Что значит вторично пересекает описанную окружность

Вот в теормере Сальмона увидел это, теперь думаю.. .
Если через точку окружности проведены три произвольные хорды, на которых как на диаметрах построены окружности, то эти окружности попарно пересекаются вторично в трёх коллинеарных точках

Три окружности пересекаются на заданной в данной точке –
это пересечение считаем – первичное. Пронумеруем: 1,2,3.
Вторичных (вторых) точек пересечения три: 1-2;2-3;1-3.
Вот они и лежат на одной прямой.

Видео:Снова ЕГЭ В треугольнике АВС все стороны различныСкачать

Презентация по теме «Полезные факты планиметрии»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Геометрия Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходитСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Полезные факты из планиметрии Лучше это знать… <

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

а) Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. б) Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Если М — точка касания со стороной АС и N-точка касания со стороной АВ окружности, вписанной в треугольник ABC, то AM = AN = р — ВС, где р — полупериметр треугольника.

Если окружность касается основания ВС треугольника ABC и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника ABC.

Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на окружности S.

Если прямая, проходящая через точку А и центр О вписанной окружности треугольника ABC, вторично пересекает описанную окружность треугольника в точке М, то треугольники ВОМ и СОМ равнобедренные.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме оснований.

Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.

Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна её средней линии.

Замечательное свойство трапеции. а) Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается её диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны.

Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей.

Площадь любого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Середины двух противоположных сторон любого четырёхугольника и середины его диагоналей либо являются вершинами параллелограмма, либо лежат на одной прямой.

а) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. б) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде. в) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. АВ-диаметр окружности, CD-хорда, М-середина хорды CD

Как это работает…

Геометрическое место точек, из которых отрезок АВ виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей с общей хордой АВ, лежащие по разные стороны от прямой АВ, без точек А и В.

а) Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам. б) Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

Общие хорды (или их продолжения) трёх попарно пересекающихся окружностей проходят через одну точку либо параллельны.

Две окружности касаются внутренним образом в точке М. Если АВ — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке Т, то МТ — биссектриса угла АМВ.

Как это работает… Если точки C и D расположены по одну сторону от отрезка АВ и отрезок виден из этих точек под одинаковым углом, то А, В, С и D лежат на одной окружности

Если из точек C и D отрезок АВ виден под прямым углом, то А, В, С и D лежат на одной окружности, центр которой – середина АВ. Как это работает, смотрим в следующей задаче:

Как это работает, смотрим в следующих задачах:

Как это работает, смотрим в следующей задаче:

Как это работает, смотрим в следующей задаче:

Как это работает… Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Как это работает…

Если H точка пересечения высот треугольника ABC, а О — центр его описанной окружности, то отрезок АН вдвое больше расстояния от точки О до середины стороны ВС. Как это доказать…

Точки О, H и точка М пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точка М лежит на отрезке ОН и ОМ: МН = 1:2.

Точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых АВ, АС и ВС, лежат на описанной окружности треугольника ABC.

Точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно середин его сторон, лежат на описанной окружности треугольника ABC.

Если АК, ВМ и CN — высоты остроугольного треугольника ABC, то биссектрисы треугольника KMN (ортотреугольника треугольника ABC) лежат на прямых АК, ВМ и CN.

Если же треугольник ABC тупоугольный, то на этих прямых лежат биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника KMN.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 942 человека из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 694 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 480 356 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Глава 8. Некоторые сведения из планиметрии

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

• 23.08.2017
• 5977

• 23.08.2017
• 325

• 23.08.2017
• 287

• 23.08.2017
• 491

• 23.08.2017
• 546

• 22.08.2017
• 2556

• 22.08.2017
• 355

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 23.08.2017 5452 —> —> —> —>
• PPTX 1.5 мбайт —> —>
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Гайкова Лариса Иннокентьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На проекте: 4 года и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 55192
• Всего материалов: 50

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Сложная планиметрия с простым решениемСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Ускоренный просмотр онлайн-лекций не мешает их пониманию

Время чтения: 3 минуты

Порядка 65% выпускников российских вузов идут работать по специальности

Время чтения: 1 минута

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Регионы запустили работу по капремонту школ

Время чтения: 1 минута

«Учителя года» проведут открытые занятия для педагогов России

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Задание 16. ЕГЭ. В треугольнике ABC все стороны различны. Докажите, что AC и KN параллельны.

Задание. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN – диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AC и KN параллельны.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC = 30 0 , ∠ABC = 105 0 .

Решение:

а) Докажите, что AC и KN параллельны.

Так как вписанный в окружность угол ∠BKN опирается на диаметр BN, то треугольник ΔBKN – прямоугольный треугольник и ∠BKN = 90 0 . Значит, KN ⊥ BK.

Так как ВН – высота треугольника ΔАВС, то AC ⊥ BK.

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти прямые параллельны, т. е. AC ǁ KN.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC = 30 0 , ∠ABC = 105 0 .

Расстоянием от точки N до прямой АС называется перпендикуляр NM, проведенный из точки N к прямой АС.

В треугольнике ΔАВС: ∠BAC = 30 0 , ∠ABC = 105 0 , тогда ∠АСВ = 180 0 – (∠BAC + ∠ABC)

∠АСВ = 180 0 – (30 0 + 105 0 ) = 45 0

Вписанный угол ∠ANB опирается на дугу ᴗAB.

На дугу ᴗAB также опирается вписанный угол ∠AСB, значит ∠ANB = ∠AСB = 45 0 .

Вписанный в окружность угол ∠BAN опирается на диаметр BN, тогда ∠BAN = 90 0 и треугольник ΔABN – прямоугольный треугольник. Так как угол ∠ANB = 45 0 , то ∠ABN = 45 0 и треугольник ΔABN – прямоугольный равнобедренный треугольник.

Найдем сторону AN треугольника ΔABN:

Так как угол ∠BAN = 90 0 , а угол ∠BAC = 30 0 , то угол ∠MAN = ∠BAN – ∠BAC = 90 0 – 30 0 = 60 0 .

Из прямоугольного треугольника ΔAMN (∠AMN = 90 0 ) найдем NM:

💡 Видео

ЕГЭ Задание 16 Параллелограмм и окружностьСкачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Решаем геометрию. Планиметрия 1.8Скачать

Степень точки, радикальная ось. Планиметрия из ВСОШ и Высшей пробы. Чтобы решать планиметрию нужно..Скачать

реальный эге 2019 задача 16 вписанный уголСкачать

М - Планиметрия - Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольникомСкачать

ЕГЭ-2020. №16. Вневписанная окружность🚀 Ортоцентр. Теорема Карно, Бланшета, Чевы, Менелая🔥Скачать

Лемма о трезубце. Практика | Профильная математика с Александром НестеровымСкачать

Планиметрия | 16 задача ЕГЭ 2020 (10.36)Скачать

ЕГЭ 2022 Планиметрия Прямоугольный треугольник вписанный в окружностьСкачать

#3warmup. Разбор третьей разминкиСкачать

16 задание 29 мая 2019 Основная волнаСкачать

Решение №16 из ЕГЭ прошлых летСкачать

Ященко ЕГЭ 2020 1 вариант 16 задание. Сборник ФИПИ школе (36 вариантов)Скачать

ЕГЭ 2022 Профиль | СЕКРЕТНАЯ ТЕОРЕМА №16Скачать