Даны вектора а1 а2 а3 а4 а5 а6 в которой а3 - Курс школьной геометрии

Дополнить линейно независимую часть а1, а2 до базиса системы векторов а1, а 2, а3, а4, а5, а6 и все векторы разложить

Дана система векторов а1 =(-1, 1, -2,1), а2=
(3, 1, 1, 1), а3 =(0, 1, 1, 2), а4 =(1, 1, 1, 3), а5=(1,0,
-2, -1), а6=(1,0,1, 2). Дополнить линейно независимую часть а1,
а2 до базиса системы векторов а1, а 2, а3,
а4, а5, а6 и все векторы, не вошедшие в
базис, разложить по базису

Координат 4, значит и базис должен состоять из 4 векторов. Составляешь
определитель 4х4 из векторов а1, а2, а3, а4 и вычисляешь его. Если он
ноль, то меняешь вектор а4, на а5 и опять вычисляешь определитель. И так перебираешь вектора (а1, и а2 не трогаешь они по условию входят в базис) пока не найдешь определитель четвертого порядка не равный нулю. Когда найдешь вектора входящие в этот определитель и будут базисом. Потом две системы нужно решить с четырьмя неизвестными. Короче, это очень хлопотное дело, может оказаться затратным по времени. Но идею решения я тебе рассказал.

Может кому будет актуально:
сначала выписываем векторы в столбец и приводим матрицу (6х4) к диагональному виду. ненулевые строки будут базисом.
затем выписываем координаты векторов по столбцам: сначала базис, потом остальные. приводим получившуюся присоединённую матрицу к единичной (работаем только со строками) и получаем коэффициенты разложения по базису (обязательно сделать проверку)

3.1.7. Примеры решения задач по теме «Линейные операции над векторами. Скалярное произведение»

Даны векторы А = (-2; 3; 5) и B = (4; -1; 7). Найти координаты вектора

При умножении вектора на число все его координаты

Умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Если A || B, то . Отсюда:

Ответ: .

Найти направляющие косинусы вектора А = .

Направляющие косинусы являются координатами орта (единичного вектора) данного направления.

Найдем модуль вектора А:

Разделив все координаты вектора А на его модуль, получим координаты орта:

Ответ:

Тогда AA + BB + GC = <2A + B— 3G; —A + B+ G; 3A — B+ 2G>, причем координаты этого вектора должны равняться соответствующим координатам вектора D. Приравнивая эти координаты, получаем систему уравнений для определения A, B, G:

Для векторов A = , B = , C = , D = найти такие числа A, B, G, чтобы векторы AA, BB, GC и D образовали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.

C = линейно зависимой или линейно независимой.

Система векторов называется линейно независимой, если равенство

Вычислим главный определитель Δ системы уравнений

По правилу Крамера система имеет единственное решение, но для однородной системы всегда существует нулевое решение (A = B = G = 0).

Поскольку других решений нет, данная система векторов линейно независима.

Ответ: Система векторов линейно независима.

Найти координаты какого-либо вектора, направленного по биссектрисе угла между векторами А = (-4; 3; 0) и B = (12; -15; 16).

Диагональ параллелограмма является биссектрисой угла между сторонами только в том случае, если этот параллелограмм – ромб. Следовательно, искомым вектором можно считать сумму двух векторов равной длины, коллинеарных соответственно векторам А и B.

Вектор A + B направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах А и B как на смежных сторонах и выходящей из общего начала векторов А и B.

Следовательно, |5A| = |B|. Значит, параллелограмм со сторонами, совпадающими с векторами 5A и B, является ромбом, поэтому вектор 5A + B будет иметь заданное направление.

При каких значениях X, Y, Z точки А(Х; -1; 3), В(5; -4; Z), C(-2; Y; 9), D(-5; 1; 7) являются вершинами параллелограмма?

Для выполнения условия задачи требуется коллинеарность векторов и и и .