Даны два вектора a 2p 3q и b p 2q (6 видео) | Курс школьной геометрии

Даны два вектора a 2p 3q и b p 2q

Решение. Векторы a, b коллинеарны в том и только том случае, когда существует число λ: a = λb. В координатной записи: (ax,ay, az) = . Другими словами, координаты должны быть пропорциональны: . В нашем упражнении: . Отсюда находим: p = -3, q = -6.

6. Найти скалярное произведение векторов 5 a — 2 b и a + 3 b, если известно:

Решение. Пользуемся свойствами скалярного произведения:

(5a — 2 b, a + 3b) = (5a, a) + (5a, 3 b) + (-2b, a) + (-2 b, 3 b) = = 5(a, a) + 15(a, b) — 2( b, a) — 6(b, b) = 5(a, a) + 13(a, b) — 6(b, b).

Подставляя в полученное выше выражение, находим:

7. Найти косинус угла φ между векторами p = a + 2b, q = a — 3b, если известно, что |a| = 3, | b| = 2, а векторы a, b перпендикулярны.

Решение. Вычислим скалярное произведение (p, q), учитывая, что (a, b) = 0:

Содержание

Даны два вектора a 2p 3q и b p 2q
Векторное произведение векторов онлайн
Предупреждение
Векторное произведение векторов
Геометрические свойства векторного произведения векторов
Векторное произведение векторов в декартовых координатах
Векторное произведение векторов на примерах
🎬 Видео

Видео:№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать

Даны два вектора a 2p 3q и b p 2q

Решение:
В дальнейшем пригодится скалярное произведение p»q» = |p»|*|q»|*cosa = 1*3*(-2/3) = — 2.

Пригодится и иллюстрация: p» и q» образуют тупой угол, cos которого равен (-2/3). Достроив до параллелограмма, соседний ( острый) угол имеет cos, равный 2/3. Теперь из геометрических соображений можно посчитать модули векторов a» и b».

Используя теорему косинусов: (для модулей)

a^2 = (3p)^2 + q^2 + 2*3p*q*2/3 = 9 + 9 + 12 = 30, |a| = кор30.

b^2 = (xp)^2 + (2q)^2 — 2*xp*2q*2/3 = x^2 — 8x + 36. |b| = кор(x^2 — 8x + 36)

Теперь мы подготовлены, чтобы составить скалярное произведение векторов a» и b».

a»b» = (3p-q)(xp+2q) = 3xp^2 — 2q^2 + qp(6-x) = 3x — 18 -2(6-x) = 5x — 30. (1)

С другой стороны:

= ( кор30)*кор(x^2 — 8x + 36)*(-11кор3030)/606) (2)

Видео:Предсказания на егэ 2024Скачать

Векторное произведение векторов онлайн

Данный онлайн калькулятор вычисляет векторное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления векторного произведения векторов введите координаты векторов в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:№925. Даны векторы а {2; 4}, b {-2; 0}, с {0; 0}, d {-2; -3}, е {2; -3}, fСкачать

Векторное произведение векторов

Прежде, чем перейти к определению векторного произведения векторов, рассмотрим понятия упорядоченная тройка векторов, левая тройка векторов, правая тройка векторов.

Определение 1. Три вектора называются упорядоченой тройкой (или тройкой ), если указано, какой из этих векторов первый, какой второй и какой третьий.

Запись cba — означает — первым является вектор c, вторым является вектор b и третьим является вектор a.

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, эти векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой(левой) руки.

Определение 2 можно формулировать и по другому.

Определение 2′. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Тройка векторов abc, изображенная на рис. 1, является правой, а тройка abc изображенная на рис. 2, является левой.

Если две тройки векторов являются правыми либо левыми, то говорят, что они одной ориентации. В противном случае говорят, что они противоположной ориентации.

Определение 3. Декартовая или афинная система координат называется правой ( левой ), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Определение 4. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом c=[ab] (или c=[a,b], или c=a×b) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

длина вектора с равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ; (1)
вектор с ортогонален к каждому из векторов a и b;
вектор c направлен так, что тройка abc является правой.

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

[ab]=−[ba] ( антиперестановочность сомножителей);
[(λa)b]=λ[ab] ( сочетательность относительно числового множителя);
[(a+b)c]=[ac]+[bc] ( распределительность относительно суммы векторов);
[aa]=0 для любого вектора a.

Видео:№412. Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам: i, j, k, а {2; 0; 0}, b { — 3Скачать

Геометрические свойства векторного произведения векторов

Теорема 1. Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a и b коллинеарны. Тогда угол между ними 0 или 180° и sinφ=sin180=sin 0=0. Следовательно, учитывая выражение (1), длина вектора c равна нулю. Тогда c нулевой вектор.

Достаточность. Пусть векторное произведение векторов a и b навно нулю: [ab]=0. Докажем, что векторы a и b коллинеарны. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то эти векторы коллинеарны (т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать коллинеарным любому вектору).

Если же оба вектора a и b ненулевые, то |a|>0, |b|>0. Тогда из [ab]=0 и из (1) вытекает, что sinφ=0. Следовательно векторы a и b коллинеарны.

Теорема 2. Длина (модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

Доказательство. Как известно, площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними. Следовательно:

S=|[ab]|=|a||b|sinφ.

(2)

Видео:№407. Даны векторы а {3; —5; 2}, b{0; 7; —1}, с {⅔; 0; 0;} и d{ — 2,7; 3,1; 0,5}. НайдитеСкачать

Векторное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 3. Пусть два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a=<x₁, y₁, z₁>, b=<x₂, y₂, z₂>.

Тогда векторное произведение этих векторов имеет вид:

[ab]=<y₁z₂—y₂z₁, z₁x₂−z₂x₁, x₁y₂−x₂y₁>.

(3)

Для запоминания формулы (3) удобно представить векторное произведение векторов в виде определителя:

Раскрывая определитель по элементам первой строки мы получим разложение вектора a×b по базису i, j, k, которое эквивалентно формуле (3).

Доказательство теоремы 3. Составим все возможные пары из базисных векторов i, j, k и посчитаем их векторное произведение. Надо учитывать, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину (иными словами можно предполагать, что i=, j=, k=). Тогда имеем:

(4)

Из последнего равенства и соотношений (4), получим:

которая эквивалентна равенству (3).

Видео:№928. Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; -1}, е {2; 4}.Скачать

Векторное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти векторное произведение векторов [ab], где

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:

Пример 2. Найти векторное произведение векторов [ab], где вектор a представлен двумя точками. Начальная точка вектора a: , конечная точка вектора a: , вектор b имеет вид .