Дан прямоугольный параллелепипед abcda1b1c1d1 через прямую bd1 проведена плоскость a параллельная ас (2 видео)

Содержание

Дан прямоугольный параллелепипед abcda1b1c1d1 через прямую bd1 проведена плоскость a параллельная ас
Урок геометрии по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости». 10-й класс
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью а, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб?
ПОЖАЛУЙСТАпостройте сечение параллелепипеда плоскостью проходящей через точки E и F и параллельной прямой а?
Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадрат ABCD?
Докажите что если две параллельные плоскости пересекаются третьей то прямые параллельны?
Дан ромб ABCD прямые AK и ND перпендикулярны к плоскости ромба ABCD доказать что треугольник KAC прямоугольный?
1) Угол C треугольника MPC — прямой?
Изобразите параллелепипед авсда1в1с1д1 и отметьте внутреннюю точку грани аа1в1в?
Каково расположение прямых а и b, если а перпендикулярна к плоскости (ABCD), а прямая b параллельна этой плоскости?
Угол прямой линии с плоскостью?
Какое из утверждений неверно?
В ромбе ABCD угол A равен 60 градусов, сторона ромба равна 4см?
🎥 Видео

Видео:№76. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC||A1C1 и BD||B1D1.Скачать

Дан прямоугольный параллелепипед abcda1b1c1d1 через прямую bd1 проведена плоскость a параллельная ас

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC₁, если AA₁ = 6, AB = 4.

Плоскость проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость пересекает плоскость основания по прямой, содержащей точку В и параллельной АС. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC основания в точках E и F соответственно. Тогда пересекает плоскость боковых граней по прямым D₁E и D₁F. Пусть M и N — точки пересечения этих прямых с боковыми ребрами параллелепипеда, тогда BMD₁N — сечение параллелепипеда плоскостью

Поскольку плоскость сечения проходит через прямую EF, параллельную плоскости ACC₁A₁ и пересекает её по прямой MN, прямая MN параллельна EF, а значит, параллельна AC.

По условию, сечение является ромбом, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому и По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D₁B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.

Приведем другое рассуждение. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому MN проходит через середину D₁B. Кроме того, прямая MN параллельна прямой AC, а значит, и прямой EF. Из этого следует, что MN — средняя линия треугольника ED₁F, а тогда точки M и N — середины рёбер параллелепипеда. Прямоугольные треугольники ABM и равны по гипотенузе и катету: Значит, а ABCD является квадратом.

б) Пусть K — середина ребра BB₁ а KH — высота треугольника BKN. Тогда плоскость MKH перпендикулярна прямой BN. Значит, угол MHK — линейный угол искомого двугранного угла. (Или: проведём перпендикуляры MK и KH, по теореме о трёх перпендикулярах MH — также перпендикуляр к BN, поэтому MHK — линейный угол искомого двугранного угла).

В прямоугольном треугольнике BKN имеем:

Иначе. Сечение является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: Проекцией ромба сечения на боковую грань ВСС₁В₁ является параллелограмм ВKС₁N, площадь которого равна половине площади прямоугольника ВСС₁В₁ то есть 12. Поскольку для искомого угла между плоскостями получаем:

Ответ: или

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Урок геометрии по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели:

закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;
вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

План:

Теоретический опрос.
1. Доказательство изученных теорем у доски.
2. Фронтальный опрос.
3. Презентации учащихся по данной теме.
Решение задач.
1. Решение устных задач по готовым чертежам.
2. Решение письменных задач (по группам).
3. Самостоятельная работа с индивидуальным заданием.
Итог урока. Задание на дом.

Ход урока

I. Теоретический опрос (4 ученика у доски)

1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей;
2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости;
3) доказать обратную теорему о параллельности 2-ух прямых, перпендикулярных к плоскости;
4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Пока ученики готовятся у доски к ответу, с классом проводится фронтальный опрос.
(С помощью мультимедиапроектора на экране появляются вопросы (Приложение 1), и ученики отвечают на них)

1. Закончить предложение:

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)

2. Дан параллелепипед

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC₁ и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)
2) прямой D₁C₁ и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)

Далее выслушиваются ответы учеников у доски с дополнениями и исправлениями по необходимости. Затем рассматриваются презентации по данной теме, подготовленные рядом учеников в качестве зачётных работ (Приложение 2, Приложение 3, Приложение 4).
(Накануне изучения каждой темы учащимся предлагается такой вариант зачёта)

II. Решение задач.

1. Решение задач по готовым чертежам (Устно)

№1

Дано: ∆ ABC — прямоугольный; AM ⊥ AC; M ∉ (ABC)
Доказать: AC ⊥ (AMB)
Доказательство: Т.к. AC ⊥ AB и AC ⊥ AM, а AM ⋂ AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

№2

Дано: ВМDC — прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ AB
Доказать: CD ⊥ (ABC)
Доказательство: MB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е. ВС и АВ лежат в плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВ по свойству сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
Ч.т.д.

№3

Дано: АВСD – прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ BC
Доказать: AD ⊥ AM
Доказательство:
1) ∠ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник ⇒ BC ⊥ AB, BS ⊥ MB по условию, MB ⋂ AB = B, т.е. МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ) ⇒ BC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) BC ∥ AD (по свойству сторон прямоугольника) ⇒ AD ⊥ (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
3) Т.к. AD ⊥ (AMB) ⇒ AD ⊥ AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
Ч.т.д.

№4

Дано: АВСD – параллелограмм, M ∉ (ABC), МВ = МD, МА = МС
Доказать: MO ⊥ (ABC)
Доказательство:
1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD — равнобедренный, т. к. ВМ = МD по условию, значит МО — медиана и высота, т.е. MO ⊥ BD.
2) Аналогично доказывается в ∆ AMC: MO ⊥ AC.
3) Итак, MO ⊥ BD и MO ⊥ AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС) ⇒ MO ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки применяемых теорем)

2. Решение письменных задач

Класс делится на три группы (например, по рядам), и каждой группе даётся задача с последующей проверкой решения у доски.

№1.2 (№125 учебника)

Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P₁ и Q₁. Найдите P₁Q₁, если PQ = 15 cм; PP₁ = 21,5 cм; QQ₁ = 33,5 cм.
Решение:

1) PP₁ ⊥ α и QQ₁ ⊥ α по условию ⇒ PP₁ ∥ QQ₁ (обосновать);
2) PP₁ и QQ₁ определяют некоторую плоскость β, α ⋂ β = P₁Q₁;
3) PP₁Q₁Q — трапеция с основаниями PP₁ и QQ₁, проведём PK ∥ P₁Q₁;
4) QK = 33,5 — 21,5 = 12 (см)

P₁Q₁ = PK =

Дан прямоугольный параллелепипед abcda1b1c1d1 через прямую bd1 проведена плоскость a параллельная ас

= 9 см.

№2.2

1) ∆ ABD: ∠BAD = 90°; АD = BC = 8 см;

ВD =

см;

2) ∆ DD₁B: ∠D₁DB = 90°;

DD₁ =

= 12 см;

3) S_BB1D1D = BD ∙ DD₁ =

см 2 .

Ответ:

см 2 .

№3.2

Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
Решение:

1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ ∥ НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP;
2)МЕ ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°;

3) ∆ HPK: KP =

= 3 см;

4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),

тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и

; т.е.

⇒ EK =

= 9 см,

РЕ = РК + КЕ, РЕ = 3 + 9 = 12 см.

Ответ: РЕ = 12 см.

3. Самостоятельная работа (направлена на проверку усвоения материала по данной теме)

1) AA₁ ⊥ AB, AA₁ ⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA₁ ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA₁ ∥ BB₁, то BB₁ ⊥ (ABC) ⇒ BB₁ ⊥ BD;
2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора:

Вариант I	Вариант II
Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA₁ ⊥ AB, AA₁ ⊥ AD. Найдите B₁B, если B₁D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.	Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB₁ ⊥ BC, BB₁ ⊥ AB. Найдите A₁A, если A₁C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.

BD =

= 20 см;

3) ∆ B₁BD – прямоугольный. По теореме Пифагора:

B₁B =

= 15 см.

1) BB₁ ⊥ AB, BB₁ ⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB₁ ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB₁ ∥ AA₁, то AA₁ ⊥ (ABC) ⇒ AA₁ ⊥ AC;
2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆ AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора:

AO =

= 6 см,

AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см;
3) ∆ A₁AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:

AA₁ =

= 5 см.

Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III)

1) Т.к. CD ⊥ (FDC) ⇒ CD ⊥ AC и CD ⊥ BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные;
2) ∆ ADC = ∆ BDC (по двум катетам) ⇒ AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота; 3) DC ⊥ MC ⇒ MCD – прямоугольный,

тогда MC =

= 9;

4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, ∠B = 60°,

sin ∠B =

, тогда

а АВ = ВС (по условию).
5) S_{∆ ADB} = ½ DM ∙ AB;

S_{∆ ADB} = ½ ∙ 15 ∙

Ответ:

III. Подводятся итоги урока. Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной теме, глава II, №130, №131.

Для подготовки к уроку использовались материалы учебника «Геометрия – 10-11» авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др., методические рекомендации к учебнику «Изучение геометрии в 10-11 классах» авторов С.М. Саакяна, В.Ф. Бутузова, «Поурочные разработки по геометрии» автора В.А. Яровенко.

Видео:№195. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда AD1, если АС1 = 12 см и диагональ BD1Скачать

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью а, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб?

Математика | 10 — 11 классы

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью а, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб.

А) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

Б) Найдите угол между плоскостями а и ВСС1, если АА1 = 6, АВ = 4.

А) Обозначим середины ребер aa1 и сс1‚через М и Н соответственно.

Прямая MN параллельна прямой АС и проходит через середину диагонали BD1.

Значит, сечение паралл — да плос — ю a это ромб BMD1N.

Прямоугольные треугольники АВМ и A1D1M равны, поскольку AM = MA1 и BM = D1M.

Значит, AB = A1D1 = AD, а ABCD квадрат

б) Пусть К — середина ребра ВВ1‚ а КН—высота треугольника BKN.

Тогда плоскость МКН перпендикулярна пряной BN.

Значит, угол MNK — линейный угол искомого двугранного угла.

В прямоугольном треуг.

BKN : BN = корень(BK * BK + KN * KN) = 5, HK = (BK * KN) / BN = 12 / 5тогда тангенс MNK = MK / KH = 5 / 3

Ответ : угол равен arctg(5 / 3).

Видео:№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

ПОЖАЛУЙСТАпостройте сечение параллелепипеда плоскостью проходящей через точки E и F и параллельной прямой а?

постройте сечение параллелепипеда плоскостью проходящей через точки E и F и параллельной прямой а.

Видео:10 класс, 24 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать

Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадрат ABCD?

Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадрат ABCD.

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра A1B1 и параллельной прямым DD1 и AC.

Вычислите площадь сечения, если AB = 10 см, AA1 = 3√2 см.

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Докажите что если две параллельные плоскости пересекаются третьей то прямые параллельны?

Докажите что если две параллельные плоскости пересекаются третьей то прямые параллельны.

Видео:№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать

Дан ромб ABCD прямые AK и ND перпендикулярны к плоскости ромба ABCD доказать что треугольник KAC прямоугольный?

Дан ромб ABCD прямые AK и ND перпендикулярны к плоскости ромба ABCD доказать что треугольник KAC прямоугольный.

Видео:№86. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящейСкачать

1) Угол C треугольника MPC — прямой?

1) Угол C треугольника MPC — прямой.

MD — перпендикуляр к плоскости треугольника MPC.

Докажите, что треугольник PCD — прямоугольный.

2) ABCD — квадрат, диагонали которого пересекаются в точке O.

AH — перпендикуляр к плоскости квадрата.

Докажите, что прямые HO и BD перпендикулярны.

3) Из вершины A квадрата ABCD со стороной 10см восстановлен перпендикуляр AE длинной 16см.

Докажите что треугольник BCE — прямоугольный.

Найдите его площадь.

Видео:Опорная задача о подобных треугольниках при пересечении высот | Планиметрия 84 | mathus.ru #егэ2024Скачать

Изобразите параллелепипед авсда1в1с1д1 и отметьте внутреннюю точку грани аа1в1в?

Изобразите параллелепипед авсда1в1с1д1 и отметьте внутреннюю точку грани аа1в1в.

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку м параллельно плоскости основания.

Видео:Задания 11, 13 (часть 1) | ЕГЭ 2024 Математика (база) | Куб, прямоугольный параллелепипедСкачать

Каково расположение прямых а и b, если а перпендикулярна к плоскости (ABCD), а прямая b параллельна этой плоскости?

Каково расположение прямых а и b, если а перпендикулярна к плоскости (ABCD), а прямая b параллельна этой плоскости.

Видео:Как строить сечения параллелепипедаСкачать

Угол прямой линии с плоскостью?

Угол прямой линии с плоскостью.

1. Рёбра основания прямоугольного параллелепипеда имеют длину4 сми3 см ; высота параллелепипеда равна5 см.

Найти его диагональ и угол диагонали с плоскостью основания.

Видео:10 класс, 13 урок, ПараллелепипедСкачать

Какое из утверждений неверно?

А)На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Б)Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

В)На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей прямой, пересекаются.

Г)На плоскости две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Видео:№81. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки М и N соответственноСкачать

В ромбе ABCD угол A равен 60 градусов, сторона ромба равна 4см?

В ромбе ABCD угол A равен 60 градусов, сторона ромба равна 4см.

Прямая AE перпендикулярна плоскости ромба.

Расстояние от точки E до прямой DC равно 4см.

Найдите расстояние от точки E до плоскости ромба и расстояние от точки A до плоскости EDC.

ПОЖАЛУЙСТА С РИСУНКОМ!

На этой странице находится вопрос Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью а, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Y` = 3y ^ 2 / 3 y = (1 / 27)(3x + c) ^ 3 дифференцируем по c (1 / 9)(3x + c) ^ 2 = 0 или 3x + c = 0, составим систему уравнений 3x + c = 0 x = — c / 3 y = (1 / 27)(3x + c) ^ 3 y = 0 ось икс.