Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Векторное произведение векторов

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:ТОПОВЫЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВСкачать

ТОПОВЫЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

  • он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
  • он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
    Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом
  • длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
    Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом
  • тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

  • Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом
  • Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
  • Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Видео:№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать

№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координаты

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

  1. Антикоммутативность
    Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом
  2. Свойство дистрибутивности
    Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом
Сочетательное свойство
Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Видео:ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Затем векторное произведение:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Вычислим его длину:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Видео:Вектора. Сложение векторовСкачать

Вектора. Сложение векторов

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Презентация по геометрии на тему » Сложение и вычитание векторов» ( 9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:№404. Даны векторы а {5; —1; 2}, b{-3; -1; 0}, c{0; -1; 0}, d (0; 0; 0). Запишите разложенияСкачать

№404. Даны векторы а {5; —1; 2}, b{-3; -1; 0}, c{0; -1; 0}, d (0; 0; 0). Запишите разложения

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Описание презентации по отдельным слайдам:

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Сложение и вычитание векторов

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Сложение векторов по правилу треугольника Даны векторы a и b. Если векторы a и b отложить последовательно друг за другом (начало вектора b попадает в конец вектора a), то вектор суммы c соединяет начало одного вектора с концом второго вектора c a b a+b=c Такой приём сложения векторов называется правилом треугольника.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Сложение векторов по правилу параллелограмма Даны векторы a и b. Если векторы a и b исходят из одной точки, то вектор суммы c исходит из общей начальной точки векторов и является диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы a и b d a c a+b=c. Такой приём сложения векторов называется правилом параллелограмма. Так как a+b=c; выполняя сложение по правилу треугольника, убедимся, что суммой остаётся тот же вектор c. Поэтому оба способа сложения равноценны. 1. Для любых двух векторов a и b в силе равенство a+b=b+a (коммутативный, или переместительный, закон сложения). 2. Для любых трёх векторов a, b, c в силе равенство (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативный, или сочетательный, закон сложения).

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Сложение нескольких векторов по правилу многоугольника Сумму нескольких векторов получаем так: складываем первый и второй вектор, затем к их сумме прибавляем третий вектор и т. д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Такой приём сложения нескольких векторов называется правилом многоугольника. a b c d e a+b+c+d+e

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Теория: Чтобы лучше понять закон вычитания векторов, нужно вспомнить свойство математических действий: сложения и вычитания. Если x+y=z, то x=z−y.Такое же свойство справедливо и для действий с векторами. Чтобы вычесть вектор b из вектора a, нужно найти такой вектор c, сумма которого с вектором b составляла бы вектор a Обрати внимание! Легче запомнить, как найти разность векторов a и b, следующим образом: 1) векторы нужно привести к общему началу A; 2) соединить конечные точки B и C; 3) отметить направление вектора разности от конечной точки уменьшителя к конечной точке уменьшаемого вектора.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Вспомним закон параллелограмма для сложения векторов. По этому закону вектор суммы двух векторов, лежащих на сторонах параллелограмма с общей вершиной, проходит по длинной диагонали параллелограмма. Очевидно, что вектор разности проходит по короткой диагонали параллелограмма. Заметим, что при вычитании вектора a из вектора b вектор разности d будет противоположен вектору c, то есть d=-c.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Тест Которое из данных изображений соответствует сложению векторов по правилу многоугольника?

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Даны векторы g и h. На каком из данных рисунков построена разность векторов g и h, т. е. вектор g−h?

Видео:РАЗБИРАЕМ ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ II 😊#shorts #математика #егэ #задачи #егэ2022 #огэ2022Скачать

РАЗБИРАЕМ ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ II 😊#shorts #математика #егэ #задачи  #егэ2022 #огэ2022

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Видео:➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?Скачать

➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

<table data-id="250" data-view-id="250_55602" data-title="Формулы сложения векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a + b = <ax + bx; ay + by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> «> a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> » data-order=» a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> «> a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Видео:Сложение векторов по правилу треугольника и по правилу параллелограмма. Геометрия 8-9 классСкачать

Сложение векторов по правилу треугольника и по правилу параллелограмма. Геометрия 8-9 класс

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Даны вектора a и b если их разместить последовательно друг за другом

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

<table data-id="251" data-view-id="251_83403" data-title="Формулы вычитания векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a — b = <ax — bx; ay — by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> «> a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> » data-order=» a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> «> a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn>

Видео:Вектор. Сложение и вычитание векторовСкачать

Вектор. Сложение и вычитание векторов

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

📽️ Видео

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

ВЕКТОРЫ: сложение и вычитание векторов, правило треугольника, законы сложения и разность векторовСкачать

ВЕКТОРЫ: сложение и вычитание векторов, правило треугольника, законы сложения и разность векторов

Построить разность векторов.Скачать

Построить разность векторов.

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

Векторы - это изи #математика #векторыСкачать

Векторы - это изи  #математика #векторы

Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

ВЕКТОРЫ. Контрольная № 4 Геометрия 9 класс.Скачать

ВЕКТОРЫ. Контрольная № 4 Геометрия 9 класс.

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: