Все правила остроугольного треугольника

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 251.

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 251.

В школьном курсе геометрии изучают разные виды треугольников. В задачах очень часто рассматривают остроугольный треугольник, поэтому стоит особенно пристально изучить свойства этой фигуры.

Определение понятия

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, и трех отрезков их соединяющих. В зависимости от углов треугольник может быть:

• Прямоугольным, если один из углов равен 90 градусов;
• Тупоугольный, если один из углов тупой, т.е. больше 90 градусов;
• Остроугольным, если все углы треугольника острые.

Для решения задач с остроугольными треугольниками часто приходится использовать теорему синусов или косинусов.

Еще в Древней Греции математики изучали треугольники. Именно греки разработали основы современной геометрии, куда входит и множество теорем о треугольниках. Например, автор теоремы Пифагора родом из Древней Греции.

Характеристики

В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90 градусов. Но сумма углов в треугольнике всегда равна 180. В любой фигуре вершины обозначают заглавными латинскими буквами.

Одним из элементов треугольника, вместе со сторонами и углами, является внешний угол. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника.

У любого треугольника 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Любой внешний угол остроугольного треугольника всегда будет тупым.

Линии остроугольного треугольника

Остроугольный треугольник обладает рядом свойств.

Медиана геометрической фигуры будет делить сторону, на которую она опущена, пополам. Причем можно провести этот отрезок с любой вершины. Медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1.

Рис. 1. Медианы в остроугольном треугольнике

Известно, что если провести три высоты в остроугольном треугольнике, то они будут пересекаться в одной точке, которую называют ортоцентром. Эти отрезки опускают под прямым углом к противоположным сторонам. Высоты в остроугольном треугольнике разделяют эту фигуру на прямоугольные треугольники.

Рис. 2. Высоты в остроугольном треугольнике

Биссектрисы в остроугольном треугольнике не только делят углы пополам. Эти отрезки пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.

Также биссектриса разделяет сторону остроугольного треугольника на две части, которые пропорциональны соответствующим боковым сторонам. Данное утверждение нужно запомнить, чтобы решать некоторые задачи.

Рис. 3. Биссектрисы в остроугольном треугольнике

Свойства

Если суммировать числовые значения любых двух сторон остроугольного треугольника, то обязательно получим цифру, которая будет больше третьего отрезка данной геометрической фигуры.

Средняя линия в остроугольном треугольнике параллельна одной из сторон данной фигуры и равна ее половине.

Что мы узнали?

В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90 градусов. Общая сумма углов здесь также равняется 180 градусов. Нельзя забывать о характерных линиях треугольника. Поскольку с их помощью легко вычислить стороны данной треугольной фигуры или центр определенной окружности. А если в условиях задач по геометрии указаны углы, то можно воспользоваться тригонометрическими функциями.

Остроугольный треугольник — виды, свойства и признаки

Одна из центральных тем на уроках геометрии – остроугольный треугольник, составная часть своих более сложных аналогов и иных тригонометрических форм.

Азы изучения точной науки начинаются с рассмотрения уникальной комбинации из трех сторон и острых углов.

Виды, признаки и свойства остроугольных треугольников

Трехсторонние фигуры разделяются на множество подвидов и категорий.

Общая классификация по наибольшему углу делит их на 3 группы:

Они располагают как общими для формы с тремя сторонами характеристиками, так и специфическими признаками.

3 угла, сумма которых равна 180°, (величина каждого меньше 90°) и 3 стороны;

сумма длин любых двух сторон больше оставшейся третьей.

Свойства остроугольной фигуры определяются вспомогательными геометрическими линиями, всегда находящимися внутри него:

1. Биссектрисы, делящие углы пополам, являются центром, вокруг которого можно нарисовать вписанную окружность.

2. Высоты пересекаются в одной точке, образуя ортоцентр.

3. Медианы в точке пересечения пролегают в пропорции 2:1 (2 трети до центра и 1 треть после).

Уникальные особенности зависят от разновидностей фигуры.

Равносторонний треугольник

«Идеальный» правильный треугольник, облегчающий решение задач. Определение, форма и свойства данной геометрической формы исходят из названия — все углы равны 60°, а стороны равны друг другу.

Полное равенство придает и другую особенность: медианы, биссектрисы и высоты полностью совпадают.

Разносторонний треугольник

Наиболее часто встречаемый на чертежах в геометрии вариант, один из самых трудноразрешимых видов. Разносторонними бывают и прямоугольные, и тупоугольные фигуры.

Уникальных отличий не имеет, только общие:

все параметры имеют разные значения;

совпадений между вспомогательными линиями нет.

Равнобедренный остроугольный треугольник

Здесь при основании (стороне, не равной остальным) находятся равные друг другу 2 стороны и 2 угла. Выглядит как вытянутый в одну сторону равносторонний треугольник.

проведенная к основанию линия – и биссектриса, и высота, и медиана;

вспомогательные линии из крайних точек при основании совпадают.

Равнобедренный тупоугольный треугольник

Пусть он и называется равнобедренным, но из-за наличия угла более 90° не является остроугольным и является представителем другой группы.

Начертить его сложнее (рисунок следует начинать с основания и 2 острых углов и уже после создавать тупой), но процесс решения и изучения прост.

Отличие у него одно – точка пересечения двух высот, проведенных от углов при основании, выходит за периметр треугольника. Чтобы ее обозначить, необходимо нарисовать «продолжения» равнобедренных линий. Все остальные свойства совпадают.

В ключевых и фундаментальных разделах математики именно треугольник является основой для доказательства многих теорем и помощью в решении множества задач. Твердое знание его свойств откроет путь к успехам в расчетах, вычислениях, оформлении чертежей и фото в проектных работах.

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.

Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Для инженера это еще и единственная «жесткая» плоская фигура на свете.

Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.

Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике..

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

(по числу равных сторон)

(по соотношению сторон)

Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).

Рассмотрим рис. ниже.

Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.

Угол Θ — называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ

(а+с+b) — периметр треугольника.

Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)

Сумма углов треугольника равна 180 ° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).

Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

• a b – c;
• b a – c;
• c a – b.

Треугольник Обозначения в треугольнике Виды треугольников Основные свойства треугольников Конгруэнтные (равные) треугольники Признаки равенства треугольников Признаки равенства прямоугольных треугольников Подобные треугольники Признаки подобия треугольников Свойства подобных треугольников

Подобие в прямоугольных треугольниках Теорема Пифагора Теорема синусов Теорема косинусов Медиана Биссектриса Высота треугольника Срединный перпендикуляр Средняя линия треугольника Формулы площади треугольника, в т.ч. Герона Окружности вписанные в треугольники и описанные вокруг треугольников.

Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.

Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

1. Гипотенуза и острый угол.
2. Катет и противолежащий угол.
3. Катет и прилежащий угол.
4. Два катета.
5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.

Признаки подобия треугольников:

1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.

2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC 2 =AB 2 +AC 2 см. рис. выше.

Теоремы синусов и косинусов.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Основные линии треугольника.

Медиана.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан треугольника.

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрисы угла треугольника

1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на рис. выше AE:CE = AB:BC
2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Свойства высот треугольника

1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Свойства срединных перпендикуляров треугольника.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы площади треугольника

1.Произвольный треугольник — формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; h_a — высота, проведенная к стороне a.

1. S=(1/2)*(a* h_a) — по стороне и высоте.
2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
3. — по длинам сторон — формула площади Герона
4. S=p*r — через периметр и радиус вписанной окружности
5. S=(a*b*c) / (4R) — через длины сторон и радиус описанной оружности

Прямоугольный треугольник — площадь

a, b — катеты; c — гипотенуза; h_c — высота, проведенная к стороне c.

Равносторонний (правильный) треугольник — площадь

Примечание — в прямоугольном треугольнике:

— Синус α — это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

— Косинус α — это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

— Тангенс α — это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)

— Котангенс α — это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)