Cos 2x 0 на окружности (2 видео) | Курс школьной геометрии

cos(2*x)=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(2*x)=0

Содержание

Решение
Тригонометрия простыми словами
Значения тригонометрических функций для первой четверти круга (0° – 90°)
Принцип повтора знаков тригонометрических функций
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Основное тригонометрическое тождество
Связь между sin и cos одного угла
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Связь между тангенсом и котангенсом
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Примеры решения задач
🎦 Видео

Решение

Дано уравнение
$$cos = 0$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние

Получим:
$$cos = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = pi n + operatorname$$
$$2 x = pi n — pi + operatorname$$
Или
$$2 x = pi n + frac$$
$$2 x = pi n — frac$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
получим ответ:
$$x_ = frac + frac$$
$$x_ = frac — frac$$

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1	√3	–
ctg	–	√3	1	Принцип повтора знаков тригонометрических функций Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону. В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ. Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны. Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно. Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ \| Математика TutorOnlineСкачать Тригонометрический круг Углы в радианах Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан. Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π . Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций. Видео:Отбор корней по окружностиСкачать Основное тригонометрическое тождество О чем эта статья: 9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана). Видео:🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать Связь между sin и cos одного угла Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный. Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция. Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом: sin 2 α + cos 2 α = 1 Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое. Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α. В результате деления получаем: Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая. sin 2 α + cos 2 α = 1 Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности. Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице. Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1 Итак, нам известны координаты точки A (1; 0). Произвольный угол α, тогда cos α = x0 = ОB. Если развернуть точку A на угол α, то точка A становится на место точки A₁. По определениям: Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Это значит, что точка A₁ получает координаты cos α, sin α. Опускаем перпендикулярную прямую A₁B на x0 из точки A₁. Образовался прямоугольный треугольник OA₁B. \|OB\| = \|x\|. Гипотенуза OA₁ имеет значение, равное радиусу единичной окружности. \|OA₁\| = 1. Применяя полученное выражение, записываем равенство по теореме Пифагора, поскольку получившийся угол — прямой: \|A₁B\| 2 + \|OB\| 2 = \|OA₁\| 2 . Записываем в виде: \|y\| 2 + \|x\| 2 = 1 2 . Это значит, что y 2 + x 2 = 1. sin угла α = y cos угла α = x Вставляем данные угла вместо координат точек: OB = cos α A₁B = sin α A₁O = 1 Получаем основное тригонометрическое тождество: sin 2 α + cos 2 α = 1. Что и требовалось доказать. Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам: sin α = ± cos α = ± Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла. Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется. Видео:Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать Тангенс и котангенс через синус и косинус Синус угла — это ордината y. Косинус угла — это абсцисса x. Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе. Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате. Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины. tg α = ctg α = Исходя из определений: tg α = = ctg α = = Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества задаются sin и cos углов. Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу. Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон. Например, выражение применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0. применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число. Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом. Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать Связь между тангенсом и котангенсом Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла. Тождество записывается в следующем виде: tg α * ctg α = 1. Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены. Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто. *tg α ctg α = 1.** ctg α = x/y Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1 Преобразовываем выражение, подставляем и , получаем: Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа. Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак. Видео:Principal solutions of the equation `sin 2x + cos 2x = 0`, where `pi lt x lt 2pi `Скачать Тангенс и косинус, котангенс и синус Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом. Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества: tg 2 α + 1 = Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла. 1 + ctg 2 α = Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла. Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества: sin 2 α + cos 2 α = 1. Для этого нужно поделить обе части тождества на cos 2 α, где косинус не равен нулю. В результате деления получаем формулу tg 2 α + 1 = Если обе части основного тригонометрического тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 разделить на sin 2 α, где синус не равен нулю, то получим тождество: 1 + ctg 2 α = . Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg 2 α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число. А тригонометрическое тождество 1 + ctg 2 α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число. Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами. Основные тригонометрические тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 tg 2 α + 1 = 1 + ctg 2 α = Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах. Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать Примеры решения задач Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно. Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества: Выражаем cos α из тригонометрической единицы: Далее подставляем значения sin α: Вычисляем: Нам известны значения sin α и cos α, поэтому можно легко найти тангенс, используя формулу: Таким же образом, используя формулу, вычисляем значение котангенса: Задачка 2. Найдите значение cos α, если: Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества: Выражаем cos α из тригонометрической единицы: Далее подставляем значения sin α: Вычисляем: То же самое проделываем со вторым значение sin α Подставляем значения sin α: Вычисляем: Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств. 🎦 Видео Математика\| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать Как решать тригонометрическое уравнение cos^2 x =1/2 Уравнение с косинусом в квадрате Решите уравненСкачать ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать вывод формул cos2x через sinx и через cosx. 24cos2α-?если sinα=-0,2. 9cos2α- ?если cosα=1/3Скачать How to Solve cos(x) + sin(2x) = 0 (Trigonometric Equations)Скачать Как решать тригонометрическое уравнение 3cos^2x-sinx-1=0 Замена sinx=t Уравнение с косинусом и синусСкачать find the general solution of cos 2x - sin x = 0. class 12 math trigonometric solutionsСкачать Арккосинус. Решение уравнения cos t = а \| Алгебра 10 класс #26 \| ИнфоурокСкачать Solve the Trig equation cos(2x) + cos(4x) = 0 on the interval [0, 2pi)Скачать Решение ФИПИ 13 ЕГЭ Профиль cos2x+0,25=cos2xСкачать начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать cos2x=1-cos(p/2-x) тригонометрическое уравнение из ДЕМОварианта ЕГЭСкачать Поделиться или сохранить к себе: Search for: Треугольник Высоты треугольника пропорциональны его сторонам 2139 Треугольник Перпендикулярные стороны треугольника это Вектор Методы сложения векторов физика 2131 Вектор Заданы начальное и конечное значения радиус вектора материальной точки в виде Вектор Найти длину большей диагонали параллелограмма построенного на векторах 2132 Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности О сайте \| \| © 2024 Курс школьной геометрии.

0°

30°

45°

60°

90°

sin

√3

–

ctg

–

√3

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Основное тригонометрическое тождество

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Произвольный угол α, тогда cos α = x0 = ОB.

Если развернуть точку A на угол α, то точка A становится на место точки A₁.

По определениям:

Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Это значит, что точка A₁ получает координаты cos α, sin α.

Опускаем перпендикулярную прямую A₁B на x0 из точки A₁.

Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

|OB| = |x|.

Гипотенуза OA₁ имеет значение, равное радиусу единичной окружности.

|OA₁| = 1.

Применяя полученное выражение, записываем равенство по теореме Пифагора, поскольку получившийся угол — прямой:

|A₁B| 2 + |OB| 2 = |OA₁| 2 .

Записываем в виде: |y| 2 + |x| 2 = 1 2 .

Это значит, что y 2 + x 2 = 1.
sin угла α = y
cos угла α = x

Вставляем данные угла вместо координат точек:

OB = cos α
A₁B = sin α
A₁O = 1

Получаем основное тригонометрическое тождество: sin 2 α + cos 2 α = 1.
Что и требовалось доказать.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

sin α = ±
cos α = ±

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Видео:Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Синус угла — это ордината y.
Косинус угла — это абсцисса x.
Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе.
Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

tg α =
ctg α =

Исходя из определений:

tg α = =
ctg α = =

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

Например, выражение применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0.

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Тождество записывается в следующем виде:
tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

ctg α = x/y

Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1

Преобразовываем выражение, подставляем

,
получаем:

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Видео:Principal solutions of the equation `sin 2x + cos 2x = 0`, where `pi lt x lt 2pi `Скачать

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

tg 2 α + 1 =

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

1 + ctg 2 α =

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Для этого нужно поделить обе части тождества на cos 2 α, где косинус не равен нулю.
В результате деления получаем формулу tg 2 α + 1 =
Если обе части основного тригонометрического тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 разделить на sin 2 α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
1 + ctg 2 α = .
Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg 2 α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.
А тригонометрическое тождество 1 + ctg 2 α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

tg 2 α + 1 =

1 + ctg 2 α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Выражаем cos α из тригонометрической единицы: