Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,277
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,929
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
3.1.7. Примеры решения задач по теме «Линейные операции над векторами. Скалярное произведение»
Даны векторы А = (-2; 3; 5) и B = (4; -1; 7). Найти координаты вектора
При умножении вектора на число все его координаты
Умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Если A || B, то 
. Отсюда:
Ответ: 
.
Найти направляющие косинусы вектора А = .
Направляющие косинусы являются координатами орта (единичного вектора) данного направления.
Найдем модуль вектора А:
Разделив все координаты вектора А на его модуль, получим координаты орта:
Ответ: 
Тогда AA + BB + GC = <2A + B— 3G; —A + B+ G; 3A — B+ 2G>, причем координаты этого вектора должны равняться соответствующим координатам вектора D. Приравнивая эти координаты, получаем систему уравнений для определения A, B, G:
Для векторов A = , B = , C = , D = найти такие числа A, B, G, чтобы векторы AA, BB, GC и D образовали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.
C = линейно зависимой или линейно независимой.
Система векторов называется линейно независимой, если равенство
Вычислим главный определитель Δ системы уравнений
По правилу Крамера система имеет единственное решение, но для однородной системы всегда существует нулевое решение (A = B = G = 0).
Поскольку других решений нет, данная система векторов линейно независима.
Ответ: Система векторов линейно независима.
Найти координаты какого-либо вектора, направленного по биссектрисе угла между векторами А = (-4; 3; 0) и B = (12; -15; 16).
Диагональ параллелограмма является биссектрисой угла между сторонами только в том случае, если этот параллелограмм – ромб. Следовательно, искомым вектором можно считать сумму двух векторов равной длины, коллинеарных соответственно векторам А и B.
Вектор A + B направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах А и B как на смежных сторонах и выходящей из общего начала векторов А и B.
Диагональ параллелограмма является биссектрисой угла между сторонами только в том случае, если этот параллелограмм – ромб. Следовательно, искомым вектором можно считать сумму двух векторов равной длины, коллинеарных соответственно векторам А и B.
Следовательно, |5A| = |B|. Значит, параллелограмм со сторонами, совпадающими с векторами 5A и B, является ромбом, поэтому вектор 5A + B будет иметь заданное направление.
При каких значениях X, Y, Z точки А(Х; -1; 3), В(5; -4; Z), C(-2; Y; 9), D(-5; 1; 7) являются вершинами параллелограмма?
Для выполнения условия задачи требуется коллинеарность векторов 
и 
и 
и 
.
Для выполнения условия задачи требуется коллинеарность векторов и и и .
Найдем координаты этих векторов:
Из последней пропорции получаем, что Z = 1 – 2Y. Тогда
Но при этих значениях неизвестных
Условие задачи выполнено.
Используйте определение скалярного произведения:
Используем свойства скалярного произведения:
По определению скалярного произведения
Сложим левые и правые части полученных равенств:
Даны векторы А = и B = . Найти скалярное произведение
Найдите координаты векторов 3А – B и A + 2B или используйте свойства скалярного произведения.
Используем свойства скалярного произведения:
Используйте формулу, выражающую косинус угла между векторами через их скалярное произведение.
Ответ: 
.
Координаты вектора B пропорциональны координатам А. Если K – коэффициент пропорциональности, то B = <2K; -2K; 3K>.
Координаты вектора B пропорциональны координатам А. Если K – коэффициент пропорциональности, то B = <2K; -2K; 3K>.
Известно, что |A| = 2, |B| = 7. Найти значения K, при которых векторы
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Ответ: K = 
.
Найти проекцию вектора А = на ось, образующую с координатными осями Ох и Оу углы 60о и 45о, а с осью Oz – тупой угол γ.
Используйте свойство направляющих косинусов:
Найдем cosγ: cos260o + cos245o + cos2γ = 1,
Тогда проекция А на заданную ось равна: