Даны окружность и две точки в не ее (2 видео)

Даны окружность и две точки вне ее. Найдите на окружности точку,

Даны окружность и две точки вне ее. Найдите на окружности точку, равноудаленную от этих двух точек. Сколько решений может иметь задачка?
ПОМОГИТЕ ПЖ, ДАЮ 20 БАЛЛОВ

Никита
Геометрия 2019-09-29 20:41:01 4 1

Необходимо построить серединный перпендикуляр для отрезка с концами в этих 2-ух точках))) т.к. серединный перпендикуляр —это множество точек, равноудаленных от концов отрезка.

точки скрещения серединного перпендикуляра с окружностью и будут решением задачки (решений может быть два либо не быть вообще или одно решение —т.к. ровная с окружностью может пересекаться либо в двух точках либо в одной точке (касательная) или не пересекаться)))

Видео:№150. Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окр-тиСкачать

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Видео:№148. На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА отложите отрезок ВС так, чтобы ВС= 2АВ.Скачать

Экстремальные задачи по геометрии (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7

Задача 13. Каково наименьшее число кругов, которыми можно покрыть круг вдвое большего радиуса?

Решение. 7 кругов. Каждый маленький круг может покрыть дугу окружности большого круга, не большую чем 60. Поэтому для того, чтобы покрыть всю окружность большого круга потребуется не менее шести маленьких кругов. Для покрытия всего большого круга потребуется не менее семи кругов вдвое меньшего радиуса. На рисунке 7 приведен пример покрытия, состоящего ровно из семи кругов.

Задача 14. На данной прямой c найти точку C, из которой данный отрезок AB виден под наибольшим углом. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой c.

Решение. Рассмотрим окружность, проходящую через точки A, B и касающуюся прямой c в точке C. Эта точка C и будет искомой. Действительно, для любой другой точки C’ прямой c угол AC’B измеряется полуразностью дуг AB и A’B’ окружности (рис. 8) и, следовательно, меньше угла ACB.

Задача 15. Внутри окружности с центром O дана точка A, отличная от O. Найдите на окружности точку M, для которой угол AMO наибольший.

Решение. Пусть M – произвольная точка окружности, OK – перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую MA (рис. 9). В прямоугольном треугольнике KMO гипотенуза OM постоянна (равна радиусу), следовательно, угол AMO тем больше, чем больше катет OK. Поэтому угол OMA будет наибольшим, когда угол OAM – прямой.

В качестве самостоятельной работы предлагаем следующие задачи.

Задача 16. На данной прямой найдите точку, из которой данная окружность видна под наибольшим углом.

Задача 17. На данной окружности найдите точку, из которой данный отрезок виден под наибольшим углом.

Рассмотрим теперь одну из классических экстремальных задач – задачу Герона, имеющую многочисленные приложения

Задача 18. Дана прямая с и две точки А и В, не лежащие на этой прямой. Требуется найти такую точку С на прямой c, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей.

Решение. Рассмотрим сначала случай, когда точки A и B лежат по разные стороны от прямой c (рис. 10,а). Легко видеть, что в этом случае искомой точкой C является точка пересечения отрезка AB и прямой c. Для любой другой точки C’ прямой c будет выполняться неравенство AC + CB C1’C2’. Последнее неравенство выполняется, так как длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы. Следовательно, точки A и B являются искомыми точками,

для которых длина соответствующей ломаной наименьшая.

Задача 24. Внутри угла со сторонами a и b дана точка C. Требуется найти такие точки A и B на сторонах этого угла, чтобы периметр треугольника ABC был наименьшим.

Ясно, что эта задача получается из предыдущей, если положить C1 = C2 = C. Построение соответствующих точек A и B можно предложить учащимся в качестве самостоятельной работы. Решение показано на рисунке 13, в котором точки C’, C” симметричны точке C относительно прямых a, b соответственно.

Рассмотрим вопрос о том, в каком случае существует решение этой и предыдущей задач.

Дело в том, что прямая C’C” может не пересекать стороны угла. Выясним, в каких случаях это может происходить.

Обозначим через O вершину угла и соединим ее отрезками с точками C’, C” и C (рис. 14, а). Тогда C’OH’ = COH’, C”OH” = COH” и, следовательно, C’OC” = 2H’OH”.