Дано скалярное поле найти поле градиентов и вектор в точке (4 видео)

Векторный анализ

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле данной величины. Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярна, т.е. вполне характеризуется своим числовым значением. Например, поле температур.

Содержание

Скалярное поле
Векторный анализ
Элементы теории поля и векторного анализа (стр. 1 )
Элементы теории поля и векторного анализа
Введение
1. Дифференцирование полей
1.1 Производная функции (скалярного поля) по направлению вектора
1.2 Градиент функции (скалярного поля)
🎦 Видео

Скалярное поле

Скалярное поле задается скалярной функцией точки и = /(М). Если в пространстве введена декартова с истема координат, то и есть функция трех переменных х, yt z — координат точки М: Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек, в которых функция f(M) принимает одно и то же значение. Уравнение поверхности уровня Пример 1. Найти поверхности уровня скалярного поля ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Скалярное поле Поверхности и линии уровня Производная по направлению.

Производная Градиент скалярного поля Основные свойства градиента Инвариантное определение градиента Правила вычисления градиента -4 Согласно определению уравнением поверхности уровня будет . Это уравнение сферы (с Ф 0) с центром в начале координат. Скалярное поле называется плоским, если во всех плоскостях, параллельных некоторой плоскости, поле одно и то же.

Если указанную плоскость принять за плоскость хОу, то функция поля не будет зависеть от координаты z, т. е. будет функцией только аргументов х и у, Плоское поле можно характеризовать помощьюлиний уровня — множестваточек плоскости, в которых функция /(ж, у) имеетодно и тоже значение. Уравнение линии уровня — Пример 2.

Найти линии уровня скалярного поля Линии уровня задаются уравнениями При с = 0 получаем пару прямых получаем семейство гипербол (рис. 1). 1.1. Производная по направлению Пусть имеется скалярное поле, определяемое скалярной функцией и = /(Af). Возьмем точку Afo и выберем направление, определяемое вектором I. Возьмем другую точку М так, чтобы вектор М0М был параллелен вектору 1 (рис. 2). Обозначим длину вектора МоМ через А/, а приращение функции /(Af) — /(Afo), соответствующее перемещению Д1, через Ди.

Отношение определяет среднюю скорость изменения скалярного поля на единицу длины поданному направлению Пусть теперь стремится к нулю так, чтобы вектор М0М все время оставался параллельным вектору I. Определение. Если при Д/ О существует конечный предел отношения (5), то его называют производной функции в данной точке Afo поданному направлению I и обозначают символом зг!^ . Так что, по определению, Это определение не связано с выбором системы координат, т. е. носит**вариантный характер.

Найдем выражение для производной по направлению в декартовой системе координат. Пусть функция / дифференцируема в точке . Рассмотрим значение /(Af) в точке . Тогда полное приращение функции можно записать в следующем виде: где а символы означают, что частные производные вычислены в точке Afo. Отсюда Здесь величины jfi, , ^ суть направляющие косинусы вектора . Так как векторы МоМ и I сонаправлены , то их направляющие косинусы одинаковы:

Так как M Afo, осгавая сь все время на прямой, параллельной вектору 1, то углы постоянные потому Окончательно из равенств (7) и (8) получаем Эамуан ис 1. Частные производные , являются производными функции и по направлениям координатныхосей ссчлвешне нно- Пример 3. Найти производную функции по направлению к точке Вектор имеет длину .

Его направляющие косинусы: По формуле (9) будем иметь Тот факт, что , означает, что скалярное поле в точке в данном направлении возраста- Для плоского поля производная по направлению I в точке вычисляется по формуле где а — угол, образованный вектором I с осью Ох. Зммчмм 2. Формула (9) для вычисления производной по направлению I в данной точке Afo остается в силе и тогда, когда точка М стремится к точке Мо по кривой, для которой вектор I является касательным в точке ПрИШр 4.

Вычислить производную скалярного поля в точке Afo(l, 1). принадлежащей параболе по направлению этой кривой (в направлении возрастания абсциссы). Направлением ] параболы в точке считается направление касательной к параболе в этой точке (рис.3). Пусть касательная к параболе в точке Afo образует с осью Ох угол о.

Тогда откуда направляющие косинусы касательной Вычислим значения и в точке . Имеем Теперь по формуле (10) получаем.

Найти производную скалярного поля в точке по направлению окружности Векторное уравнение окружности имеет вид . Находим единичный вектор т касательной к окружности Точке соответствует значение параметра Значение г в точке Afo будет равно Отсюда получаем направляющие косинусы касательной к окружности в точке Вычислим значения частных производных данного скалярного поля в точке Значит, искомая производная .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Градиент скалярного поля Пусть скалярное поле определяется скалярной функцией которая предполагается дифференцируемой. Определение. Градиентом скалярного поля » в данной точке М называется вектор, обозначаемый символом grad и и определяемый равенством Ясно, что этот вектор зависиткак от функции /, так и отточки М, в которой вычисляется ее производная.

Пусгь 1 — единичный вектор в направлении Тогда формулу дл я производной по направлению можно записать в следующем виде: . тем самым производная от функ ии и по направлению 1 равна скалярному произведению градиента функ ии и(М) на орт 1° направления I. 2.1. Основные свойства градиента Теорема 1.

Градиент скалярного поля перпендикулярен к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское). (2) Проведем через произвольную точку М поверхность уровня и = const и выберем на этой поверхности гладкую кривую L, проходящую через точку М (рис. 4). Пусть I — векгор, касательный к кривой L в точке М. Так как на поверхности уровня и(М) = и(М|) для любой точки Мj е L, то С другой стороны, = (gradu, 1°). Поэтому .

Это означает, что векторы grad и и 1° ортогональны, Итак, векгор grad и ортогонален к любой касательной к поверхности уровня в точке М. Тем самым он ортогонален к самой поверхности уровня в точке М. Теорема 2. Градиент направлен в сторону возрастания функции поля. Ранее мы доказали, что градиент скалярного поля направлен по нормали к поверхности уровня, которая может быть ориентирована либо в сторону возрастания функции и(М), либо в сторону ее убывания.

Векторный анализ

Обозначим через п нормальк поверхности уровня, ориентированную в сторону возрастания функции ti(M), и найдем производную функции и в направлении этой нормали (рис. 5). Имеем Так как по условию рис.5 и поэтому ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Скалярное поле Поверхности и линии уровня Производная по направлению Производная Градиент скалярного поля Основные свойства градиента Инвариантное определение градиента Правила вычисления градиента Отсюда следует, что grad и направлен в ту же сторону, что и выбранная нами нормаль п, т. е. в сторону возрастания функции и(М).

Теорема 3. Длина градиента равна наибольшей производной по направлению в данной точке поля, (здесь шах $ берется по всевозможным направлениям в данной точке М паю). Имеем где — угол между векторами 1 и grad п. Так как наибольшее значени Пример 1. Найти направление наибольшего иэмонония скалярного поля в точке а также величину этого наибольшего изменения в указанной точке. Направление наибольшего изменения скалярного поля указывается вектором .

Имеем так что Этот вектор определяет направление наибольшего возрастания поля в точко . Величина наибольшого изменения поля в этой точке равна 2.2. Инвариантное определение градиента Величины, характеризующие свойства изучаемого объекта и не зависящие от выбора системы координат, называются инвариантами данного объекта.

Например, длина кривой — инвариант этой кривой, а угол касательной к кривой с осью Ох — не инвариант. Основываясь на доказанных выше трех свойствах градиента скалярного поля, можно дать следующее инвариантное определение градиента. Определение. Градиент скалярного поля есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции поля и имеющий длину, равную наибольшей производной по направлению (в данной точке).

Пусть — единичный вектор

нормали, направленный в сторону возрастания поля. Тогда Пример 2. Найти градиент расстояния — некоторая фиксированная точка, a M(x,y,z) — текущая. 4 Имеем где — единичный вектор направления . Правила вычисления градиента где с — постоянное число. Приведенные формулы получаются непосредственно из определения градиента и свойств производных.

По правилу дифференцирования произведения Доказательство аналогично доказательству свойства Пусть F(и) — дифференцируемая скалярная функция. Тогда 4 По определению фадиента имеем Применим ко всем слагаемым правой части правило дифференцирования сложной функции. Получим В частности, Формула (6) следует из формулы Пример 3. Майти производную по направлению радиус-воктора г от функции По формуле (3) а по формуле В результате получим, что Пример 4.

Пусть дано плоское скалярное поле — расстояния от некоторой точки плоскости до двух фиксированных точек этой плоскости. Рассмотрим произвольный эллипс с фокусами Fj и F] и докажем, что всякий луч свота, вышедший из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса попадает в другой его фокус. Линии уровня функции (7) суть ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Скалярное поле Поверхности и линии уровня Производная по направлению.

Производная Градиент скалярного поля Основные свойства градиента Инвариантное определение градиента Правила вычисления градиента Уравнения (8) описывают семейство эллипсов с фокусами в точках F) и Fj. Согласно результату примера 2 имеем Тем самым градиент заданного поля равен вектору PQ диагонали ромба, построенного на ортах г? и радиус-векторов. проведенных к точке Р(х, у) из фокусов F| и Fj, и значит, лежит на биссектрисе угла можду этими радиус-векторами (рис. 6).

По тооромо 1 градиент PQ перпендикулярен к эллипсу (8) в точке. Следова- Рис.6 тельно. нормаль к эллипсу (8) в любой ого точке делит пополам угол между радиус-векторами, проведенными в эту точку. Отсюда и из того, что угол падения равон углу отражения, получаем: луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, отразившись от него, непременно попадает в другой фокус этого эллипса.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:ВМ. 9.5 Производная в точке по направлению вектора.Скачать

Элементы теории поля и векторного анализа (стр. 1 )

Дано скалярное поле найти поле градиентов и вектор в точке

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8

Видео:СП 1 Градиент скалярного поля. Производная по направлениюСкачать

Элементы теории поля и векторного анализа

Видео:10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.Скачать

Введение

При рассмотрении различных физических явлений мы часто встречаемся с понятием поле. Поле – это величина, зависящая от положения в пространстве. Различают скалярные и векторные поля. Напомним, что скаляр – это величина, которая характеризуется только ее значением, а вектор определяется его значением и направлением. Например, температура, плотность, энергия – скалярные величины, скорость, сила – векторные.

Скалярное поле – это поле, которое в каждой точке пространства характеризуется числом (скаляром). Скалярное поле образуют скалярные величины f(x, y,z), зависящие от положения точки в пространстве, то есть это обычная функция трех переменных. Например, скалярным полем является температура неоднородно нагретого тела, температура которого меняется от точки к точке. Поскольку функцию трех переменных невозможно изобразить в трехмерном пространстве, то для наглядного представления скалярного поля часто используют понятие поверхности уровня скалярного поля. Поверхности уровня проходят через точки с одинаковыми значениями поля, их уравнения имеют вид: f(x, y,z)=C=const. Ясно, что никакие две поверхности уровня f(x, y,z)=C1 и f(x, y,z)=C2 для однозначных функций f(x, y,z) и для C1 ≠ C2 не имеют общих точек. Такой способ изображения скалярных полей особенно удобен, когда мы имеем дело с полем, заданным не в пространственной области, а в плоской, которое описывается функцией двух переменных f(x, y). В этом случае уравнение f(x, y)=C=const определяет кривую на плоскости, которую называют линией уровня плоского скалярного поля. С их помощью изображают, например, рельеф местности на географических картах: каждая линия соединяет точки, имеющие одну и ту же высоту над уровнем моря. Для некоторых поверхностей или линий уровня используют специальные названия: изотермы, изобары, эквипотенциальные поверхности и т. д..

Векторное поле — это поле, которое в каждой точке пространства характеризуется вектором , меняющимся от точки к точке. Другими словами, в каждой точке пространства заданы три функции трех переменных. Примером векторного поля может служить поле скоростей в текущей жидкости. В каждой точке жидкости значение скорости и ее направление может меняться. Для наглядного представления векторного поля используется понятие векторной линии векторного поля. Векторной линией поля называется такая кривая, в каждой точке которой касательная имеет направление вектора . Ясно, что через каждую точку для однозначных функций может пройти только одна векторная линия. В противном случае в точке пересечения векторных линий вектор поля имел бы направления в различные стороны. Сведения о длинах векторов в векторной линии поля утеряны, но их можно сохранить, если в местах, где поле мало, векторные линии провести пореже, а где велико – погуще.

Далее мы рассмотрим операции дифференцирования и интегрирования для скалярных и векторных полей.

Видео:Градиент в точке.Скачать

1. Дифференцирование полей

1.1 Производная функции (скалярного поля) по направлению вектора

Рассмотрим скалярное поле f(x, y,z) = f(M), где. M = M(x, y,z) – произвольная точка. Через точку M проведем прямую l с направляющим вектором q единичной длины. Известно, что q = cosα i+ cosβ j+ cosγ k, где cosα , cosβ j, cosγ ,– направляющие косинусы прямой; i, j, k –орты прямоугольной системы координат

. Выберем на прямой точку M1. Пусть r(M) и r(M1)– радиус-векторы точек M и M1 соответственно. Из рисунка видно, что MM1 = r(M1 ) – r(M). Ясно, что MM1 = τq, где τ — некоторое число. Составим отношение:

Пусть M1 → M, то есть τ→0.

Определение Предел отношения

называется производной функции (скалярного поля) f(x, y,z) в точке M по направлению l и обозначается .

Покажем, что такие производные можно вычислять по формуле:

(1.1)

Мы знаем, что приближенно для малых приращений аргументов Δx, Δy, Δz прирашение функции Δf = f(M1) — f(M) имеет вид:

, (1.2)

где .Поскольку , ,, то, подставляя эти соотношения в определение, получаем:

, что и требовалось доказать.

Таким образом, производная функции по направлению характеризует скорость изменения данной функции в этом направлении. Отметим, что понятие производной по направлению есть обобщение понятий частных производных. Например, — это производная по направлению вектора i (оси x).

1.2 Градиент функции (скалярного поля)

Вспомним, что нормаль к поверхности f(x, y,z) = C (поверхности уровня) в точке M– это прямая, направляющий вектор которой .С помощью данного вектора формулу (1.1) можно записать в виде: скалярного произведения, где, q, как и ранее, единичный направляющий вектор прямой l. Вектор n называется градиентом функции f в точке M и обозначается grad f(M).

Определение Градиентом функции (скалярного поля) в точке M называется вектор с координатами то есть:

(1.3)

Используя это определение, (1.1) можно представить в виде:

(1.4)

Таким образом, производная функции по заданному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления.

Представим (1.1) в виде:

, (1.5)

где φ угол между векторами grad f(M) и q.

Из соотношения (1.5) видно, что принимает наибольшее значение, если cosφ = 1, то есть φ =0 и, следовательно, направления векторов grad f(M) и q совпадают. Таким образом, направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке. Принимая во внимание этот результат, можно дать другое определение градиента функции, независящее от выбора системы координат.

Определение Градиентом функции (скалярного поля) в точке M называется вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции и имеющий длину, равную производной функции в данной точке по направлению упомянутой нормали.

Градиент скалярного поля играет важную роль в физике. Например, сила F, действующая на частицу со стороны гравитационного или электростатического поля имеет вид: F = -α grad φ, где α — некоторая константа, зависящая от выбора системы единиц. Функция φ в физике называется потенциалом соответствующего поля.

Дадим строгое математическое определение потенциала.

Определение Векторное поле A(x, y,z) называется потенциальным, если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля: A = grad φ. Само скалярное поле φ при этом называется потенциалом векторного поля A. В дальнейшем мы более подробно рассмотрим свойства потенциальных векторных полей.

Градиент функции обладает свойствами обычного дифференцирования. Например,

grad(λφ) = λ grad φ; (1.6)

grad (ϕφ) = ϕgrad φ.+ φgrad ϕ., (1.7)

где λ = const; φ и ϕ произвольные дифференцируемые функции. Эти соотношения следуют из определения градиента (1.3).

Пример 1.1 Найти , где – r длина радиус-вектора r, .

Аналогично, , . Следовательно,

Используя это выражение, получаем известную из электростатики формулу. Напряженность электрического поля E, создаваемого точечным электрическим зарядом Q, расположенным в начале координат, имеет вид: