Теорема об окружности, описанной около треугольника
Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.
Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.
Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.
Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Центр описанной окружности треугольника равноудалена от
554. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.
555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.
556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.
557. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.
558. Периметр треугольника ABC , описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной AB делит эту сторону в отношении 2 : 3, считая от вершины A . Точка касания со стороной BC удалена от вершины C на 6 см. Найдите стороны треугольника.
559. В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.
560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN ‖ AC .
561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.
562. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M , BС = a . Докажите, что AM = p — a , где p — полупериметр треугольника ABC .
563. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a , провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.
564. В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK , BEF и CMN . Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?
565. В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB = 7 см, BC = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD .
566. Каждый из углов BAC и ACB треугольника ABC разделили на три равные части (рис. 308). Докажите, что ∠ AMN = ∠ CMN .
567. Пусть вершина угла B недоступна (рис. 309). С помощью транспортира и линейки без делений постройте прямую, содержащую биссектрису угла B .
568. Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC . Найдите углы треугольника ABC .
Упражнения для повторения
569. Биссектриса угла ABC образует с его стороной угол, равный углу, смежному с углом ABC . Найдите угол ABC .
570. В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании — биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен 64°. Найдите углы данного треугольника.
571. На рисунке 311 BC ‖ AD , AB = 3 см, BC = 10 см. Биссектриса угла BAD пересекает отрезок BC в точке K . Найдите отрезки BK и KC .
572. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , AM и CK — медианы этого треугольника. Докажите, что MK ‖ AC .
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
573. В квадрате ABCD вырезали заштрихованную фигуру (рис. 312). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.
Видео:Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольникаСкачать
Планиметрия. Страница 3
Главная
Репетиторы
Статьи и материалы
Контакты
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
1.Окружность
Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек на плоскости, равноудаленных от данной точки.
Эта данная точка называется центром окружности. Расстояние от центра окружности до ее точек называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром. (Рис.1)
ОА — радиус ВС — диаметр DE — хорда
Рис.1 Окружность, радиус, диаметр, хорда.
Видео:Описанная и вписанная окружности треугольникаСкачать
2.Окружность, описанная около треугольника
Теорема: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных на середины сторон данного треугольника.
Доказательство. Пусть АВС данный треугольник и точка О является центром окружности, описанной около данного треугольника. (Рис.2) Тогда отрезки ОА, ОВ, ОС равны как радиусы. Следовательно, треугольники Δ АОВ, Δ ВОС, Δ АОС — равнобедренные. А следовательно, и медианы, проведенные к серединам сторон ОК, ОЕ, ОD, являются одновременно биссектрисой и высотой. Поэтому предположение, что центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения высот, верно.
Рис.2 Теорема. Окружность, описанная около треугольника.
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
3.Окружность, вписанная в треугольник
Теорема. центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной окружности. (Рис. 3)
Тогда треугольник Δ АОЕ равен треугольнику Δ АОТ, Δ СОЕ = Δ СОК, Δ ВОК = Δ ВОТ. Так как стороны ОА, ОВ, ОС у них общие. А ОК, ОЕ, ОТ как радиусы. Следовательно: ∠ ЕАО = ∠ ТАО, ∠ ЕСО = ∠ КСО, ∠ КВО = ∠ ТВО.
Это значит, что точка О лежит на пересечении биссектрис АО, ВО, СО.
Рис.3 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник.
Видео:Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать
4.Геометрическое место точек
Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством.
Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.
Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 4).
Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С. Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому, для того чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо чтобы она лежала на прямой а, которая перпендикулярна отрезку, соединяющего эти точки, и которая проходит через его середину.
Рис.4 Теорема. Геометрическое место точек.
Пример 1
Дана окружность с центром О. И проведена касательная а из точки С к этой окружности. Доказать, что точка К лежит на основании равнобедренного треугольника ОВС, если OB = 2R. (рис.5)
По условию прямая а есть касательная к окружности, следовательно радиус, проведенный к точке касания ОК, и который лежит на прямой с, составляет прямой угол с касательной. Так как ОВ = 2R и KB = R, то прямая а будет представлять собой геометрическое место точек, так как она перпендикулярна отрезку ОВ и проходит через его середину. А следовательно, треугольники ВКС и ОКС равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда можно сделать вывод, что точка К будет лежать на основании равнобедренного треугольника ВОС.
Рис.5 Задача. Дана окружность с центром О.
Пример 2
Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (Рис.6)
Доказательство:
Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, которая касается окружности в точке А. Допустим, что прямая а имеет еще одну точку касаная — точку В. Тогда радиус окружности, проведенный к точкам А и В образует угол с прямой а равный 90°.
Таким образом, в равнобедренном треугольнике АОВ углы при вершинах А и В равны 90°. А это невозможно. Следовательно, мы пришли к противоречию и прямая а не может касаться окружности в двух точках.
Рис.6 Задача. Касательная к окружности.
Пример 3
Точки А,В,С лежат на одной прямой, а точка О лежит вне этой прямой. Докажите, что треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. (Рис.7)
Доказательство:
Допустим, что треугольники АОВ и ВОС равнобедренные с основаниями АВ и ВС. Тогда Стороны АО, ВО и СО равны. Отсюда следует, что углы ОАВ, АВО, ОВС и ОСВ равны. И ∠АВО = ∠ОВС = 90°, так как эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°.
Таким образом, в равнобедренных треугольниках АОВ и ВОС углы при вершинах А и С равны 90°. А это невозможно, потому, что тогда стороны АО, ВО и СО были бы параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой АС. Следовательно, мы пришли к противоречию, и треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС.
Рис.7 Задача. Даны три точки на прямой.
Пример 4
Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 (Рис.8)
Доказательство:
Так как окружности пересекаются в точках А и В, то эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезок ОА = ОВ, как радиусы окружности с центром в точке О. А отрезок О1А = О1В, как радиусы окружности с центром в точке О1.
Таким образом, треугольники ОАО1 и ОВО1 равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). А следовательно отрезки АС и ВС равны. И прямая ОО1 является геометрическим местом точек для двух данных точек А и В. Т.е. любая точка прямой ОО1 равноудалена от двух данных точек А и В. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны, также как и треугольники АСО1 и ВСО1 по трем сторонам. А отсюда следует равенство углов при вершине С. Т.е. ∠ОСА = ∠ОСВ = ∠АСО1 = ∠ВСО1 = 90°.
Следовательно, можно сделать вывод, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1.
Рис.8 Задача. Окружности с центрами О и О1.
Пример 5
Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояние от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС (Рис.9)
Доказательство:
По условию задачи, расстояния от точек В и С до прямой а равны. Т.е. РС = BQ. Так как расстояние от точки до прямой представляет собой перпендикуляр, то два треугольника РОС и ВОQ, образованные двумя пересекающимися прямыми ВС и а, и перпендикулярами, опущенными на одну из них, равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим к ней углам: РС = BQ, углы при вершинах В и С равны как внутренние накрест лежащие, а углы при вершинах Р и Q прямые).
Из равенства треугольников РОС и ВОQ следует, что ВО = ОС.
Рис.9 Задача. Отрезок ВС пересекает прямую а .
📺 Видео
Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать
найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Где лежит центр описанной окружности? 1 задание ЕГЭ ПрофильСкачать
Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать
