Высоты треугольника пропорциональны его сторонам

Из полученных равенств получаем

Что и требовалось доказать.

Решебник по геометрии за 9 класс (А.В.Погорелов, 2001 год),
задача №20
к главе «§14. Площади фигур».

Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER

Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)

Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.

math4school.ru

Треугольники

Основные свойства

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Равенство треугольников

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Подобие треугольников

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Два треугольника подобны, если:

• Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
• Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
• Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Медианы треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

• Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
• Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Биссектрисы треугольника

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Длина биссектрисы угла А :

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Высоты треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Серединные перпендикуляры

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Окружность, описанная около треугольника

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Расположение центра описанной окружности

Центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Равносторонний треугольник

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

• одному острому углу;
• из пропорциональности двух катетов;
• из пропорциональности катета и гипотенузы.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты:

через катет и острый угол:

через гипотенузу и острый угол:

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Вневписанные окружности

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О₁ , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО₁ и C О₁ внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О₁О₂О₃ (точки A , B и C – основания высот в Δ О₁О₂О₃ ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О₁ , 180°–2 О₂ , 180°–2 О₃ .

Радиус окружности, описанной около Δ О₁О₂О₃ , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О₁О₂О₃ .

Если r_a , r_b , r_с – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для r –

для R –

для S –

для самих r_a , r_b , r_с –

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

• если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
• если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
• если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Высоты треугольника пропорциональны его сторонам

@ Наиболее употребимой формулой, связывающей площадь, сторону и высоту на эту сторону, является . Эта формула замечательна тем, что компоненты a и , S и a или S и определяют треугольник неоднозначно, но, тем не менее, можно найти недостающую третью из этих компонент. Необходимо представлять себе расположение высот треугольника в зависимости от его вида: если он остроугольный, то все три высоты внутри него; если он прямоугольный, то одна высота внутри него, а две другие совпадают с катетами; если он тупоугольный, то одна высота внутри него, а две другие, опущенные из острых углов, вне его. Известно, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника (такое название точки связано с тем, что она служит центром вписанной окружности в треугольник, вершины которого являются основаниями высот данного остроугольного треугольника).

а) Доказать, что в любом треугольнике ABC , для любой точки D стороны BC ( D не совпадает с B и C) имеет место равенство ;

б) Доказать, что в любом равностороннем треугольнике ABC сумма расстояний от всякой внутренней точки треугольника до его сторон равна высоте треугольника.

Утверждения а) и б) примера 6.3.1. имеют довольно частое применение при решении заданий вступительных экзаменов, поэтому приведем их краткие доказательства.

а)	Пусть AF – высота треугольника ABC , проведенная из вершины A . Тогда AF является высотой для треугольника ABD и для треугольника ACD . Поэтому и .

Разделив почленно обе части этих равенств, получим требуемое соотношение.

б) Полезно знать, что для построения в тетради равностороннего треугольника используют тот факт, что равнобедренный треугольник с основанием 8 и высотой 7 имеет боковые стороны .

Пусть O – внутренняя точка треугольника ABC и D, E, F – основания перпендикуляров из нее на стороны треугольника. Тогда , т.е. (в ходе преобразований учли, что AB = BC = AC ).

Теперь попытайтесь самостоятельно доказать, что в любом правильном n — угольнике ( n і 3 ) сумма расстояний от любой его внутренней точки до прямых, проходящих через его стороны, есть величина постоянная, равная n Ч r , где r – радиус вписанной в данный n — угольник окружности.

Пример 6.3.2. (КубГУ, эконом., 1987 г.)

В равнобедренном прямоугольном треугольнике длина катета равна 1 . Прямая, проходящая через вершину острого угла, делит площадь треугольника в отношении 1 : 4 . Найти длину отрезка прямой, лежащего внутри треугольника.

Указание : воспользуйтесь рассуждениями в ходе доказательства утверждения примера 6.3.1 а) и учтите две возможности прохождения прямой, делящей площадь треугольника в заданном отношении.

@ Для нахождения площади треугольника часто используют еще две формулы:

; (1) где p – полупериметр треугольника ( формула Герона ) и a, b, c – его стороны.

Пример 6.3.3.

В треугольнике ABC сторона AB = 7 см, AC = 8 см, BC = 9 см. Найти площадь треугольника, образованного высотой и медианой треугольника ABC , проведенных из вершины B .

Эта задача имеет много вариантов решений. Для иллюстрации формул (1) и (2) предлагаем следующий (нелучший) вариант. Решение

Основания высоты и медианы обозначим соответственно через H и M , положим Р A = a . Так как , то по формуле Герона . Точка M делит отрезок AC пополам и поэтому , т.е. .

С другой стороны, , откуда получаем и .
Поэтому , а значит .
Так как , то окончательно (см ).
Ответ: см .
@ Теперь отметим одно очень важное свойство площадей подобных фигур: если фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия k, то отношение площадей фигур и равно .

Применим это свойство для решения следующего задания.

Пример 6.3.4. (КубГУ, эконом., 1988 г.)

В треугольнике ABC проведены медианы AM и BK и высота CN . Найти отношение площадей треугольников ABC и MNK . Решение

Изображать медианы AM и BK не будем. В середине стороны AB отметим точку L . Тогда KM, ML, KL – средние линии в треугольнике ABC . Поэтому KM зз AB, KL зз BC и ML зз AC , а значит треугольники MKL и ABC подобны с коэффициентом подобия k = 2 (учли, что ). Поэтому .

Теперь замечаем, что D MKL и D MKN имеют общее основание MK и равные высоты, опущенные на это основание (учли, что MK зз AB ).
Поэтому , и окончательно находим .

Замечание . Из равновеликости треугольников MKL и MKN легко сделать заключение, что площадь любого треугольника, у которого две вершины в точках M и K , а третья на стороне AB , будет равна площади треугольника MKL . Поэтому несущественно, что проведено из вершины C – биссектриса, медиана, выстота или произвольная прямая, пересекающая сторону AB .

@ Отметим, что высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены, так как , и . Поэтому отрезки, длины которых равны x,y и z, могут служить высотами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда сумма меньших чисел из набора , и больше большего числа. Вообще, когда речь идет о высотах треугольника, следует рассматривать его площадь, что в большинстве задач приводит к их решению.

Пример 6.3. 5. (КубГУ, матем., 1994 г.)

🎬 Видео