Даны вектора а1 а2 а3 а4 а5 а6 в которой а3

Дана система векторов а1 =(-1, 1, -2,1), а2=
(3, 1, 1, 1), а3 =(0, 1, 1, 2), а4 =(1, 1, 1, 3), а5=(1,0,
-2, -1), а6=(1,0,1, 2). Дополнить линейно независимую часть а1,
а2 до базиса системы векторов а1, а 2, а3,
а4, а5, а6 и все векторы, не вошедшие в
базис, разложить по базису

Координат 4, значит и базис должен состоять из 4 векторов. Составляешь
определитель 4х4 из векторов а1, а2, а3, а4 и вычисляешь его. Если он
ноль, то меняешь вектор а4, на а5 и опять вычисляешь определитель. И так перебираешь вектора (а1, и а2 не трогаешь они по условию входят в базис) пока не найдешь определитель четвертого порядка не равный нулю. Когда найдешь вектора входящие в этот определитель и будут базисом. Потом две системы нужно решить с четырьмя неизвестными. Короче, это очень хлопотное дело, может оказаться затратным по времени. Но идею решения я тебе рассказал.

Может кому будет актуально:
сначала выписываем векторы в столбец и приводим матрицу (6х4) к диагональному виду. ненулевые строки будут базисом.
затем выписываем координаты векторов по столбцам: сначала базис, потом остальные. приводим получившуюся присоединённую матрицу к единичной (работаем только со строками) и получаем коэффициенты разложения по базису (обязательно сделать проверку)

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

3.1.7. Примеры решения задач по теме «Линейные операции над векторами. Скалярное произведение»

Даны векторы А = (-2; 3; 5) и B = (4; -1; 7). Найти координаты вектора

При умножении вектора на число все его координаты

Умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Если A || B, то . Отсюда:

Ответ: .

Найти направляющие косинусы вектора А = .

Направляющие косинусы являются координатами орта (единичного вектора) данного направления.

Найдем модуль вектора А:

Разделив все координаты вектора А на его модуль, получим координаты орта:

Ответ:

Тогда AA + BB + GC = <2A + B— 3G; —A + B+ G; 3A — B+ 2G>, причем координаты этого вектора должны равняться соответствующим координатам вектора D. Приравнивая эти координаты, получаем систему уравнений для определения A, B, G:

Для векторов A = , B = , C = , D = найти такие числа A, B, G, чтобы векторы AA, BB, GC и D образовали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.

C = линейно зависимой или линейно независимой.

Система векторов называется линейно независимой, если равенство

Вычислим главный определитель Δ системы уравнений

По правилу Крамера система имеет единственное решение, но для однородной системы всегда существует нулевое решение (A = B = G = 0).

Поскольку других решений нет, данная система векторов линейно независима.

Ответ: Система векторов линейно независима.

Найти координаты какого-либо вектора, направленного по биссектрисе угла между векторами А = (-4; 3; 0) и B = (12; -15; 16).

Диагональ параллелограмма является биссектрисой угла между сторонами только в том случае, если этот параллелограмм – ромб. Следовательно, искомым вектором можно считать сумму двух векторов равной длины, коллинеарных соответственно векторам А и B.

Вектор A + B направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах А и B как на смежных сторонах и выходящей из общего начала векторов А и B.

Диагональ параллелограмма является биссектрисой угла между сторонами только в том случае, если этот параллелограмм – ромб. Следовательно, искомым вектором можно считать сумму двух векторов равной длины, коллинеарных соответственно векторам А и B.

Следовательно, |5A| = |B|. Значит, параллелограмм со сторонами, совпадающими с векторами 5A и B, является ромбом, поэтому вектор 5A + B будет иметь заданное направление.

При каких значениях X, Y, Z точки А(Х; -1; 3), В(5; -4; Z), C(-2; Y; 9), D(-5; 1; 7) являются вершинами параллелограмма?

Для выполнения условия задачи требуется коллинеарность векторов и и и .

Для выполнения условия задачи требуется коллинеарность векторов и и и .

Найдем координаты этих векторов:

Из последней пропорции получаем, что Z = 1 – 2Y. Тогда

Но при этих значениях неизвестных

Условие задачи выполнено.

Используйте определение скалярного произведения:

Используем свойства скалярного произведения:

По определению скалярного произведения

Сложим левые и правые части полученных равенств:

Даны векторы А = и B = . Найти скалярное произведение

Найдите координаты векторов 3А – B и A + 2B или используйте свойства скалярного произведения.

Используем свойства скалярного произведения:

Используйте формулу, выражающую косинус угла между векторами через их скалярное произведение.

Ответ: .

Координаты вектора B пропорциональны координатам А. Если K – коэффициент пропорциональности, то B = <2K; -2K; 3K>.

Координаты вектора B пропорциональны координатам А. Если K – коэффициент пропорциональности, то B = <2K; -2K; 3K>.

Известно, что |A| = 2, |B| = 7. Найти значения K, при которых векторы

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Ответ: K = .

Найти проекцию вектора А = на ось, образующую с координатными осями Ох и Оу углы 60о и 45о, а с осью Oz – тупой угол γ.

Используйте свойство направляющих косинусов:

Найдем cosγ: cos260o + cos245o + cos2γ = 1,

Тогда проекция А на заданную ось равна:

Видео:№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать

§ 31. Скалярное произведение векторов

§ 31. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное про­изведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов а, b обозначается символом аb (по­рядок записи сомножителей безразличен, т. е. аb = bа).

Если угол между векторами а, b обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой . (1)

Скалярное произведение векторов а, b можно выразить также формулой

, или

Из формулы (1) следует, что ab > 0, если — острый угол, ab

🔥 Видео

Применяя векторы, найти объем тетраэдра, А1(3, 5, 4) А2(8, 7, 4) А3(5, 10, 4) А4(4, 7, 8) пример 25Скачать

Базис системы векторов.Скачать

Нормализация вектора. Базисные вектора. Линейная комбинация.Разложение вектора по базису. Линал.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Вектора и их проекции на оси, все нужное за Х минутСкачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Действия над векторамиСкачать

Решение "базисной системы векторов" (2)Скачать

Смешанное произведение векторов.Взаимный базис.Ориентация вектора.Линейная алгебра для Data ScienceСкачать

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 классСкачать