Дан параллелепипед abcda1b1c1d1 плоскость a проходит через прямую ba1 параллельно прямой cb1

а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD₁;

б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.

Четырехугольник KMPN — искомое сечение. Докажем это.

Ясно, что через три точки K, M, P, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Отрезки MK и PN — линии пересечения параллельных граней AA₁B₁ и DD₁C₁ параллелепипеда секущей плоскостью обязаны быть параллельными. В прямоугольных треугольниках MB₁K и PC₁N следовательно, MB₁ = PC₁, B₁K = C₁N — по условию и способу построения точек M и N. Отсюда: MK = PN. Из параллельности MK и PN, а также из их равенства следует, что KMPN — параллелограмм (по известному признаку параллелограмма). А это значит, что точка N лежит в плоскости (KMP).

Теперь докажем, что (KMP) || BD₁. Соединим точки D₁ и B₁ отрезком, построим середину этого отрезка и обозначим L. В ΔBD₁B₁, где LK — средняя линия по условию и способу построения точки L. Следовательно, LK || BD₁. Так как LK ⊂ (KMP), то (KMP) || BD₁ по признаку параллельности прямой и плоскости.

Докажем, что KMPN — прямоугольник. Для этого поместим параллелепипед в декартову систему координат, направив ось y — по DC, ось x — по DA, ось z — по DD₁. Будем иметь: M(8; 4; 6), K(8; 8; 3), N(0; 8; 3). MK = (0; 4; −3), KN = (−8; 0; 0). MK · KN = 0 · (−8) + 4 · 0 − 3 · 0 + = 0.

Таким образом, MK ⊥ KN. Нетрудно получить, что

б) Рассмотрим прямую треугольную призму MKB₁PNC₁.

Видео:№110. Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 плоскость A1DB параллельна плоскости D1CB1.Скачать

Дан параллелепипед abcda1b1c1d1 плоскость a проходит через прямую ba1 параллельно прямой cb1

Прямая АМ задана. Соединим точку М с вершиной С параллелепипеда и проведем диагональ АС в плоскости его основания.

Диагональ А1С1, лежащей в плоскости, параллельной основанию АВСD, параллельна диагонали АС.

АС ∈ построенной плоскости. Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости.

Следовательно, плоскость АМС и прямая А1С1 — параллельны, и АМС — искомая плоскость.

Видео:№83. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей черезСкачать

Презентация «Решение заданий ЕГЭ профильного уровня по стереометрии». Часть 3.

Видео:№86. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящейСкачать

Часть 3. Решение заданий ЕГЭ по стереометрии профильного уровня

Решение заданий ЕГЭ по стереометрии профильного уровня.

Видео:№114. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение паралСкачать

В правильной треугольной призме

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.

Решение.
Продлим плоскость ВСС1, тогда искомый угол – AВ1D, т. к. и C1В и B1D параллельны.

Найдем его из ∆AB1D по теореме косинусов.

Видео:№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

В правильной шестиугольной призме

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С до прямой A1F1.

Решение.
Так как ABCDEF – правильный шестиугольник, прямые AC и AF перпендикулярны. Поскольку прямые FA и F1A1 параллельны, то
CA⊥A1F1. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CA1⊥A1F1, так что длина отрезка CA1 равна искомому расстоянию.

Видео:№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1Скачать

Решение. Так как ABCD – квадрат, то прямые

Решение.
Так как ABCD – квадрат, то прямые АВ ⊥ AD. Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет перпендикулярна AD.
Значит, искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD.

∠SMO – искомый угол, косинус которого найдем из п/у ∆SMO

Видео:№355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарныСкачать

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой AC1 и плоскостью ВСC1.

Решение.
Проекцией прямой АС1 на данную плоскость является прямая ВС1, так как AB⊥(ВCС1), а значит AB⊥ВС1;
т.е. ∆АВC1 – п/у.
Значит, искомый угол – ∠AС1В

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

В правильной четырехугольной призме

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1, стороны оснований которой равны 3, а боковые рёбра 4, найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью BDD1.

Видео:Двугранный угол. Признак перпендикулярности плоскостей. Видеоурок 10. Геометрия 10 классСкачать

Решение. Прямая AN является проекцией прямой

Решение.
Прямая AN является проекцией прямой AS на плоскость основания.
Поэтому проекция точки М – точка Н лежит на отрезке AN. Значит угол MNH – искомый.
МН – средняя линия SAO,
тогда NH = АО = R = = = 24.

Ответ: arctg 7/48.

Видео:№76. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC||A1C1 и BD||B1D1.Скачать

В правильной четырехугольной призме

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 2 : 3. Найдите угол между плоскостями АВС и BED1.

Решение.
Плоскости BED1 и АВС пересекаются по прямой PB.
Линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями является угол АМЕ.
Стороны данного угла – высоты ВЕР и AВР.
Значит, угол АMЕ – искомый.
РDD1

Видео:№84. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящейСкачать

Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Найдите угол между плоскостями

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями АВ1С1 и А1В1С.

Решение.
Плоскости АВ1С1 и А1В1С пересекаются по прямой B1D.
Линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями является угол А1ОС1.Стороны данного угла – высоты равных DС1B1 и DA1В1.
Значит, угол A1OС1 – искомый.
Пусть АВ = а, тогда B1D = a√3,
А1D = DC1 = A1C1 = a√2, OC1 = OA1 =
= (А1B1 · DA1)/ DВ1 = a√6/3.
В р/б A1OC1 по теор. косинусов
cosA1OC1 = (A1О2 + C1О2 –А1C12) /
/ (2А1О · C1О) = − 0,5 ⟹

A1OC1 = 120º, значит, угол между плоскостями смежный с данным углом. Искомый угол равен 180º – 120º = 60º.

Видео:№191. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что плоскостиСкачать

Основанием прямой треугольной призмы

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1, является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1, причем ВР : РВ1 = 1 : 3. Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.

Решение.
Поскольку (АВС)∥(А1В1С1), то углом между плоскостями А1В1С1 и АСР можно считать угол между (АВС) и (АСР).
Т.к. ВНАС (высота р/б ∆), то по теореме о трех перпендикулярах РНАС.
Тогда ∠РНВ – линейный угол двугранного угла РАСВ. Найдем его из п/у ∆РНВ.
РВ = ¼ ВВ1 = ¼ · 24 = 6, ВН2 = АВ2 – АН2
ВН2 = 202 – 162 = 144, ВН = 12;
tg∠РНВ = PB/HB = 6/12 = 0,5.

Видео:№81. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки М и N соответственноСкачать

Решение. Поскольку (АВС) ∥ (А1В1С1), то углом между плоскостями

Решение.
Поскольку (АВС)∥(А1В1С1), то углом между плоскостями А1В1С1 и BD1F1 можно считать угол между (А1В1С1) и (BD1F1).
Т.к. В1E1F1D1 (в правильном шестиугольнике), то по теореме о трех перпендикулярах ВР F1D1.
Тогда ∠BРВ1 – линейный угол двугранного угла BF1D1В1.
PB1 – высота р/с ∆В1F1D1, сторона которого равна √3, значит PB1 = 1,5.
tg∠BРВ1 = BB1/PB1 = 1/1,5 = 2/3.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями АВС и BD1F1.

Видео:№196. Изобразите куб ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через:Скачать

Решение. (1 способ) Искомое расстояние равно высоте

Решение. (1 способ)
Искомое расстояние равно высоте АН, опущенной в пирамиде АКМN из вершины А на основание КМN.

Видео:Как строить сеченияСкачать

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если АD = 25, АВ = АС = 10, ВС = 45.

Решение. (2 способ)
Искомое расстояние AH равно половине расстояния от вершины А до плоскости BCD, т.к. (KMN)∥(BCD) и
KF – средняя линия ∆ ADP.

Видео:№82. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку М грани АА1В1ВСкачать

А С В D M N 10 6 В пирамиде DABC известны длины ребер:

В пирамиде DABC известны длины ребер: АВ = АС = DВ = DС = 10, BC = АD = 12. Найдите расстояние между прямыми DA и ВС.

Аналогично, и с ∆ DBC: DN является в нем медианой и высотой. А потому ВС⊥АN и ВС⊥DN, а значит, ВС⊥(ADN), следовательно, и любой прямой в этой плоскости.
Таким образом, MN⊥ВС. Так как ∆ АВС = ∆ DBC, то АN = DN = 8, а поэтому MN – медиана и высота в р/б
∆ АDN, а потому MN⊥AD.
Значит, MN – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.
Используя теорему Пифагора, получаем, что MN2 = AN2 – AM2 = 64 – 36 = 28,
MN = 27

Решение.
Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти, как длину их общего перпендикуляра. Так как АВ = АС, то ∆ АВС – р/б и медиана АN одновременно является и высотой.

Видео:№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать

В основании четырехугольной пирамиды

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит квадрат АВСD со стороной 310/5. Длины всех боковых ребер 3, точка М – середина ребра AS. Через прямую ВМ параллельно диагонали АС проведена плоскость. Определите величину угла (в градусах) между этой плоскостью и SAC.

Решение.
Поскольку плоскость проведена через прямую ВМ параллельно диагонали АС, то ей принадлежит и прямая, параллельная AC и проходящая через точку M (назовём её MN).
Таким образом, нам нужно найти угол между плоскостями SAC и BMN, пересекающимися по прямой MN.
По условию, пирамида SABCD – правильная, а значит, высота SO делит диагонали основания пополам.
Кроме того, точка N делит ребро SC пополам, ⟹ BM = BN, а точка P делит пополам отрезки MN и SO.

Видео:Как строить сечения параллелепипедаСкачать

P Решение. Отрезок BP ⊥ MN (BP ∈ (BMN)), отрезок

Решение.
Отрезок BP⊥MN (BP ∈ (BMN)),
отрезок OP⊥MN (OP ∈ (SAC)).
Поэтому угол между плоскостями – это BPO, который мы найдём из п/у ∆ BPO.
BO = AO = 310/5 · 2/2 = 35/5. PO = ½ SO (в п/у ∆ ASO)
SO2 = AS2 – AO2 = 9 – 9/5 = 36/5,
PO = 35/5. То есть, BO = PO, а значит, ∆ BPO не только п/у, но и р/б,
⟹ BPO = 45º.

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит квадрат АВСD со стороной 310/5. Длины всех боковых ребер 3, точка М – середина ребра AS. Через прямую ВМ параллельно диагонали АС проведена плоскость. Определите величину угла (в градусах) между этой плоскостью и SAC.

📽️ Видео

№116. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что: а) DC⊥B1C1, и AB⊥A1DСкачать

Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать