D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисление двойных интегралов: теория и примеры
Содержание
  1. Что значит вычислить двойной интеграл?
  2. Сведение двойного интеграла к повторному
  3. Случай прямоугольной области
  4. Случай криволинейной или треугольной области
  5. Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение
  6. x-правильная и неправильная, y-правильная и неправильная области интегрирования
  7. Смена порядка интегрирования
  8. Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов
  9. Так что же такое двойной интеграл?
  10. Если область d ограничена окружностями
  11. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах.
  12. Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры
  13. Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?
  14. Пределы интегрирования в повторных интегралах
  15. Случай первый
  16. Случай второй
  17. Случай третий
  18. Случай четвёртый
  19. Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры
  20. Приложения двойных и тройных интегралов
  21. Пример 3:
  22. Координаты центра тяжести
  23. Кратные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения
  24. Изменение порядка интегрирования
  25. Двойной интеграл в декартовых координатах
  26. Двойной интеграл в полярных координатах
  27. Двойной интеграл в обобщенных полярных координатах
  28. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
  29. Вычисление площадей в декартовых координатах
  30. Вычисление площадей в полярных координатах
  31. Вычисление массы плоской пластины
  32. Тройной интеграл в декартовых координатах
  33. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
  34. Тройной интеграл в сферических координатах
  35. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
  36. Вычисление массы тела
  37. Определение кратного интеграла
  38. Решение кратных интегралов
  39. Задача, приводящая к понятию двойноrо интеграла. Определение двойного интеграла
  40. Основные свойства двойного интеграла
  41. Линейное свойство
  42. Интегрирование неравенств
  43. Площадь плоской области
  44. Оценка интеграла
  45. Аддитивность
  46. Теорема о среднем значении
  47. Геометрический смысл теоремы о среднем значении
  48. Сведение двойного интеграла к повторному
  49. Случай прямоугольника
  50. Случай произвольной области
  51. Замена переменных в двойном интеграле
  52. Элемент площади в криволинейных координатах. Якобиан и его геометрический смысл
  53. Формула замены переменных в двойном интеграле
  54. Двойной интеграл в полярных координатах
  55. Площадь поверхности
  56. Интеграл по площади поверхности. Вычисление площади поверхности
  57. Интеграл по площади поверхности (интеграл по поверхности 1-го рода)
  58. Тройной интеграл
  59. Задача, приводящая к тройному интегралу
  60. Свойства тройных интегралов
  61. Теорема о среднем значении
  62. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
  63. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
  64. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
  65. Тройной интеграл в сферических координатах
  66. Приложения двойных и тройных интегралов
  67. Масса плоской фигуры
  68. Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат. Координаты центра тяжести
  69. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат
  70. Вычисление массы тела
  71. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей. Центр тяжести
  72. Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области
  73. 📺 Видео

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Что значит вычислить двойной интеграл?

Двойные интегралы – это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f(x, y) .

Записывается двойной интеграл так:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x , а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y . Это место и далее – одно из важнейших для понимания техники вычисления двойного интеграла.

Вычислить двойной интеграл — значит найти число, равное площади упомянутой фигуры D .

Пока мы не касаемся определения двойного интеграла, а будем учиться его вычислять. Понять, что такое двойной интеграл, проще, когда решены несколько задач на его вычисление, поэтому определение двойного интеграла вы найдёте в конце этого урока. Чуть забегая вперёд, можно лишь отметить, что определение двойного интеграла также связано с упоминавшейся фигурой D .

В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D — криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.

Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D , которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.

Случай прямоугольной области:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Случай криволинейной области:

D область ограниченная окружностями и прямыми

А это уже решение знакомых нам определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D , будут пределами интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.

Видео:Двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Двойной интеграл в полярных координатах

Сведение двойного интеграла к повторному

Случай прямоугольной области

Пусть дана функция двух переменных f(x, y) и ограничения для D : D = <(x; y) | axb; cyd> , означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают прямые x = a и x = b , а снизу и сверху — прямые y = c и y = d . Здесь a, b, c, d — числа.

Пусть для такой функции существует двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Здесь пределы интегрирования a, b, c, d — числа, о которых только что упоминалось.

Сначала нужно вычислять внутренний (правый) определённый интеграл, затем — внешний (левый) определённый интеграл.

Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем — внешний (левый).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми,

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

D область ограниченная окружностями и прямыми.

На чертеже строим область интегрирования:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Пользуемся формулой 7 из таблицы интегралов. Получаем.

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого), пользуясь для каждого слагаемого той же формулой 7:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми,

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

D область ограниченная окружностями и прямыми.

На чертеже строим область интегрирования:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

D область ограниченная окружностями и прямыми

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случай криволинейной или треугольной области

Пусть снова дана функция двух переменных f(x, y) , а ограничения для D : уже несколько другого вида:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае прямолинейной области — прямые x = a и x = b , но снизу и сверху — кривые, которые заданы уравнениями D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми. Иными словами, D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми— функции.

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Здесь пределы интегрирования a и b — числа, а D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми— функции. В случае треугольной области одна из функций D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми— это уравнение прямой линии. Такой случай будет разобран в примере 3.

Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем — левый определённый интеграл.

Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем — внешний (левый).

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми,

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

D область ограниченная окружностями и прямыми.

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Вычисляем первое слагаемое:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисляем второе слагаемое:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисляем третье слагаемое:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми,

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

D область ограниченная окружностями и прямыми.

На чертеже строим область интегрирования:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

D область ограниченная окружностями и прямыми

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми,

если область D ограничена прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Пример 6. Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми,

если область D ограничена прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Видео:Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатамСкачать

Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

x-правильная и неправильная, y-правильная и неправильная области интегрирования

Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:

1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;

2) область интегрирования представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.

Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется x-неправильной. Если же прямая y = y 0 пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая, то область интегрирования называется x-правильной

Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая x = x 0 пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой, то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной области, надо полагать, совсем просто.

До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.

Пример 7. Вычислить двойной интеграл D область ограниченная окружностями и прямыми, область интегрирования которого ограничена линиями y = x , xy = 1 , y = 2 .

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение. Область интегрирования является y-неправильной, так как её нижнюю границу нельзя задать одной линией y = y(x) . Как видно на рисунке выше, нижняя граница складывается из y = x (тёмно-бордовая) и xy = 1 (зелёная). Поэтому прямой x = 1 (чёрная) можем разбить область интегрирования на две части — D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми.

Вычисляется этот двойной интеграл так:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Видео:Вычислить двойной интегралСкачать

Вычислить двойной  интеграл

Смена порядка интегрирования

Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.

Смена порядка интегрирования образно может быть описана следующими словами О’Генри: «Так ведёт себя обитатель джунглей — зверь, попав в клетку, и так ведёт себя обитатель клетки — человек, заблудившись в джунглях сомнений». Результат, так же по О’Генри один и тот же: «Чалмерс разорвал письмо на тысячу мельчайших клочков и принялся терзать свой дорогой ковёр, расхаживая по нему взад и вперёд». (О’Генри. Шехерезада с Мэдисон-сквера.)

Тогда, если левый интеграл у нас по переменной x, а правый — по y, то после смены порядка интегрирования всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для «нового» игрека нужно «позаимствовать» у «старого» икса, а пределы интегрирования для «нового» икса получить в виде обратной функции, разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека.

Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет левым, а интеграл по иксу — правым. Пределы интегрирования для «нового» игрека позаимствуем у «старого» икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний — единице. Пределы интегрирования для «старого» игрека заданы уравнениями D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми. Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса:

D область ограниченная окружностями и прямыми(нижний) и D область ограниченная окружностями и прямыми(верхний).

Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф). Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.

Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.

Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. Итак, область интегрирования данного повторного интеграла ограничена прямыми y = 1 , y = 3 , x = 0 , x = 2y .

При интегрировании в другом порядке нижняя граница области состоит из двух прямых: AB и BC , которые заданы уравнениями y = 1 и y = x/2 , что видно на рисунке ниже.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Выход из такой неопределённости состоит в разбиении области интегрирования на две части. Делить область интегрирования будет прямая . Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме двух интегралов:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. Итак, область интегрирования повторного интеграла ограничена прямыми x = 0 , x = 2 и кривыми D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми.

Как видно на рисунке ниже, прямая, параллельная оси 0x , будет пересекать нижнюю границу области интегрирования более чем в двух точках.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.

Для D область ограниченная окружностями и прямыми:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Для D область ограниченная окружностями и прямыми:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Для D область ограниченная окружностями и прямыми:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

И всё же обстоятельства непреодолимой силы нередко мешают студентам уже на предыдущем шаге — расстановке пределов интегрирования. Тревога и смятение не лишены некоторого основания: если для разбиения области интегрирования на части обычно достаточно приглядеться к чертежу, а для решения повторного интеграла — таблицы интегралов, то в расстановке пределов интегрирования нужен некоторый опыт тренировок. Пробежим пример, в котором остановимся только на расстановке пределов интегрирования и — почти на автомате — на разбиении области и опустим само решение.

Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:

Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:

Строим полученные линии на чертёже. Пределами интегрирования по иксу действительно служат линии x = 0 и x = 2 . Но область интегрирования оказалась y-неправильной, так как её верхнюю границу нельзя задать одной линией y = y(x) .

D область ограниченная окружностями и прямыми

Поэтому разобьём область интегрирования на две части при помощи прямой x = 1 (на чертеже — чёрного цвета).

Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Видео:Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способаСкачать

Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способа

Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов

В этом параграфе даны примеры, в которых двойной интеграл равен отрицательному числу. Но, как отмечалось в теоретической справке в начале урока, площадь области интегрирования равна самому двойному интегралу. А если двойной интеграл — отрицательное число, то площадь равна его модулю.

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.

Пример 12. Вычислить площадь области, ограниченной линиями y² = x + 1 и x + y = 1 .

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой y² = x + 1 , а справа прямой y = 1 — x . (рисунок ниже).

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решая как систему уравнения этих линий, получаем точки их пересечения: D область ограниченная окружностями и прямыми. Ординаты этих точек — — 2 и 1 будут соответственно нижним и верхним пределами интегрирования по игреку. Итак, площадь фигуры найдём как двойной интеграл, сведённый к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

D область ограниченная окружностями и прямыми

Как видим, решение двойного интеграла — отрицательное число. За площадь данной плоской фигуры принимается модуль этого числа, то есть 4/9.

Объём криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью D область ограниченная окружностями и прямыми, снизу плоскостью z = 0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси 0z , а направляющей служит контур области, вычисляется также по формуле двойного интеграла. То есть, с помощью двойного интеграла можно вычислять объёмы тел.

Пример 13. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями x = 0 , y = 0 , z = 0 и x + y + z = 1 (рисунок ниже).

D область ограниченная окружностями и прямыми

Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

D область ограниченная окружностями и прямыми

Вновь видим, что решение двойного интеграла — отрицательное число. За объём данного тела принимается модуль этого числа, то есть 1/6.

Видео:Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями ∫∫(5x+y)dxdy D: y=x^3, y=0, x=3.Скачать

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями ∫∫(5x+y)dxdy   D: y=x^3, y=0, x=3.

Так что же такое двойной интеграл?

Мы уже знаем, что представляет собой область D. Пусть z = f(x, y) — некоторая функция двух переменных, определённая и ограниченная в этой области. Разобъём область D произвольно на n частей, не имеющих общих точек, с площадями D область ограниченная окружностями и прямыми. В каждой из этих частей выберем произвольную точку D область ограниченная окружностями и прямымии составим сумму

D область ограниченная окружностями и прямыми,

которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является тройной интеграл.

Видео:Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть1. Как вычислять.Скачать

Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть1. Как вычислять.

Если область d ограничена окружностями

Видео:Двойной интеграл. Площадь плоской фигуры.Скачать

Двойной интеграл. Площадь плоской фигуры.

Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах.

При вычислении двойных интегралов иногда бывает полезно сделать замену переменных. Пусть

функции, определенные на всей плоскости xOy или в некоторой ее области Dxy и имеющие непрерывные частные производные в области Dxy. Допустим также, что систему уравнений ( 7) можно однозначно разрешить относительно x и y:

Тогда каждой точке М(x;y) из области Dxy будет взаимно однозначно соответствовать пара чисел (u,v), называемых криволинейными координатами этой точки. Если область Dxy расположена в той части плоскости xOy, в которой введены криволинейные координаты u, v, то справедлива следующая формула:

D область ограниченная окружностями и прямыми,

где Duv – область изменения криволинейных координат u и v, отвечающая области Dxy, а I(u,v) – якобиан преобразования ( 8):

D область ограниченная окружностями и прямыми

Например, для полярных координат имеем:

D область ограниченная окружностями и прямыми

В зависимости от строения области интегрирования или подынтегральной функции вычисление двойного интеграла может оказаться более простым не в прямоугольной, а в какой-нибудь из криволинейных систем координат. Наиболее распространенной из них является полярная.

Для того, чтобы преобразовать двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах в двойной интеграл в полярных координатах, нужно x и y в подынтегральной функции заменить соответственно через rcosj и rsinj, а выражение dxdy заменить выражением rdrdj:

D область ограниченная окружностями и прямыми

где Drj – та же область Dху, но описанная в полярных координатах (поскольку в этом случае якобиан I = r).

В этой формуле следует обратить внимание на то, что в подынтегральной функции не только происходит замена координат по формулам перехода от декартовых к полярным, но и появляется дополнительный множитель r.

D область ограниченная окружностями и прямымиВычисление двойного интеграла в полярной системе координат, также как и в декартовой, сводится к двукратному интегрированию, но, соответственно, по переменным r и j. Расстановку пределов при вычислении интегралов в полярных координатах можно производить, используя чертеж области интегрирования на плоскости Oxy и геометрический смысл полярных координат.

Пусть, например, внешнее интегрирование производится по j и область Dρφ является правильной в направлении j = сonst, т.е. каждый луч, выходящий из начала координат, пересекает область Dρφ по отрезку
(рис. 14).

D область ограниченная окружностями и прямымиТогда справедлива формула:

D область ограниченная окружностями и прямыми(12)

В частном случае, когда D содержит начало координат, имеем:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Если же внешнее интегрирование производится по r и область Dρφ является правильной в направлении
r = const, т.е. каждая окружность пересекает, имея центром начало координат, область Dρφ по дуге этой окружности (только в двух точках) (см. рис.16), то справедлива формула:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример 12.

D область ограниченная окружностями и прямымиВычислить двойной интеграл D область ограниченная окружностями и прямымипо области, ограниченной линиями: x 2 + y 2 = 1, y = 0, x = 2, y = x и лежащей в первом квадранте.

Хотя данный интеграл можно вычислить в прямоугольной декартовой системе координат, в которой он задан, но неопределенные интегралы, которые при этом возникнут, достаточно сложны.

Перейдем к полярной системе координат. Вспомним, что D область ограниченная окружностями и прямыми. Построив область интегрирования (рис. 17), мы видим, что для точек области полярный угол меняется в пределах от 0 до p/4, а при каждом значении j из этого промежутка полярный радиус меняется от 1 до 2/cosj (последнее мы получим, подставив в уравнение х = 2 выражение для х через полярные координаты: rcosj = 2 и разрешив полученное соотношение относительно r).

Таким образом, искомый интеграл можно представить в виде:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример 13. D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычислить двойной интеграл D область ограниченная окружностями и прямыми, если область D ограничена окружностью x 2 + y 2 = 1.

Область D есть круг радиуса 1 с центром в начале координат. Введем полярные координаты. В полярных координатах x 2 + y 2 = r 2 и уравнение окружности принимает вид r = 1.

Тогда по формуле ( 13) получаем:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример 14.

Вычислить двойной интеграл D область ограниченная окружностями и прямыми, если область D ограничена половиной дуги окружности x 2 + z 2 = ax и отрезком оси Ox от точки с абсциссой равной 0 до точки с абсциссой равной а.

Область D – полукруг. Введем полярные координаты: x = rcosj, z = rsinj.

Уравнение окружности в полярных координатах принимает вид r 2 = racosj, или r = acosj.

Подынтегральная функция имеет вид z = rsinj. Угол j меняется от 0 до p/2 (полукруг находится в I четверти). При каждом фиксированном значении угла j r меняется от 0 (в начале координат) до r = acosj (на окружности). Тогда получаем:

D область ограниченная окружностями и прямымиD область ограниченная окружностями и прямыми

Пример 15.

D область ограниченная окружностями и прямымиВ двойном интеграле D область ограниченная окружностями и прямымирасставить пределы интегрирования в полярных координатах, если область D является квадратом с вершинами в точках О(0;0), А(1;0), В(1;1), С(0;1).

Уравнение стороны АВ (х = 1) в полярных координатах принимает вид rcosj = 1, или r = 1/cosj, а ВС будет r = 1/sinj. Угол j меняется от 0 до p/2 (квадрат находится в I четверти). При изменении угла от 0 до p/4 r меняется от 0 до r = 1/cosj, а при изменении угла от p/4 до p/2 r меняется от 0до r = 1/sinj.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример 16.

Вычислить двойной интеграл D область ограниченная окружностями и прямымиесли область D ограничена эллипсом D область ограниченная окружностями и прямыми

Для решения этой задачи удобно ввести так называемые обобщенные полярные координаты, положив y = arcosj, z = brsinj.

Найдем якобиан данного преобразования:

D область ограниченная окружностями и прямымит.е. | I |= abr.

Подынтегральная функция принимает вид:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Угол j меняется от 0 до 2p. Уравнение эллипса принимает вид r = 1, поэтому r меняется от 0 до 1. И тогда

Видео:Вычисление двойного интегралаСкачать

Вычисление двойного интеграла

Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?

Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности, двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ и y = rsinφ :

D область ограниченная окружностями и прямыми.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Что представляет собой элемент площади dxdy , выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D на участки линиями окружности r = const и лучами φ = const . Рассмотрим один частичный участок (заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы φ и φ + и линии окружности с радиусом r и r + dr . Этот криволинейный четырёхугольник можем приближенно считать прямоугольником с длиной боковой стороны dr и длиной основания rdφ . Поэтому элемент площади в полярных координатах выражается следующим образом:

а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ , а внутренний — по радиусу r .

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит, как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры D .

Видео:Математический анализ, 41 урок, Вычисление двойных интеграловСкачать

Математический анализ, 41 урок, Вычисление двойных интегралов

Пределы интегрирования в повторных интегралах

При переходе от двойного интеграла в полярных координатах к повторным интегралам расстановку пределов интегрирования могут облегчить следующие закономерности.

Случай первый

Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D , область ограничена линией r = r(φ) .

D область ограниченная окружностями и прямыми

Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны 0 и 2π , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Случай второй

Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , но не является угловой точкой.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной осью угол α . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и π + α , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Случай третий

Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , и является угловой точкой.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Случай четвёртый

Полюс O находится вне области интегрирования D .

D область ограниченная окружностями и прямыми

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β , а область D ограничивают линии r = r 1 (φ) и r = r 2 (φ) . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — r 1 (φ) и r 2 (φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.

Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры

Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми,

где область D ограничена линиями D область ограниченная окружностями и прямыми, D область ограниченная окружностями и прямыми, D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Данные в условии линии, ограничивающие D , приводим к полярным координатам:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования, верные в третьем случае:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Вычисляем интеграл (так как повторные интегралы независимы друг от друга, каждый из них вычисляем отдельно и результаты перемножаем):

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример 2. В повторном интеграле

D область ограниченная окружностями и прямыми

перейти к полярной системе координат.

Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1, а переменная y — от параболы x² до 1. Таким образом, область интегрирования снизу ограничена параболой y = x² , а сверху — прямой y = 1 . Область интегирования изображена на следующем чертеже.

D область ограниченная окружностями и прямыми

При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части. Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области — от 0 до прямой y = 1 , в третьей области — от 0 до параболы. Точки пересечения прямой y = 1 и параболы: (1; 1) и (−1; 1) . В первой точке полярный угол составляет D область ограниченная окружностями и прямыми, во второй точке он составляет D область ограниченная окружностями и прямыми. Поэтому в первой области φ меняется от от 0 до D область ограниченная окружностями и прямыми, во второй области — от 0 до D область ограниченная окружностями и прямыми, в третьей области — от D область ограниченная окружностями и прямымидо π .

Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат. Найдём уравнение прямой y = 1 : D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми. Найдём уравнение параболы y = x² в полярной системе координат:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным координатам:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми,

где область D ограничена линией окружности D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. Строим на чертеже область интегрирования.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0) и радиусом a . В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение следующим образом:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Линия окружности D область ограниченная окружностями и прямымикасается оси Oy , поэтому полярный угол в области интегрирования меняется от D область ограниченная окружностями и прямымидо D область ограниченная окружностями и прямыми. Подставим D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымив уравнение окружности и получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:

D область ограниченная окружностями и прямыми

В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и sinπ , и sin(−π) равны нулю. Продолжая, получаем:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример 4. Вычислить плоской фигуры, которую ограничивают линии D область ограниченная окружностями и прямыми, D область ограниченная окружностями и прямыми, D область ограниченная окружностями и прямыми, D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. Построим заданную фигуру на следующем рисунке.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Так как фигура является частью круга, её площадь проще вычислить в полярных координатах. Данные уравнения линий перепишем в полярных координатах:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Таким образом, у нас есть всё, чтобы записать площадь фигуры в виде двойного интеграл в полярных координатах, перейти к повторному интегралу и вычислить его:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример 5. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми,

где область D ограничена линиями D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми.

Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

Строим на чертеже область интегрирования.

D область ограниченная окружностями и прямыми

В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:

D область ограниченная окружностями и прямыми.

В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным интегралам и вычислим интеграл:

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 5.Скачать

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 5.

Приложения двойных и тройных интегралов

Содержание:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Масса плоской фигуры Пусть задана плоская ограниченная фигура D, по которой непрерывным образом распределена масса с поверхностной плотностью — функция, непрерывная в D. Разобьем фигуру D на п частей без общих внутренних точек, площади которых соответственно равны В каждой части произвольно выберем точку У к) и вычислим в ней плотность у*).

В силу непрерывности fi(x, у) можно считать, что масса т* части Dk фигуры D приближенно равна а масса всей фигуры — сумме Приложения двойных и тройных интегралов Масса плоской фигуры Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат Координаты центра тяжести Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат Статические моменты тела относительно координатных плоскостей

Центр тяжести Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области Последняя является интегральной суммой для непрерывной функции ц(х> у) в области D. Переходя к пределу при d 0 (здесь d — наибольший из диаметров частичных областей получим точное равенство Если масса распределена равномерно по всей фигуре, ц = const, то формула (1) принимает вид Пример 1.

Найти массу кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов г и Л, где если плотность кольца в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию от этой точки до центра окружности и равна 1 на окружности внутреннего круга где S — площадь фигуры D.

М Фигура D задается условиями 9.2. Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат. Координаты центра тяжести Статическим моментом Мх материальной точки массы т относительно оси Ох называется произведение ту, где у — ордината материальной точки, т. е. Здесь у может быть как положительным, так и отрицательным числом. Разбивая фигуру D на части , выбирая в каждой части Dk произвольно точку и считая, что масса этой к-й части приближенно равна и сосредоточена в точке , запишем приближенно величину статического момента фигуры D относительно оси Ох. Имеем где ASk — площадь части ) — поверхностная плотность.

Переходя к пределу при d -* 0, получаем Статический момент фигуры D относительно оси Оу находится по аналогичной формуле Если известны статические моменты Мх и Mv и масса т плоской фигуры, то координаты центра тяжести этой фигуры находятся по следующим формулам Если /1 = const, то m = /iS, где S — площадь фи гуры D, и формулы (5) принимают вид: Пример 2.

Найти центр тяжести однородн ой плоской фигуры, ограниченной косинусоидой Так как фигура — однородная, то координаты центра тяжести будем искать по фор мулам (6). Найдем сначала площадь S заданной фигуры. Имеем Затем найдем статические моменты Теперь no формулам (6) получаем Приложения двойных и тройных интегралов Масса плоской фигуры Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат Координаты центра тяжести Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Центр тяжести Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области 9.3.

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат Рассуждая аналогично изложенному выше, легко установить, что элементарные моменты инерции относительно осей Ох и Оу будут соответственно равны Интегрируя по плоской фигуре £>, получим формулы для самих моментов инерции где, как и ранее, — поверхностная плотность распределения масс. 9.4. Вычислен ие массы тела Рассматривая задачу, приводящую к тройному интегралу, мы показали, что если известна плотность распределения масс fi(x> у, г) в каждой точке некоторого тела ft, то масса этого тела вычисляется по формуле Мы предполагаем, что функция у, z) непрерывна в области П.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 3:

Вычислить массу m тела, ограниченного полусферами и плоскостью хОу, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой тон ни до начала координат. 4 По условию задачи плотаостъ ц в точке (x,y,z) выражается формулой — коэффициент пропорциональности. Тогда Переходя к сферическим координатам, получим, что 9.5. Статические моменты тела относительно координатных плосюствв .

Центр тяжести Напомним, что задача о вычислении статических моментов и центра тяже сти плоской фигуры решалась при помощидвойных интегралов (см. формулы (3), (4) и (5)). Задачи о вычислении статических моментов тела ft относительно координатных плоскостей и отыскания центра тяжести тела ft решаются аналогичным способом при помощи тройных интегралов. Например, элементарный статический момент относительно плоскости хОу равен — плотность. Отсюда статический момент Аналогично выписываются статические моменты относительно плоскостей Вычислив массу m тела ft и его статические моменты, легко найти координаты центра тяжести тела:

Если тело однородно, то плотность = const и формулы (11) упрощаются — постоянный множитель /х в числителе можно вынести за знак интеграла и сократить на него числитель и знаменатель . Тогда получим 4. найти координаты центра тяжести Однородное о полуиира радиуса R. 4 Считаем, что центр шара находится в начале координат, а рассматриваемая фигура — полуша р расположена над плоскостью. Тогда в силу симметрии имеем Объем полушара равен Найдем статический момент относительно плосхости хОу: Значит, центр тяжести.

Понятие о несобственном кратном

интеграле по неограниченной области При необходимости интегрирования функций нескольких переменных по неограниченной области D поступают так. Выбирают последовательность ограниченных областей интегрирования , монотонно исчерпывающих область D, т. е. Например, если область интегрирования совпадает со всей плоскостью , то за последовательность можно принять совокупность концентрических кругов где Определение. Несобственным интегралом от функции /(ж, у) по неограниченной области интегрирования D называется предел последовательности интегралов не зависящий от выбора последовательности D„.

Итак, по определению (2) Если предел (1) существует и конечен, то несобственный интеграл по неограниченной области называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Пример 1. Вычислить интеграл где область интегрирования — вся плоскость. м В качестве областей интегрирования выберем круги радиуса п . Переходя к полярным координатам, получим Итак, интеграл (3) сходится и равен Признак сражение.

Если ,u интеграл сходится, то сходится и интеграл Если же интеграл расходится, то расходится и интеграл Интегралы, сходящиеся на всей плоскости, можно вычислять с помощью повторного интегрирования: 2. Вычислить интеграл 4 Так как то, согласно соотношению Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, получим ноаую область интегрирования Следовательно, откуда Несобственные интегралы от функции трех, четырех и большего числа переменных по неограниченным областям определяются аналогично. Упражнения Вычислите двойные интегралы:

Измените порядок интегрирования (предварительно нарисовав область интегрирования): Нарисуйте область интегрирования и вычислите повторные интегралы Вычислите площади фигур, ограниченных кривыми Вычислите площадь петли кривой Вычислите площадь петли кривой Указание. Сделайте замену переменных Пугем перехода к полярным координатам вычислите следующие интегралы: если область D ограничена окружностью с центром в начале координат. — кольцо между окружностями радиусов полукруг диаметра d с центром в точке С о) , лежащий выше Приложения двойных и тройных интегралов Масса плоской фигуры Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат

Координаты центра тяжести

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Центр тяжести Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области Найдите массу штастиики D с заданной поверхностной плотностью Определите центры тяжести: 31. Полусегмента параболы 32. Полуэллипса отсеченного осью Ох. 33. Фигуры, ограниченной кривыми Вычислите площадь: 34.

Той части плоскости , которая лежит в первом октанте и ограничена цилиндром 35. Той части поверхности конусах которая высекается цилиндром 36. Поверхности параболоида расположенного внутри цилиндра . Вычислите интегралы по площади поверхности: 3часть плоскости , лежащая в первом октанте. где ж — часть сферы лежащая в первом октанте. — цилиндр х ограниченный плоскостями расстояние от точки ) поверхности до начала координат. Определение. Моментом инерции плоской фигуры относительно начала координат называется величина ‘ Вычислите моменты инерции относительно начала координат: 40.

Треугольника, ограниченного линиями , относительно оси Ох. 41. Треугольника с вершинами в точках относительно оси Оу. 42. Эллипса относительно оси Оу. 43. Области, ограниченной параболой у2 = 4ах, прямой Вычислите тройные интегралы: — область, ограниченная координатными плоскостями и плоскостью где ft — область, ограниченная конусом и плоско- — трехгранная призма, ограниченная плоскостя- п ми Вычислите инте1ралы 47-50, переходя к цилиндрическим или сферическим координатам: I

Вычислите объем тела, огранич енного данными поверхностями: . Указание: перейдюе к сферическим координатам. Вычислите массу тела: 54. Ограниченного поверхностями , «ели плогность ц в каждой точке тела равна аппликате этой точке. 55. Ограниченного поверхностями , если плотность/х в каждой точке равна орданате у этой точки.

Найдете статические моменты однородного тела (ц = 1): 56. Прямоугольного параллелепипеда с ребра*» а, Ь,с, относительно его граней. 57. Тела, ограниченного эллипсоидом х2 у2 z2 и плоскостью хОу, относительно плоскости хОу. Найдите координаты центра тяжести однородного тела (/* = 1), ограниченного данными поверхностями: 58. Плоскостями 59. Цилиндром и плоскостями 60. Параболоидом х2 + у2 = 2л z и полусферой .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ D область ограниченная окружностями и прямымиD область ограниченная окружностями и прямыми

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Семинар 4. Двойной интеграл.Скачать

Семинар 4. Двойной интеграл.

Кратные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения

При изучении темы «Кратные интегралы» вы научитесь записывать области (на плоскости и в пространстве) с помощью неравенств в декартовых, полярных, цилиндрических и сферических координатах, расставлять пределы интегрирования и сводить кратные
интегралы к повторным. Вы научитесь также решать задачи геометрии и механики с использованием двойных и тройных интегралов (в декартовых, полярных, обобщенных полярных, цилиндрических и сферических координатах).

D область ограниченная окружностями и прямыми

Видео:Изменение порядка интегрирования в повторном интегралеСкачать

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле

Изменение порядка интегрирования

Постановка задачи. Изменить порядок интегрирования

D область ограниченная окружностями и прямыми

1.Область интегрирования состоит из двух областей D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми
Зададим их неравенствами

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Решаем системы неравенств, определяющих области D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми
относительно у и получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Определяем границы изменения х, решая неравенства

D область ограниченная окружностями и прямыми

Получаем D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми

4.Области D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиможно представить в виде

D область ограниченная окружностями и прямыми

5.Записываем интегралы I с измененным порядком интегрирования:

D область ограниченная окружностями и прямыми

6.Если D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми
то I можно представить одним интегралом

D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример:

Изменить порядок интегрирования

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Область интегрирования состоит из двух областей D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми
Зададим их неравенствами

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Решаем системы неравенств, определяющих области D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми
относительно у и получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Определяем границы изменения х, решая неравенства

D область ограниченная окружностями и прямыми

Учитывая, что D область ограниченная окружностями и прямымив обоих случаях получаем D область ограниченная окружностями и прямыми

4.Области D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиможно представить в виде

D область ограниченная окружностями и прямыми

5.Записываем интегралы I с измененным порядком интегрирования:

D область ограниченная окружностями и прямыми

6.Пользуясь линейностью и аддитивностью интегралов, получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямыми

Двойной интеграл в декартовых координатах

Постановка задачи. Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D ограничена линиями D область ограниченная окружностями и прямыми (и, возможно, прямыми х = а и х = b или у = с и у = d).

1.Зададим область D неравенствами. Для этого выясним, каким
из неравенств

D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми

удовлетворяют координаты точек области D.

Пусть, например, такими неравенствами оказались D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиТогда

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решаем неравенства, определяющие D, относительно х и у. Получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Переходим от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.

Замечание:

Если необходимо, разбиваем область на части и используем свойство аддитивности интеграла.

Пример:

Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D ограничена линиями D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Зададим область D неравенствами. Очевидно, что D область ограниченная окружностями и прямымиПоэтому D область ограниченная окружностями и прямымиПоскольку ж фигурирует под знаком квадратного корня, D область ограниченная окружностями и прямымиДля х возможны неравенства D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямымиВо втором случае область неограничена, что неприемлемо.

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Переходим от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Используя свойства определенного интеграла, последовательно
интегрируем сначала по у (считая х постоянной), затем по х:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямыми

Двойной интеграл в полярных координатах

Постановка задачи. Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D ограничена двумя окружностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми

и двумя прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

1.Зададим область D неравенствами в декартовой системе координат.

Для этого заметим, что окружности D область ограниченная окружностями и прямымии
D область ограниченная окружностями и прямымипроходят через начало координат и их центры
расположены на оси ОХ (при D область ограниченная окружностями и прямыми) или на оси OY (при
D область ограниченная окружностями и прямыми) по одну сторону от начала координат (так как D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми). Поэтому та из окружностей, которая имеет меньший радиус, расположена внутри другой. Пусть, например, это окружность D область ограниченная окружностями и прямымиОбласть D находится между окружностями, поэтому координаты точек области D удовлетворяют неравенствам

D область ограниченная окружностями и прямыми

Прямые D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымипроходят через начало
координат. Область D расположена между ними. Учитывая, в какой полуплоскости находятся окружности и, следовательно, область
D, определяем, каким из следующих пар неравенств удовлетворяют
координаты точек области D:

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатах

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый интеграл определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Чтобы найти область D’, заменяем в неравенствах, определяющих область D, х на D область ограниченная окружностями и прямымии y на D область ограниченная окружностями и прямымиЗатем разрешаем полученные неравенства относительно D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиТаким образом получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

4.Переходим от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного
интеграла.

Пример:

Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D ограничена линиями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Зададим область D неравенствами в декартовой системе координат. Для этого заметим, что, выделяя полные квадраты в уравнениях окружностей D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиих можно
привести к виду

D область ограниченная окружностями и прямыми

Очевидно, что обе окружности проходят через начало координат
и их центры расположены на оси OY в точках (0,2) и (0,4). Окружность (1) имеет радиус 2 и, следовательно, лежит внутри окружности (2), имеющей радиус 4. Поскольку область D находится между окружностями, координаты ее точек удовлетворяют неравенствам

D область ограниченная окружностями и прямыми

Прямые D область ограниченная окружностями и прямымии х = 0 проходят через начало координат. Область D расположена между ними. Учитывая, что окружности, а следовательно, и область D находятся в верхней полуплоскости, заключаем, что область D находится над прямой D область ограниченная окружностями и прямымии справа от прямой х = 0. Поэтому координаты точек области D удовлетворяют неравенствам

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатах

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый интеграл определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Чтобы найти область D’, заменяем в неравенствах, определяющих область D, х на D область ограниченная окружностями и прямымии y на D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решая эти неравенства относительно D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиполучаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

4.Переходим от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Последовательно интегрируя, получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямыми

Двойной интеграл в обобщенных полярных координатах

Постановка задачи. Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D задана неравенствами

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

1.Область D задана неравенствами в декартовой системе координат, т.е.

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в
обобщенных полярных координатах

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый интеграл определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Чтобы найти область D’, заменяем в неравенствах, определяющих область D, х на D область ограниченная окружностями и прямымии у на D область ограниченная окружностями и прямымиЗатем разрешаем полученные неравенства относительно D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиТаким образом, получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

4.Переходим от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного
интеграла.

Пример:

Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D задана неравенствами

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Область D задана неравенствами в декартовой системе координат:

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в
обобщенных полярных координатах

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый интеграл определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Чтобы найти область D’, заменяем в неравенствах, определяющих область D, х на D область ограниченная окружностями и прямымии у на D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решая эти неравенства относительно D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиполучаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

4.Переходя от двойного интеграла к повторному и последовательно интегрируя, получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

Постановка задачи. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

1.Объем цилиндрического бруса, ограниченного заданными поверхностями, определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2.Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исключаем из них z.

Допустим, например, что координаты точек тела удовлетворяют
неравенствам D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиТогда тело определяется системой неравенств

D область ограниченная окружностями и прямыми

Исключая z, получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Вычисляем двойной интеграл по формуле (1) при D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.По формуле (1) с D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиискомый объем равен

D область ограниченная окружностями и прямыми

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2.Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исключаем из них z. В данном случае тело определяется системой неравенств

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Здесь неравенство D область ограниченная окружностями и прямыминеобходимо, так как у стоит под знаком
квадратного корня.

3.Вычисляем двойной интеграл:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. V = 1 ед. объема.

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.По формуле (1) с D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиискомый объем равен

D область ограниченная окружностями и прямыми

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2.Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исключаем из них z. В данном случае тело определяется неравенствами

D область ограниченная окружностями и прямыми

Из первого неравенства очевидно, что D область ограниченная окружностями и прямымии, следовательно, второе неравенство выполняется автоматически (геометрически это означает, что проекция поверхности D область ограниченная окружностями и прямымина плоскость XOY охватывает круг D область ограниченная окружностями и прямымиПоэтому

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатах

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый объем определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

4.Чтобы найти область D область ограниченная окружностями и прямымизаменяем в неравенстве, определяющем область D, х на D область ограниченная окружностями и прямымии у на D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Заметим, что из неравенств D область ограниченная окружностями и прямымиследует D область ограниченная окружностями и прямыми

5.Переходим от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Последовательно интегрируя, получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямымиед. объема.

Вычисление площадей в декартовых координатах

Постановка задачи. Найти площадь области D, ограниченной
линиями
D область ограниченная окружностями и прямыми(и, возможно, прямыми х = а и
х = b или у = с и у = d).

План решения.
Из определения двойного интеграла следует, что искомая площадь
S численно равна

D область ограниченная окружностями и прямыми

1.Зададим область D неравенствами. Для этого выясним, какие
из неравенств D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми
выполняются для координат точек области D.

Пусть, например, такими неравенствами оказались D область ограниченная окружностями и прямымии
D область ограниченная окружностями и прямыми. Тогда

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решаем неравенства, определяющие D, относительно х и у. Получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Переходим от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Замечание:

Если необходимо, разбиваем область на части и используем свойство аддитивности интеграла.

Пример:

Найти площадь области D, ограниченной линиями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Зададим область D неравенствами. Область не может находиться вне круга, так как тогда она неограничена. Область не может
находиться слева от параболы, так как в этом случае ее точки могут
иметь отрицательные абсциссы, что исключено условием D область ограниченная окружностями и прямыми
Следовательно,

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решаем неравенства, определяющие D, относительно х и у. Получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Следовательно, D область ограниченная окружностями и прямымиОтсюда D область ограниченная окружностями и прямымиИтак,

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Вычисляем площадь области D по формуле (1). Переходя от
двойного интеграла к повторному, получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Используя свойства определенного интеграла, последовательно
интегрируем:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямыми(ед. длиныD область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисление площадей в полярных координатах

Постановка задачи. Найти площадь области D, ограниченной
двумя окружностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

и двумя прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

План решения. Из определения двойного интеграла следует, что
искомая площадь S численно равна

D область ограниченная окружностями и прямыми

1.Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать, переходя к полярным координатам

D область ограниченная окружностями и прямыми

и записывая уравнения границ в полярных координатах.

При этом область D перейдет в область D’, а искомая площадь
будет равна

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Зададим неравенствами область D’ в полярных координатах:

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Переходим от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

и вычисляем его, пользуясь свойствами определенного интеграла.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать, переходя к полярным координатам

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом область D перейдет в область D’, ограниченную линиями

D область ограниченная окружностями и прямыми

А искомая площадь будет равна

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Зададим неравенствами область D’ в полярных координатах:

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Переходим от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Последовательно интегрируя, получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямыми(ед. длиныD область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисление массы плоской пластины

Постановка задачи. Найти массу плоской пластины D с поверхностной плотностью D область ограниченная окружностями и прямыми ограниченной заданными кривыми.

1.Масса пластины D с поверхностной плотностью D область ограниченная окружностями и прямымиопределяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Вычисляем полученный двойной интеграл. Записываем ответ,
не забывая о размерности.

Пример:

Найти массу пластины D с поверхностной плотностью D область ограниченная окружностями и прямымиограниченной кривыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1. Масса пластины D с поверхностной плотностью D область ограниченная окружностями и прямыми
определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Вычисляем полученный двойной интеграл в декартовых координатах:

а) зададим область D системой неравенств:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Неравенство D область ограниченная окружностями и прямымиследует из того, что D область ограниченная окружностями и прямымит.е. х неотрицательно;

б) перейдем от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

в) последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. m = 2 ед. массы.

Пример:Найти массу пластины D с поверхностной плотностью
D область ограниченная окружностями и прямымиограниченной кривыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Масса пластины D с поверхностной плотностью D область ограниченная окружностями и прямыми
определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Вычисляем полученный двойной интеграл:

а) так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатах

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом область D перейдет в область D’, ограниченную линиями

D область ограниченная окружностями и прямыми

а искомая масса определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

Зададим неравенствами область D’ в полярных координатах:

D область ограниченная окружностями и прямыми

б) перейдем от двойного интеграла к повторному

D область ограниченная окружностями и прямыми

последовательно интегрируя, получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямымиед. массы.

Пример:

Найти массу пластины D с поверхностной плотностью
D область ограниченная окружностями и прямымиограниченной кривыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Масса пластины D с поверхностной плотностью D область ограниченная окружностями и прямымиопределяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Вычисляем полученный двойной интеграл:

а) зададим область D неравенствами в декартовой системе координат

D область ограниченная окружностями и прямыми

Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими
через начало координат, поставленную задачу проще решать в обобщенных полярных координатах

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомая масса определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

Чтобы найти область D’, заменяем в неравенствах, определяющих
область D, х на D область ограниченная окружностями и прямымии у на D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решая эти неравенства относительно D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымиполучаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

б) переходим от двойного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

в) последовательно интегрируя, получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. m = 4 ед. массы.

Тройной интеграл в декартовых координатах

Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D область ограниченная окружностями и прямыми ограничена некоторыми поверхностями.

1.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямымисистемой неравенств, например,

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Перейдем от тройного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Используя свойства определенного интеграла, последовательно
интегрируем сначала по z (считая хну постоянными), затем по у
(считая х постоянной), затем по х.

Пример:

Вычислить тройной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где D область ограниченная окружностями и прямымиограничена плоскостями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямыминеравенствами. Очевидно, что D область ограниченная окружностями и прямымиДля у возможны неравенства D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямымиЕсли D область ограниченная окружностями и прямымито D область ограниченная окружностями и прямымии для х имеем D область ограниченная окружностями и прямымиЕсли же D область ограниченная окружностями и прямымито D область ограниченная окружностями и прямымии область не примыкает к плоскости х = 2. Значит, мы должны принять, что D область ограниченная окружностями и прямымии определить D область ограниченная окружностями и прямымисистемой неравенств

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Перейдем от тройного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Используя свойства определенного интеграла, последовательно
интегрируем сначала по z (считая хну постоянными), затем по у
(считая х постоянной), затем по х:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямыми

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D область ограниченная окружностями и прямыми ограничена поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

1.Поскольку D область ограниченная окружностями и прямыми— тело вращения вокруг оси OZ, удобно перейти
к цилиндрическим координатам

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый интеграл определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямыминеравенствами. Для этого сначала заменим в уравнениях поверхностей х на D область ограниченная окружностями и прямымии у на D область ограниченная окружностями и прямымиТогда D область ограниченная окружностями и прямыми
определяется неравенствами D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми

Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение D область ограниченная окружностями и прямымиотносительно D область ограниченная окружностями и прямымиЕсли оно имеет два решения D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымито исследуем какая из функций D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямымибольше другой на промежутке D область ограниченная окружностями и прямымиПредположим для определенности, что D область ограниченная окружностями и прямымипри D область ограниченная окружностями и прямымиТогда область D область ограниченная окружностями и прямымиопределяется системой неравенств

D область ограниченная окружностями и прямыми

Если уравнение D область ограниченная окружностями и прямымиимеет единственное положительное решение D область ограниченная окружностями и прямымито неравенства для D область ограниченная окружностями и прямымиимеют вид D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Переходим от тройного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного
интеграла.

Пример:

Вычислить тройной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D область ограниченная окружностями и прямымиограничена поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Поскольку D область ограниченная окружностями и прямыми— тело вращения вокруг оси OZ, удобно перейти
к цилиндрическим координатам

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый интеграл определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямыминеравенствами. Для этого сначала заменим
в уравнениях поверхностей х на D область ограниченная окружностями и прямымии у на D область ограниченная окружностями и прямымиТогда D область ограниченная окружностями и прямымиопределяется неравенствами D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми

Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение

D область ограниченная окружностями и прямыми

Это уравнение имеет единственное положительное решение D область ограниченная окружностями и прямыми
Следовательно, D область ограниченная окружностями и прямыми. При D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Таким образом, область D область ограниченная окружностями и прямымиопределяется системой неравенств:

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Переходим от тройного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Последовательно интегрируя, получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямыми

Тройной интеграл в сферических координатах

Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D область ограниченная окружностями и прямыми ограничена поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

1.Поскольку D область ограниченная окружностями и прямымиограничена сферой и круглым конусом, удобно
перейти к сферическим координатам

D область ограниченная окружностями и прямыми

Возможные границы изменения сферических координат суть

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый интеграл определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Заменяем в уравнениях поверхностей х на D область ограниченная окружностями и прямымиу на D область ограниченная окружностями и прямымии z на D область ограниченная окружностями и прямымиПолучаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямымис помощью системы неравенств:

D область ограниченная окружностями и прямыми

где границы изменения D область ограниченная окружностями и прямыминаходим, решая уравнение D область ограниченная окружностями и прямыми
учитывая, что D область ограниченная окружностями и прямымиможет изменяться только от 0 до D область ограниченная окружностями и прямыми

Замечание. Если D область ограниченная окружностями и прямымиограничена также плоскостями D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымипроходящими через ось OZ, уравнения которых в сферических координатах имеют вид D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыминаходим границы изменения D область ограниченная окружностями и прямымирешая эти уравнения.

4.Переходим от тройного интеграла к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного
интеграла.

Пример:

Вычислить тройной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D область ограниченная окружностями и прямымиограничена поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Поскольку D область ограниченная окружностями и прямыми— область, ограниченная верхней полусферой и
верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый интеграл определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Заменяем в уравнениях поверхностей x на D область ограниченная окружностями и прямымиу на D область ограниченная окружностями и прямымии z на D область ограниченная окружностями и прямымиПолучаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямымис помощью системы неравенств:

D область ограниченная окружностями и прямыми

4.Переходя от тройного интеграла к повторному и последовательно интегрируя, получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ.D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисление объемов с помощью тройного интеграла

Постановка задачи. Найти объем тела D область ограниченная окружностями и прямыми ограниченного заданными поверхностями.

План решения. Искомый объем равен

D область ограниченная окружностями и прямыми

1.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямыминеравенствами.

2.Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Найти объем тела D область ограниченная окружностями и прямымиограниченного поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямыминеравенствами. Поскольку D область ограниченная окружностями и прямыми
для х имеем неравенства D область ограниченная окружностями и прямымиПоскольку у фигурирует под знаком квадратного корня, D область ограниченная окружностями и прямымиДля z возможны неравенства
D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямымиВ первом случае D область ограниченная окружностями и прямымиВо втором случае D область ограниченная окружностями и прямымит.е. область неограничена, что неприемлемо.

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Вычисляем объем по формуле (1), сводя тройной интеграл к
повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. V = 1 ед. объема.

Пример:

Найти объем тела D область ограниченная окружностями и прямымиограниченного поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Поскольку D область ограниченная окружностями и прямыми— тело вращения вокруг оси OZ, удобно использовать цилиндрические координаты

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый объем определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область D область ограниченная окружностями и прямымиограничена поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямыминеравенствами. Возможны два случая: либо D область ограниченная окружностями и прямымилибо D область ограниченная окружностями и прямымиВ первом случае D область ограниченная окружностями и прямымиво втором случае D область ограниченная окружностями и прямымит.е. область неограничена, что неприемлемо.

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Вычисляем объем по формуле (2), сводя тройной интеграл к
повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямымиед. объема.

Пример:

Найти объем тела D область ограниченная окружностями и прямыми, ограниченного поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Поскольку D область ограниченная окружностями и прямыми— область, ограниченная верхней полусферой и
верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомый объем определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

Заменяем в уравнениях поверхностей х на D область ограниченная окружностями и прямымиу на D область ограниченная окружностями и прямымии z на D область ограниченная окружностями и прямымиПосле преобразований получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Область D область ограниченная окружностями и прямымиограничена этими поверхностями.

2.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямымисистемой неравенств

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Вычисляем объем по формуле (3), сводя тройной интеграл к
повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямымиед. объема.

Вычисление массы тела

Постановка задачи. Найти массу тела D область ограниченная окружностями и прямыми с плотностью D область ограниченная окружностями и прямыми ограниченного заданными поверхностями.

1.Масса тела D область ограниченная окружностями и прямымис плотностью D область ограниченная окружностями и прямымиопределяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямыминеравенствами.

3.Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Найти массу тела D область ограниченная окружностями и прямымис плотностью D область ограниченная окружностями и прямымиограниченного поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Масса тела D область ограниченная окружностями и прямымис плотностью D область ограниченная окружностями и прямымиопределяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямыминеравенствами. Поскольку D область ограниченная окружностями и прямыми
для х имеем неравенства D область ограниченная окружностями и прямымиПоскольку у фигурирует под знаком квадратного корня, D область ограниченная окружностями и прямымиДля z возможны неравенства
D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямымиВ первом случае D область ограниченная окружностями и прямымиВо втором случае D область ограниченная окружностями и прямымит.е. область неограничена, что неприемлемо.

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Вычисляем m, сводя тройной интеграл к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. m = 1 ед. массы.

Пример:

Найти массу тела D область ограниченная окружностями и прямымис плотностью D область ограниченная окружностями и прямымиограниченного поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Масса тела D область ограниченная окружностями и прямымис плотностью D область ограниченная окружностями и прямымиопределяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

Поскольку D область ограниченная окружностями и прямыми— тело вращения вокруг оси OZ, удобно перейти к
цилиндрическим координатам

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомая масса определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

Заменяем в уравнениях поверхностей х на D область ограниченная окружностями и прямымии у на D область ограниченная окружностями и прямымиПолучим

D область ограниченная окружностями и прямыми

2.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямымисистемой неравенств

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Вычисляем m, сводя тройной интеграл к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямымиед. массы.

Пример:

Найти массу тела D область ограниченная окружностями и прямымис плотностью D область ограниченная окружностями и прямымиограниченного поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Решение:

1.Масса тела D область ограниченная окружностями и прямымис плотностью D область ограниченная окружностями и прямымиопределяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

Поскольку D область ограниченная окружностями и прямыми— область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам:

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом D область ограниченная окружностями и прямымиа искомая масса определяется формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

Заменяем в уравнениях поверхностей х на D область ограниченная окружностями и прямымиу на D область ограниченная окружностями и прямымии z на D область ограниченная окружностями и прямымиПолучаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Область D область ограниченная окружностями и прямымиограничена этими поверхностями.

2.Зададим область D область ограниченная окружностями и прямымисистемой неравенств

D область ограниченная окружностями и прямыми

3.Вычисляем m, сводя тройной интеграл к повторному:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Здесь мы воспользовались формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ответ. D область ограниченная окружностями и прямыми

Видео:Как расставить пределы интегрирования в двойном интегралеСкачать

Как расставить пределы интегрирования в двойном интеграле

Определение кратного интеграла

D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми

Глава 26

Видео:Двойной интеграл по прямоугольной областиСкачать

Двойной интеграл по прямоугольной области

Решение кратных интегралов

Задача, приводящая к понятию двойноrо интеграла. Определение двойного интеграла

К понятию двойного интеграла мы приходим, решая конкретную задачу вычисления объема цилиндрического тела.

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью D область ограниченная окружностями и прямыми, некоторой поверхностью D область ограниченная окружностями и прямыми, D область ограниченная окружностями и прямыми, и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси (см. рис.l).

Область D область ограниченная окружностями и прямымиизменения переменных D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыминазывается основанием цилиндрического тела.

При определении объема тела будем исходить из двух принципов:

1)если разбить тело на части, то его объем, равен сумме объемов всех частей (свойство аддитивности);

2) объем прямого цилиндра, ограниченного плоскостью D область ограниченная окружностями и прямыми, параллельной плоскости D область ограниченная окружностями и прямыми, равен площади основания, умноженной на высоту.

В дальнейшем мы будем предполагать, что область D является связной (состоящей из одного куска), квадрируемой (т. е. имеющей площадь) и ограниченной (т. е. расположенной внутри некоторого круга с центром в начале координат) .

Пусть D область ограниченная окружностями и прямыми— непрерывная функция точки D область ограниченная окружностями и прямымив области D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямымивсюду в области D область ограниченная окружностями и прямыми, т. е. что рассматриваемая цилиндрическая поверхность целиком лежит над плоскостью D область ограниченная окружностями и прямыми. Обозначим объём цилиндрического тела через D область ограниченная окружностями и прямыми.

Разобъём область D область ограниченная окружностями и прямыми— основание цилиндрического тела на некоторое число D область ограниченная окружностями и прямыминепересекающихся квадрируемых областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через D область ограниченная окружностями и прямымиа их площади — через D область ограниченная окружностями и прямымисоответственно. Назовем диаметром частичной области D область ограниченная окружностями и прямымивеличину D область ограниченная окружностями и прямымигде символ D область ограниченная окружностями и прямымиозначает расстояние между точками D область ограниченная окружностями и прямымии D область ограниченная окружностями и прямыми. Обозначим через D область ограниченная окружностями и прямыминаибольший из диаметров частичных областей D область ограниченная окружностями и прямыми. Проведем через границу каждой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси D область ограниченная окружностями и прямыми. В результате цилиндрическое тело окажется разбитым на D область ограниченная окружностями и прямымичастичных цилиндрических тел. Заменим D область ограниченная окружностями и прямыми-oe частичное тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной аппликате какой-нибудь точки заменяемой поверхности (рис. 2). Объем такого цилиндра равен D область ограниченная окружностями и прямымигде точка D область ограниченная окружностями и прямыми— площадь D область ограниченная окружностями и прямымиобласти D область ограниченная окружностями и прямыми.

Проделав описанные построения для каждого частичного цилиндрического тела:, получим D область ограниченная окружностями и прямыми-cтyпенчaтoe тело, объем которого D область ограниченная окружностями и прямыми(1)

Интуитивно ясно, D область ограниченная окружностями и прямымитем точнее выражает искомый объем D область ограниченная окружностями и прямыми, чем меньше размеры частичных областей D область ограниченная окружностями и прямыми.

Принимаем объем D область ограниченная окружностями и прямымицилиндрического тела равным пределу, к которому стремится объем (1) D область ограниченная окружностями и прямыми-ступенчатоrо тела nри D область ограниченная окружностями и прямымии стремлении к нулю наибольшего диаметра D область ограниченная окружностями и прямымичастичных областей D область ограниченная окружностями и прямыми. Естественно, предел не должен зависеть от вида разбиения области D область ограниченная окружностями и прямымина частичные области D область ограниченная окружностями и прямыми: и от выбора точек D область ограниченная окружностями и прямымив частичных областях.

Пусть D область ограниченная окружностями и прямыми— произвольная функция, заданная в области D область ограниченная окружностями и прямыми. Сумма D область ограниченная окружностями и прямыми(1) называется интегральной суммой для функции D область ограниченная окружностями и прямымипо области D область ограниченная окружностями и прямыми, соответствующей данному разбиению этой области на D область ограниченная окружностями и прямымичастичных областей и данному выбору точек D область ограниченная окружностями и прямымина частичных областях D область ограниченная окружностями и прямыми.

Определение:

Если nри D область ограниченная окружностями и прямымисуществует предел интегральных сумм D область ограниченная окружностями и прямыми, не зависящий ни от способа разбиения области D область ограниченная окружностями и прямымина частичные области, ни от выбора точек D область ограниченная окружностями и прямымив частичных областях, то он называется двойным интегралом от функции D область ограниченная окружностями и прямыми( или D область ограниченная окружностями и прямыми) по области D область ограниченная окружностями и прямымии обозначается символом: D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми.

Итак, D область ограниченная окружностями и прямыми(2)

Сама функция D область ограниченная окружностями и прямымипри этом называется интегрируемой в области D область ограниченная окружностями и прямыми( D область ограниченная окружностями и прямымиподынтегральная функция­, D область ограниченная окружностями и прямымиподынтегральное выражение, D область ограниченная окружностями и прямымидифференциал (или элемент) площади, область D область ограниченная окружностями и прямымиобласть интегрирования, точка D область ограниченная окружностями и прямымипеременная точка интегрирования)

Возвращаясь к цилиндрическому телу, заключаем: объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью D область ограниченная окружностями и прямыми, поверхностью D область ограниченная окружностями и прямыми, и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси D область ограниченная окружностями и прямыми, равен двойному интегралу от функции D область ограниченная окружностями и прямымипо области D область ограниченная окружностями и прямыми, являющейся основанием цилиндрического тела D область ограниченная окружностями и прямымиили D область ограниченная окружностями и прямыми

Здесь D область ограниченная окружностями и прямыми— элемент площади в декартовых координатах. Таков геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции.

Если D область ограниченная окружностями и прямымив D область ограниченная окружностями и прямыми, то объем D область ограниченная окружностями и прямыми.

Если в области D область ограниченная окружностями и прямымифункции D область ограниченная окружностями и прямымипринимает как положительные, так и отрицательные значения, то интеграл D область ограниченная окружностями и прямымипредставляет алгебраическую сумму объемов тех частей тела, которые расположены над плоскостью D область ограниченная окружностями и прямыми(берутся со знаком D область ограниченная окружностями и прямыми), и тех частей тела, которые расположены под плоскостью D область ограниченная окружностями и прямыми(берутся со знаком D область ограниченная окружностями и прямыми).

К составлению сумм вида (l) для функции двух независимых переменных и к последующему­ переходу приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме цилиндрического тела.

Сформулируем достаточные условия интегрируемости.

Теорема:

Всякая функция D область ограниченная окружностями и прямыми, непрерывная в ограниченной замкнутой области D область ограниченная окружностями и прямыми, интегрируема в этой области.

Требование непрерывности подынтегральной функции часто оказывается слишком стеснительным. Для приложений важна следующая теорема, гарантирующая существование двойного интеграла для некоторого класса разрывных функций.

Будем говорить, что некоторое множество точек плоскости, имеет площадь нуль, если ero можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади.

Теорема:

Если функция D область ограниченная окружностями и прямымиограничена в замкнутой ограниченной области D область ограниченная окружностями и прямымии непрерывна повсюду в D область ограниченная окружностями и прямыми, кроме некоторого множества точек площади нуль, то эта функция интегрируема в области D область ограниченная окружностями и прямыми.

Основные свойства двойного интеграла

Двойные интегралы обладают рядом свойств, аналогичных свойствам определенного интеграла для функций одной независимой переменной.

Линейное свойство

Если функции f(P) и φ(Р) интегрируемы в области D, а а и β — любые вещественные числа, то функция af(P) + βφ(Р) также интегрируема в области D, причем
(1)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Интегрирование неравенств

Если функции f(P) и φ(Р) интегрируемы в области D и всюду в этой области

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

т. е. неравенства можно интегрировать. В частности, интегрируя очевидные неравенства

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Площадь плоской области

Площадь плоской области D равна двойному интегралу по этой области от функции, тождественно равной единице. Действительно, интегральная сумма для функции f(P) = 1 в области D имеет вид

D область ограниченная окружностями и прямыми

и при любом разбиении области D на частичные области Dk равна ее площади S. Но тогда и предел этой суммы, т. е. двойной интеграл, равен площади S области D:
(3)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Оценка интеграла

Пусть функция f(Р) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, пусть М и т — наибольшее и наименьшее значения f(Р) в области D и S — ее площадь. Тогда
(4)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Аддитивность

Если функция f(P) интегрируема в области D и область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек, то f<Р) интегрируема на каждой из областей D1 и D2, причем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Теорема о среднем значении

Теорема:

Если функция f(P) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то найдется по крайней мере одна тонка Ре области D такая, что будет справедлива формула
(6)

D область ограниченная окружностями и прямыми

где S — площадь области D.

В самом деле, так как f(P) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она принимает в D свое наибольшее значение М и свое наименьшее значение т. По свойству 4 об оценке интеграла имеем

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Таким образом, число

D область ограниченная окружностями и прямыми

заключено между наибольшим и наименьшим значениями функции f(P) в области D. В силу непрерывности функции f(P) в области D она принимает в некоторой точке Рe ∈ D значение, равное этому числу,

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Значение f (Pe), определяемое по формуле (7), называется средним значением функции f(Р) в области D.

Геометрический смысл теоремы о среднем значении

Если в области D функция f(Р) ≥ 0, то формула (6) означает, что существует прямой цилиндр с основанием D (площадь которого равна S) и высотой H = f(Pe), объем которого равен объему цилиндрического тела (рис. 3).

Сведение двойного интеграла к повторному

Одним из эффективных способов вычисления двойного интеграла является сведение его к повторному.

Случай прямоугольника

Пусть область D — замкнутый прямоугольник П со сторонами, параллельными осям координат

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пусть функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике П. Двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

можно интерпретировать как (алгебраический) объем цилиндрического тела с основанием П, ограниченного поверхностью

z = f(х, y).

Рассмотрим соответствующее цилиндрическое тело. Проведем плоскость

D область ограниченная окружностями и прямыми

перпендикулярную оси Оу (рис. 4). Эта плоскость рассечет цилиндрическое тело по криволинейной трапеции АВВ1А1, ограниченной сверху плоской линией z, описываемой уравнениями

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Площадь трапеции АВВ1А1 выражается интегралом

D область ограниченная окружностями и прямыми

где интегрирование производится по х, а уо — второй аргумент подынтегральной функции — рассматривается при этом как постоянный (с ≤ уо ≤ d). Величина интеграла (1) зависит от выбора значения уо. Положим
(2)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Выражение (2) дает площадь поперечного сечения цилиндрического тела как функции от у. Поэтому объем цилиндрического тела можно вычислить по формуле

D область ограниченная окружностями и прямыми

С другой стороны, этот объем выражается двойным интегралом от функции f(х, у) по прямоугольнику П. Значит,

D область ограниченная окружностями и прямыми

Заменяя S(y) его выражением (2), получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

Последнее соотношение обычно записывается так
(3)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Объем цилиндрического тела можно отыскать также по площадям сечений плоскостями х = х0. Это приводит к формуле
(4)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Каждое из выражений, стоящих в правых частях формул (3) и (4), содержит две последовательные операции обыкновенного интегрирования функции f(x, у). Они называются повторными интегралами от функции f(х, у) по области П.

Если f(x, у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, то переход к повторным интегралам всегда возможен и
(5)

D область ограниченная окружностями и прямыми

т. е. значения повторных интегралов от непрерывной функции f(х, у) не зависят от порядка интегрирования.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример:

Найти двойной интеграл от функции

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

4 Имеем (см. рис. 5):

D область ограниченная окружностями и прямыми

Случай произвольной области

Предположим теперь, что областью интегрирования является произвольная ограниченная квадрируемая замкнутая область D на плоскости хОу, удовлетворяющая следующему условию: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области D не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 6 а). Заключим область D внутрь прямоугольника

D область ограниченная окружностями и прямыми

так, как показано на рис. 66. Отрезок [а, b] является ортогональной проекцией области D на ось Ох, а отрезок [с, d] — ортогональной проекцией области D на ось Оу. Точками А и С граница области D разбивается на две кривые ABC и АЕС. Каждая из этих кривых пересекается с произвольной прямой, параллельной оси Оу, не более чем в одной точке. Поэтому их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно у:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пусть f(x, у) — некоторая функция, непрерывная в области D. Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело плоскостью

х = const (а D область ограниченная окружностями и прямыми

В сечении получим криволинейную трапецию PQMN (рис.7), площадь которой выражается обыкновенным интегралом от функции f(x, у),рассматриваемой как функция одной переменной у. При этом переменная у изменяется от ординаты φ1(x) точки Р до ординаты φ2(х) точки Q; точка Р есть точка «входа» прямой х = const (в плоскости хОу) в область D, a Q — точка ее «выхода» из этой области. Так как уравнение кривой ABC есть у = φ(x), а кривой АЕС — у = φ2(х), то эти ординаты при взятом х соответственно равны φ1(x) и φ2(х). Следовательно, интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

дает нам выражение для площади плоского сечения цилиндрического тела как функции положения секущей плоскости x = const.

Объем всего тела будет равен интегралу от этого выражения по х в промежутке изменения х (a ≤ х ≤ b). Таким образом,
(8)

D область ограниченная окружностями и прямыми

В частности, для площади S области D получим (9)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Предположим теперь, что каждая прямая

у = const (с ≤ у ≤ d)

пересекает границу области D не более чем в двух точках Р и Q, абсциссы которых равны ψ1(у) и ψ2 <y) соответственно (или по целому отрезку) (рис. 8). Проводя аналогичные рассуждения, приходим к формуле
(10)

D область ограниченная окружностями и прямыми

также сводящей вычисление двойного интеграла к повторному.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример:

Вычислить двойной интеграл от функции

f(x, у) = 2х — у + 3

по области D, ограниченной линиями у = х и у = х2 (рис.9).

Первый способ. Изобразим область интегрирования D. Прямая у = х и парабола у = х2 пересекаются в точках O(0,0) и M(l,1). Значит, х изменяется в пределах от 0 до I, a ψ1(x) = х2 и ψ2(х) = х. Любая прямая х = const (0 ≤ х ≤ 1) пересекает границу области не более чем в двух точках. Поэтому применима формула (8):

D область ограниченная окружностями и прямыми

Второй способ (рис. 10). Применяя формулу (10), получим тот же результат:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример:

Вычислить обьем тела, ограниченного поверхностью
и плоскостью хОу.

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

пересекается с плоскостью хОу по линии

D область ограниченная окружностями и прямыми

Это — эллипс с полуосями а = 1/2 и b = 1 (рис. 11).

D область ограниченная окружностями и прямыми

В силу симметрии данного тела относительно координатных плоскостей xОz и уOz получаем:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Замечание:

Если область D такова, что некоторые прямые (вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках, то для вычисления двойного интеграла по области D следует разбить ее подходящим образом на части, свести к повторному каждый из интегралов по этим частям и полученные результаты сложить.

Пример:

Вычислить двойной интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

по области D, заключенной между двумя квадратами с центрами в начале координат и сторонами, параллельными осям координат, если сторона внутреннего квадрата равна 2, а внешнего — 4.
Функция

D область ограниченная окружностями и прямыми

непрерывна как в большом квадрате Q, сторона которого равна 4, так и в малом квадрате Р, сторона которого равна 2 (рис. 12).

D область ограниченная окружностями и прямыми

Согласно теореме 1, интегралы от функции е z+y по указанным квадратам существуют, так что величина искомого интеграла

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Замена переменных в двойном интеграле

Понятие криволинейных координат точки:

Пусть в области D* плоскости uOv задана пара функций

D область ограниченная окружностями и прямыми

которые мы будем считать непрерывными в этой области и имеющими непрерывные частные производные. В силу уравнения (1) каждой точке М*, v) области D* отвечает одна определенная точка М(х, у) в плоскости хОу и тем самым точкам области D* отвечает некоторое множество D точек (x, у) в плоскости хОу (рис. 13). При этом говорят, что функции (1) осуществляют отображение области D на множество D.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Предположим, что различным точкам (и, v) отвечают различные точки (х,у). Это равносильно однозначной разрешимости уравнений (1) относительно и, v:

D область ограниченная окружностями и прямыми

В этом случае отображение называется взаимно однозначным отображением области D* на область D. При таком преобразовании любая непрерывная кривая L*, лежащая в области D*, перейдет в непрерывную кривую L, лежащую в области D. Если функции g(х, у) и h(x,y) также непрерывны, то любая непрерывная линия L ⊂ D с помощью преобразования (2) перейдете непрерывную линию L* ⊂ D*.

По заданной паре uо, vo значений переменных и, v из области D* можно однозначно определить не только положение точки М*(и0, vo) в самой области D*, ной положение соответствующей точки М(хо, уо) в области D, xо = φ(uo, vo), уо = ψ(uо. vо). Это дает основание рассматривать числа u, v как некоторые новые координаты точки D области М на плоскости хОу. Их называют криволинейными координатами точки М.

Множество точек области D, у которых одна из координат сохраняет постоянное значение, называют координатной линией. Полагая в формуле (1) и = vo, получим параметрические уравнения координатной линии,

D область ограниченная окружностями и прямыми

Здесь роль параметра играет переменная и. Придавая координате v различные (возможные для нее) постоянные значения, получим семейство координатных линий (v = const) на плоскости хОу. Аналогично получаем и другое семейство координатных линий (u = const).

При наличии взаимно однозначного соответствия между областями D* и D различные координатные линии одного и того же семейства Hie пересекаются между собой, и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства. Сетка криволинейных координатных линий на плоскости хОу является образом прямоугольной сетки на плоскости uOv (см. рис. 13).

Элемент площади в криволинейных координатах. Якобиан и его геометрический смысл

Выделим в области D* на плоскости Uo*V малый прямоугольник P’pj Р3Р4 со сторонами, параллельными осям координат О и О* v и длинами сторон ∆u и ∆v (для определенности считаем, что ∆u > О, ∆v > 0) соответственно (рис. 14а). Его площадь

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Прямоугольник P*1P*2P*3P*4 переходит в криволинейный четырехугольник Р1Р2Р3Р4 в области D (рис. 146). Если вершины Р*i(i = 1, 2, 3,4) имеют координаты

D область ограниченная окружностями и прямыми

то, согласно формулам (1), соответствующие им вершины Рi имеют координаты

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пользуясь формулой Тейлора для функции двух переменных и ограничиваясь членами первого порядка относительно ∆и и ∆v, получим следующие приближенные значения координат для вершин четырехугольника Р1Р2Р3Р4:

D область ограниченная окружностями и прямыми

где функции φ, ψ и все их производные вычислены в точке (и, v). Найденные выражения для координат точек показывают, что с точностью до малых высшего порядка четырехугольник Р1Р2Р3Р4 есть параллелограмм. Это следует из того, что

D область ограниченная окружностями и прямыми

Тогда площадь ∆S четырехугольника Р1Р2Р3Р4 можно приближенно выразить через длину векторного произведения D область ограниченная окружностями и прямыми,

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

называется функциональным определителем функций φ<и, v), ψ (u, v), или якобианом. Итак, (6)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Выражение в правой части (6) называется элементом площади в криволинейных координатах. Так как ∆и ⋅ ∆v,to из формулы (6) получаем, что

D область ограниченная окружностями и прямыми

Равенство (7) является приближенным. Однако в пределе, когда диаметры площадок ∆S* и ∆S стремятся к нулю, оно переходит в точное:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Из формул (7) и (8) видано, что абсолютная величина якобиана играет роль локального коэффициента растяжения области D* (в данной точке (u, v)) при отображении ее на область D при помощи формул преобразования (1).

Формула замены переменных в двойном интеграле

D область ограниченная окружностями и прямыми

осуществляют взаимнооднозначное отображение области D* на D и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Пусть в области D на плоскости хОу задана непрерывная функция

D область ограниченная окружностями и прямыми

Каждому значению функции z = f(x, у) в области D соответствует равное значение функции z = F(u, v) в области D*, где

D область ограниченная окружностями и прямыми

Разобьем область D* на частичные области и построим соответствующее разбиение области D. Выберем в соответствующих частичных областях точки (u, v) и (х, у) так, чтобы значения функций F(u, v) и f(x, у) в них совпадали, и составим интегральные суммы для функций z = f(x, у) и F(u,v) по областям D и D*. Получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

и J(и, v) — якобиан функций φ(и, v) и ψ =(u, v). Переходя в равенстве (9) к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра d* частичных областей D*k (в силу непрерывности отображения (1) будет стремиться к нулю и наибольший из диаметров d частичных областей в D), будем иметь

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Условие J ≠ 0 является условием локальной взаимноoднозначности отображения, осуществляемого функциями φ(и, v) и ψ =(u, v).

Теорема:

Для того чтобы преобразовать двойной интеграл, заданный в декартовых координатах, в двойной интеграл в криволинейных координатах, нужно заменить в подынтегральной функции f(x, у) переменные х и у соответственно через φ(и, v) и ψ =(u, v), а элемент площади dx dyего выражением в криволинейных координатах:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболами

D область ограниченная окружностями и прямыми

где х > 0, у > 0, 0 D область ограниченная окружностями и прямыми

где 0 D область ограниченная окружностями и прямыми

по области D. Введем новые, криволинейные координаты и и v формулами

D область ограниченная окружностями и прямыми

Из условия задачи ясно, что a2 ≤ u ≤ b2. а ≤ v ≤ β. Значит, в плоскости uOv мы получили прямоугольник (рис. 15b)

D область ограниченная окружностями и прямыми

— фигуру Солее простую, чем заданная фигура D.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Выразим х и у из соотношений (11) через u и v:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

По формуле (10) при f(x,y) = 1 получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

Двойной интеграл в полярных координатах

Вычисление двойного интеграла часто упрощается заменой прямоугольных координат х и у полярными координатами р и φ по формулам

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Элемент площади в полярных координатах имеет вид
(13)

D область ограниченная окружностями и прямыми

и формулу перехода от интеграла в декартовых координатах к интегралу в полярных координатах можно записать так:
(14)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Элемент площади в полярных координатах можно подучить и из геометрических соображений (см. рис. 16).

D область ограниченная окружностями и прямыми

Площадь заштрихованной на рисунке области

D область ограниченная окружностями и прямыми

Отбрасывая бесконечно малую величину высшего порядка, получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

за элемент площади в полярных координатах.

Итак, чтобы преобразовать двойной интеграл в декартовых координатах в двойной интеграл в полярных координатах, нужно х к у в подынтегральной функции заменить соответственно через р cos φ и р sin φ, а элемент площади в декартовых координатах dx dy заменить элементом площади в полярных координатах р dp dφ.

Займемся теперь вычислением двойного интеграла в полярных координатах. Как и в случае прямоугольных декартовых координат, вычисление интеграла в полярных координатах осуществляется путем сведения его к повторному интегралу.

Рассмотрим сначала случай, когда полюс О лежит вне заданной области D. Пусть область D обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса (координатная линия φ = const) пересекает ее границу не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 17). Отметим крайние значения φ1 и φ2 полярного угла φ, φ1 ≤ φ ≤ φ2-Числа φ1 и φ2 являются пределами внешнего интегрирования.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Луч φ = φ1 проходит через точку А контура области D, а луч φ = φ2 — через точку В. Точки А и В разбивают контур области D на две части: АС В и AFB. Пусть р = v1( φ ) и р = v2( φ ) — их полярные уравнения, причем v1( φ ) и v2( φ ) — однозначные непрерывные функции φ, удовлетворяющие условию

D область ограниченная окружностями и прямыми

Функции v1( φ ) и v2( φ ) являются пределами внутреннего интегрирования. Переходя к повторным интегралам, получаем следующую формулу
(15)

D область ограниченная окружностями и прямыми

В частности, для площади S области D при F(p, φ) = 1 получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пусть теперь полюс О расположен внутри области D. Предположим, что область D является звездной относительно полюса, т. е. любой луч φ = const пересекает границу области только в одной точке или по целoму отрезку (рис. 18). Пусть р = v( φ ) — уравнение границы области в полярных координатах. Тогда
(16)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

— четверть единичного круга, расположенная в первом квадранте.

Перейдем к полярным координатам

= р cos φ, у = р sin φ.

Тогда областью интегрирования будет прямоугольник

D область ограниченная окружностями и прямыми

Преобразованный интеграл I легко вычисляется:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Замечание:

Если якобиан отличен от нуля в области D, то отображение в некоторой окрестности каждой точки этой области является взаимнооднозначным. При этом может, однако, случиться, что отображение всей области не будет взаимнооднозначным. Рассмотрим отображение, определяемое функциями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Якобиан этих функций равен

D область ограниченная окружностями и прямыми

и, следовательно, везде отличен от нуля. Несмотря на это, для u = 0, v = 0 и дня и = 0, v = 2π мы получим х = 1, у = 0, так что это отображение не является взаимнооднозначным.

С другой стороны, если якобиан отображения обращается в нуль в какой-нибудь точке, то, тем не менее, отображение в окрестности этой точки может оказаться взаимно однозначным. Например, для отображения, определяемого функциями

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

равен нулю и при и = 0, и при v = 0, но отображение является взаимнооднозначным. Обратное отображение определяется функциями

D область ограниченная окружностями и прямыми

Площадь поверхности

Интеграл по площади поверхности. Вычисление площади поверхности

Пусть задана поверхность π, однозначно проектирующаяся на область D плоскости хОу. Это означает, что данная поверхность задается уравнением

D область ограниченная окружностями и прямыми

Будем считать поверхность гладкой; это означает, что в области D функция f(x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные f’x(x, у) и f’y(x, у). Разобьем область D на квадрируемые подобласти

D область ограниченная окружностями и прямыми

без общих внутренних точек, площади которых обозначим соответственно через

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пусть d — наибольший из диаметров частичных областей Dk (k = 1,2,…, п). В каждой подобласти Dk выберем произвольную точку Pk( ξk, ηk)- На поверхности π точке Рk будет соответствовать точка Mk( ξk, ηk, ζk), где ζk= f( ξk, ηk) (рис. 19). Проведем в точке Мk касательную плоскость к поверхности π. Ее уравнение имеет следующий вид __(1)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Построим на границе частичной области dk, как на направляющей, цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz. Эта цилиндрическая поверхность вырежет из касательной плоскости, проведенной через точку Мk, область πk площади ∆qк. Площадка Пk проектируется на элементарную область Dk плоскости хОу взаимнооднозначно.

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Определение:

Если при d→0 сумма (2) имеет конечный предел S,

D область ограниченная окружностями и прямыми

то число S называется площадью поверхности π.
Таким образом, мы заменяем данную поверхность «чешуйчатой», затем подсчитываем плошадь этой «чешуйчатой» поверхности и переходим к пределу при стремлении диаметра «чешуек» к нулю (диаметры чешуек стремятся к нулю при d —> 0).

Перейдем теперь к выводу формулы, по которой вычисляют площадь поверхности. Известно, что площадь проекции плоской фигуры на какую-нибудь плоскость равна произведению площади проектируемой фигуры на косинус острого угла между плоскостью проекции и плоскостью, в которой лежит проектируемая фигура.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Обозначим через γk угол между касательной плоскостью к поверхности π в точке Мk и плоскостью хОу (рис. 20). Тогда

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Но угол γk есть в то же время угол между осью Oz и нормалью касательной плоскости к поверхности (1). Обозначим вектор нормали к касательной плоскости к поверхности в точке Мk через

D область ограниченная окружностями и прямыми

а через п2 = — единичный вектор оси Оz. Тогда получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

По условию функции f’z(x,y) и f’у(х, у) непрерывны в области D. Следовательно, функция

D область ограниченная окружностями и прямыми

непрерывна, а, значит, и интегрируема в области D. Поэтому при d → 0 сумма (5) имеет конечный предел,

D область ограниченная окружностями и прямыми

Учитывая равенство (3), определяющее площадь S поверхности заключаем, что
(6)

D область ограниченная окружностями и прямыми

где Dxy — проекция поверхности я- на плоскость хОу. Выражение
(7)

D область ограниченная окружностями и прямыми

называется элементом площади поверхности.

Если спроектировать участок поверхности π на плоскость хОу, то получим
(8)

D область ограниченная окружностями и прямыми

где Dyz — проекция участка поверхности на плоскость хОу. Соответственно, при проектировании на плоскость yOz имеем
(9)

D область ограниченная окружностями и прямыми

где Dyz — проекция участка поверхности на плоскость yOz.

Пример:

Найти площадь сферы радиуса R с центром в начале координат

D область ограниченная окружностями и прямыми

Уравнение верхней полусферы —

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Искомая площадь S

D область ограниченная окружностями и прямыми

Отметим следующие полезные формулы:

1) для элемента площади цилиндрической поверхности радиуса R
(10)

D область ограниченная окружностями и прямыми

2) для элемента площади сферической поверхности радиуса R
(11)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Используя формулу (11) для элемента площади сферической поверхности получим площадь сферы:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Интеграл по площади поверхности (интеграл по поверхности 1-го рода)

Пусть на гладкой поверхности π задана непрерывная функция f(М). Разобьем поверхность π на части

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

соответственно, выделим на каждой из частичных поверхностей по произвольной точке Mi, Мг,… , Мп и составим сумму

D область ограниченная окружностями и прямыми

которую будем называть интегральной суммой для функции f<М) по площади поверхности π.

Определение:

Если при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частичных поверхностей πk интегральная сумма (12) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения поверхности т на части, ни от выбора точек Mk, то этот предел называется интегралом от функции f(M) по площади поверхности π (интегралом по поверхности 1-го рода) и обозначается символом

D область ограниченная окружностями и прямыми

где dσ — элемент площади поверхности.
Общие свойства двойных интегралов легко переносятся на интегралы по площади поверхности. В частности, если поверхность π разбита на неперекрывающиеся части π1, π2,…, πn, то

D область ограниченная окружностями и прямыми

Теорема:

Пусть -к — гладкая поверхность, заданная уравнением z = φ(x, у), где (х,у)D, причем функция φ(х, у) имеет непрерывные частные производные в некоторой области D1, DD1. Пусть, далее, f(x, у, z) — непрерывная функция, определенная на поверхности π. Тогда справедливо равенство

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

где μ(Р) ≥ 0 на π, можно истолковать как массу π оболочки, представляющей собой поверхностью, на которой масса распределена с поверхностной плотностью μ = μ(Р).

Пример:

Найти массу параболической оболочки

D область ограниченная окружностями и прямыми

плотность которой меняется по закону μ = z (рис. 21).

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми

Тройной интеграл

Задача, приводящая к тройному интегралу

Пусть дано материальное тело, представляющее собой пространственную область Ω, заполненную массой. Требуется найти массу то этого тела при условии, что в каждой точке Р ∈ Ω известна плотность

D область ограниченная окружностями и прямыми

Разобьем область Ω на неперекрывающиеся кубируемые (т. е. имеющие объем) части

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

соответственно. В каждой из частичных областей Ωk выберем произвольную точку Рk. Примем приближенно, что в пределах частичной области Ωk плотность постоянна и равна μ(Рk)- Тогда масса ∆тk этой части тела выразится приближенным равенством

D область ограниченная окружностями и прямыми

а масса всего тела будет приближенно равна

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пусть d — наибольший из диаметров частичных областей Ωk(k = 1,2,…, п). Если при d —> О сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения области Ω на частичные подобласти, ни от выбора точек Рk ∈ Ωk, то этот предел принимается за массу т заданного тела,

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пусть в замкнутой кубируемой области Ω определена ограниченная функция

f(Р), Р ∈ Ω.

Разобьем Ω на п непересекающихся кубируемых частей

D область ограниченная окружностями и прямыми

а их объемы обозначим через

D область ограниченная окружностями и прямыми

соответственно. В каждой частичной подобласти Ωk произвольным образом выбираем точку Рk(хk, yk, zk) и составляем интегральную сумму

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пусть d — наибольший из диаметров частичных областей Ωk(k = 1, 2,…, п).

Определение:

Если при d → 0 интегральные суммы а имеют предел, не зависящий ни от способа разбиения области Ω на частичные подобласти Ωk, ни от выбора точек Рk ∈ Ωk, то этот предел называется тройным интегралом от функции f(x, у, z) по области Ω и обозначается символом

D область ограниченная окружностями и прямыми

При этом функция f(х, у, z) называется интегрируемой в области Ω.

Таким образом, по определению имеем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Возвращаясь к задаче о вычислении массы тела, замечаем, что предел (2) есть тройной интеграл от функции μ(Р) по области Ω. Значит,

D область ограниченная окружностями и прямыми

Здесь dx dy dz — элемент объема dv в прямоугольных координатах.

Теорема 6. Если функция f(x, у, z) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω, то она интегрируема в этой области.

Свойства тройных интегралов

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов. Перечислим основные из них.

Пусть функции f(Р) и φ(Р) интегрируемы в кубируемой области Ω.

1, Линейность.

D область ограниченная окружностями и прямыми

где а и β — произвольные вещественные постоянные.

2. f(Р) ≤ φ(P) всюду в области Ω, то

D область ограниченная окружностями и прямыми

3. Если f(P) ≡ 1 в области Ω, то

D область ограниченная окружностями и прямыми

где V — объем области Ω.

4. Если функция f(P) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω и М и т — ее наибольшее и наименьшее значения в Ω, то

D область ограниченная окружностями и прямыми

где V — объем области Ω.

5. Аддиктивность. Если область Ω разбита на кубируемые области Ω1 и Ω2 без общих внутренних точек и f(Р) интегрируема в области Ω,то f(P) интегрируема на каждой из областей Ω1 и Ω2, причем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Теорема о среднем значении

Теоремa:

Если функция f(P) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω, то найдется точка Рс ∈ Ω , такая, что будет справедлива формула

D область ограниченная окружностями и прямыми

где V — объем области Ω (напомним, что область — связное множество).

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Как и при вычислении двойных интегралов, дело сводится к вычислению повторных интегралов. Предположим, что функция f(х, у, z) непрерывна в некоторой области Ω.

1-й случай. Область Ω представляет собой прямоугольный параллелепипед

D область ограниченная окружностями и прямыми

проектирующийся на плоскость yOz в прямоугольник R;

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Заменяя двойной интеграл через повторный, окончательно получим
(2)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Таким образом, в случае, когда область Ω — прямоугольный параллелепипед, мы свели вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению трех обыкновенных интегралов.

Формулу (2) можно переписать в виде

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

есть ортогональная проекция параллелепипеда Ω на плоскость хОу.

2-й случай. Рассмотрим теперь область Ω такую, что ограничивающая ее поверхность S пересекается любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис.22).

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пусть z = φ1(x,y) уравнение поверхности S1, ограничивающей область Ω снизу, а поверхность S2, ограничивающая область Ω сверху, имеет уравнение z = φ2(x,y).

Пусть обе поверхности S1 и S2 проектируются на одну и ту же область плоскости хОу. Обозначим ее через D, а ограничивающую ее кривую через L. Остальная часть границы S тела Ω лежит на цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и с кривой L в роли направляющей. Тогда по аналогии с формулой (3) получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

Если область D плоскости хОу представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми у = ψ1(х) И y = ψ2(х) (а ≤ х ≤ b), то двойной интеграл в формуле (4) можно свести к повторному, и мы получим окончательно
(4)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Эта формула является обобщением формулы (2).

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример:

Вычислить объем тетраэдра, ограниченного плоскостями

x = 0, у = 0, z = 0 и х + 2у + z- 6 = 0.

Проекцией тетраэдра на плоскость хОу служит треугольник, образованный прямыми

x = 0, у = 0 и х + 2у = 6,

так что х изменяется от 0 до 6, а при фиксированном х (0 ≤ х ≤ 6) у изменяется от 0 до 3 — π/2 (рис. 23). Если же фиксированы и х, и у, то точка может перемещаться по вертикали от плоскости z=0 до плоскости x + 2y + z- 6 = 0, т. е. г меняется в пределах от 0 до 6 — х — 2у. По формуле (5) при f<x, у, z) = 1 получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Вопрос о замене переменных в тройном интеграле решается таким же путем, как и в случае двойного интеграла. Пусть функция f(x,y, z) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω, а функции

D область ограниченная окружностями и прямыми

непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой кубируемой области Ω*. Предположим, что функции (1) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между всеми точками ( ξ, η, ζ) области Ω*, с одной стороны, и всеми точками (х, у, z) области Ω — с другой. Тогда справедлива формула замены переменных в тройном интеграле —
(2)

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

— якобиан системы функций (1).

На практике при вычислении тройных интеграловчасто пользуются заменой прямоугольных координат цилиндрическими и сферическими координатами.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

В цилиндрической системе координат положение точки Р в пространстве определяется тремя числами р, φ, z, где р и φ — полярные координаты проекции Р» точки Р на плоскость хОу, a z — аппликата точки Р (рис. 24). Числа р, φ, z называются цилиндрическими координатами точки Р.

D область ограниченная окружностями и прямыми

В системе цилиндрических координат координатные поверхности

р = const, φ = const, z = const

соответственно описывают: круговой цилиндр, ось которого совпадает с осью Oz, полуплоскость, примыкающую к оси Oz, и плоскость, параллельную плоскости хОу.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими формулами

x = p cost φ, y = p sin φ, Z = Z (3)

(см. рис. 24). Для системы (3), отображающей область Ω на область Ω*, имеем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Так как p ≥ 0, то

|J|= p

и формула (2) перехода от тройного интеграла в прямоугольных координатах к интегралу в цилиндрических координатах принимает вид
(4)

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

называется элементом объема в цилиндрических координатах.

Это выражение для элемента объема может быть получено и из геометрических соображений. Разобьем область Ω на элементарные подобласти координатными поверхностями

р = const, φ = const, z = const

и вычислим объемы полученных криволинейных призм (рис. 25).

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Отбрасывая бесконечно малую величину более высокого порядка, получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Это позволяет принять за элемент объема в цилиндрических координатах следующую величину

dv = p dp dφ dz.

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

В цилиндрических координатах заданные поверхности будут иметь уравнения

D область ограниченная окружностями и прямыми

(см. формулы (3)). Эти поверхности пересекаются по линии г, которая описывается системой уравнений

D область ограниченная окружностями и прямыми

а ее проекция на плоскость хОу системой

р = 1, z = 0.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Искомый объем вычисляется по формуле (4), в которой f ≡ 1.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Тройной интеграл в сферических координатах

В сферической системе координат положение точки Р(х, у, z) в пространстве определяется тремя числами r, φ, θ, где r — расстояние от начала координат до точки Р, φ — угол между осью Ох и проекцией радиуса-вектора ОР точки Р на плоскость хОу, а θ — угол между осью Oz и радиусом-вектором ОР точки Р, отсчитываемый от оси Oz (рис. 27).

D область ограниченная окружностями и прямыми

Ясно, что 0 ≤ r D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычислим якобиан функций (5). Имеем

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

и формула (2) принимает вид
(6)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Элемент объема в сферических координатах —

D область ограниченная окружностями и прямыми

Выражение для элемента объема можно получить и из геометрических соображений. Рассмотрим элементарную область в пространстве, ограниченную сферами радиусов г и г + dr, конусами в и в + d$ и полуплоскостями D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример:

Найти объем выпуклого тела П, вырезаемого из конуса

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Переходим к сферической системе координат

D область ограниченная окружностями и прямыми

Из первых двух уравнений видно, что а ^ г ^ 6. Из третьего уравнения находим пределы изменения угла в:

D область ограниченная окружностями и прямыми

Тем самым, 0 ≤ θ ≤ π/4. Полагая в формуле (6) f(x, у, z) ≡ 1, получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

Приложения двойных и тройных интегралов

Масса плоской фигуры

Пусть задана плоская ограниченная фигура D, по которой непрерывным образом распределена масса с поверхностной плотностью μ(Р) = μ(х, у) ≥ 0, где μ(х, у) — функция, непрерывная в D. Разобьем фигуру D на п частей

D область ограниченная окружностями и прямыми

без общих внутренних точек, площади которых соответственно равны

D область ограниченная окружностями и прямыми

В каждой части (к = 1,2,…, п) произвольно выберем точку Рk(хk, уk) и вычислим в ней плотность μ(xk, yk). В силу непрерывности μ(х, у) можно считать, что масса mk части Dk фигуры D приближенно равна μ(хk, yk) ∆Sk, a масса всей фигуры — сумме

D область ограниченная окружностями и прямыми

Последняя является интегральной суммой для непрерывной функции μ(x, у) в области D. Переходя к пределу при d → 0 (здесь d — наибольший из диаметров частичных областей Dk(k = 1,…, п)), получим точное равенство
(1)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Если масса распределена равномерно по всей фигуре, μ = const, то формула (1) принимает вид

D область ограниченная окружностями и прямыми

где S — площадь фигуры D.

Пример:

Найти массу кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов r и R, где r D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Значит, масса кольца

D область ограниченная окружностями и прямыми

Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат. Координаты центра тяжести

Статическим моментом Мх материальной точки массы m относительно оси Ох называется произведение ту, где у — ордината материальной точки, т. е.

Здесь у может быть как положительным, так и отрицательным числом.

Разбивая фигуру D на части D1,…, Dn, выбирая в каждой части Dk произвольно точку Pk(xk, yk) и считая, что масса этой k-й части приближенно равна μ(хk, yk) ∆Sk и сосредоточена в точке Pk(xk,yk), запишем приближенно величину статического момента фигуры D относительно оси Ох. Имеем

D область ограниченная окружностями и прямыми

где ∆Sk — площадь части Dk, а μ(х, у) — поверхностная плотность. Переходя к пределу при d —» 0, получаем
(3)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Статический момент фигуры D относительно оси Оу находится по аналогичной формуле
(4)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Если известны статические моменты Мх и Му и масса m плоской фигуры, то координаты центра тяжести этой фигуры находятся по следующим формулам
(5)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Если μ = const, т = μS, где S — площадь фигуры D, и формулы (5) принимают вид:
(6)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример:

Hайти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной косинусоидой

D область ограниченная окружностями и прямыми

осью Ох и осью Оу.

Так как фигура — однородная, то координаты центра тяжести будем искать по формулам (б). Найдем сначала площадь 5 заданной фигуры. Имеем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Затем найдем статические моменты Mz и Му

D область ограниченная окружностями и прямыми

Теперь no формулам (6) получаем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат

Рассуждая аналогично изложенному выше, легко установить, что элементарные моменты инерции относительно осей Ох и Оу будут соответстве нно равны

D область ограниченная окружностями и прямыми

Интегрируя по плоской фигуре D, получим формулы для самих моментов инерции (7), (8)

D область ограниченная окружностями и прямыми

где, как и ранее, μ(x, у) — поверхностная плотность распределения масс.

Вычисление массы тела

Рассматривая задачу, приводящую к тройному интегралу, мы показали, что если известна плотность распределения масс ц(х, у, z) в каждой точке некоторого тела Ω, то масса этого тела вычисляется по формуле
(9)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Мы предполагаем, что функция μ(х, у, z) непрерывна в области Ω.

Пример:

Вычислить массу m тела, ограниченного полусферами

D область ограниченная окружностями и прямыми

и плоскостью хОу, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точм до начала координат.

По условию задачи плотность μ в точке (x,y,z) выражается формулой

D область ограниченная окружностями и прямыми

где к > 0 — коэффициент пропорциональности. Тогда

D область ограниченная окружностями и прямыми

Переходя к сферическим координатам, получим, что

D область ограниченная окружностями и прямыми

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей. Центр тяжести

Напомним, что задача о вычислении статических моментов и центра тяжести плоской фигуры решалась при помощи двойных интегралов (см. формулы (3), (4) и (5)). Задачи о вычислении статических моментов тела Ω относительно координатных плоскостей и отыскания центра тяжести тела Ω решаются аналогичным способом при помощи тройных интегралов. Например, элементарный статический момент относительно плоскости хОу равен

D область ограниченная окружностями и прямыми

где μ(x, у, z) — плотность. Отсюда статический момент
(10)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Аналогично выписываются статические моменты относительно плоскостей хОу и Y

D область ограниченная окружностями и прямыми

Вычислив массу m тела Ω и его статические моменты, легко найти координаты центра тяжести тела: (11)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Если тело однородно, то плотность μ = const и формулы (11) упрощаются — постоянный множитель μ в числителе можно вынести за знак интеграла и сократить на него числитель и знаменатель (ибо т = μy). Тогда получим (12)

D область ограниченная окружностями и прямыми

где V — объем тела Ω.

Пример:

Найти координаты центра тяжести однородного полушара радиуса R.

Считаем, что центр шара находится в начале координат, а рассматриваемая фигура — полушар — расположена над плоскостью хОу. Тогда в силу симметрии имеем

D область ограниченная окружностями и прямыми

Объем полушара равен

D область ограниченная окружностями и прямыми

Найдем статический момент относительно плоскости хОу :

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

и D область ограниченная окружностями и прямыми— центр тяжести.

Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области

При необходимости интегрирования функций нескольких переменных по неограниченной области D поступают так. Выбирают последовательность ограниченных областей интегрирования

D область ограниченная окружностями и прямыми

монотонно исчерпывающих область D, т. е.

D область ограниченная окружностями и прямыми

Dn —> D при п —> ∞.

Например, если область интегрирования совпадает со всей плоскостью хОу, то за последовательность можно принять совокупность концентрических кругов

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Определение:

Несобственным интегралом от функции f(х, у) по неограниченной области интегрирования D называется предел последовательности интегралов

D область ограниченная окружностями и прямыми

не зависящий от выбора последовательности Db.
Итак, по определению
(2)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Если предел (1) существует и конечен, то несобственный интеграл по неограниченной области называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Пример:

D область ограниченная окружностями и прямыми

где область интегрирования

D область ограниченная окружностями и прямыми

В качестве областей интегрирования выберем круги

D область ограниченная окружностями и прямыми

радиуса п (n = 1,2,… ). Переходя к полярным координатам, получим

D область ограниченная окружностями и прямыми

Итак, интеграл (3) сходится и равен π.

Для интеграла по неограниченной области D справедлив следующий Признак сравнения. Если 0 ≤ f(x, у) ≤ g(х, у) ∀(x, у) ∈ D,u интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

сходится, то сходится и интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

Если же интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

расходится, то расходится и интеграл

D область ограниченная окружностями и прямыми

Интегралы, сходящиеся на всей плоскости, можно вычислять с помощью повторного интегрирования:
(4)

D область ограниченная окружностями и прямыми

Пример:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

то, согласно соотношению (4),

D область ограниченная окружностями и прямыми

Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, получим новую область интегрирования

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми

Несобственные интегралы от функции трех, четырех и большего числа переменных по неограниченным областям определяются аналогично.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

D область ограниченная окружностями и прямыми

D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми D область ограниченная окружностями и прямыми

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📺 Видео

Математика без ху!ни. Двойной интеграл, вычисление двумя способами.Скачать

Математика без ху!ни. Двойной интеграл, вычисление двумя способами.

Попадание точки в заданную область. Два сектора. Уроки программирования на С++.Скачать

Попадание точки в заданную область. Два сектора. Уроки программирования на С++.
Поделиться или сохранить к себе: