется декартовым произведением этих множеств:
Мощность декартова произведения равно произведению мощностей исходных множеств: $|A times B| = |A| cdot |B|$. Это справедливо как для конечных, так и бесконечных множеств.
Декартово произведение некоммутативно: $A times B neq B times A$
Произведение $A times A = A^2$ называют декартовым квадратом.
Если A = , B = , их декартово произведение – это множество пар:
Мощность декартова произведения $n(A times B) = 6 = underbrace_<3text> cdot underbrace_<2text> $
Произведение в другом порядке:
Множества $A times B$ и $B times A$ отличаются.
Табличное представление декартовых произведений
Таблица умножения или таблица квадратов натуральных чисел являются примером функций, заданных на декартовых произведениях.
Например, таблица квадратов натуральных чисел:
🎬 Видео
2.7 Декартово произведение | Константин Правдин | ИТМОСкачать
Что такое декартово или прямое произведение? Душкин объяснитСкачать
Прямое произведени множеств. Отображения. ФактормножестваСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Просто о сложном и сложно о простом | декартово умножениеСкачать
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
Подмножества, разность множеств, симметрическая разность, декартово произведениеСкачать
Прямо пропорциональная и обратно пропорциональная зависимость. 6 класс.Скачать
СПОРИМ ты поймешь Математику — Функция и ее свойства, Область определения, Нули ФункцииСкачать
4.4 Декартово произведение множеств - как умножать множестваСкачать
Радиус и диаметрСкачать
Вся суть мат. анализа за 3 мин 14 сек!Скачать
Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать
10.09.2022 Лекция 2. Декартово произведение множеств, функцииСкачать
Шапошников С. В. - Математический анализ I - Декартово произведение. Теорема КантораСкачать
Отношения множеств. Прямое произведение множествСкачать
Элементарные частицы | как можно усложнить декартово произведениеСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
