Что является пересечением двух диаметров одной окружности

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

1) Тупым, или прямым, или острым.

2) Тупым или прямым.

4) Прямым или острым.

6. Какая сторона треугольника лежит против тупого угла?

3) Средняя по величине.

4) Нельзя определить.

7. Какая сторона треугольника лежит против острого угла?

3) Средняя по величине.

4) Нельзя определить.

8. В равнобедренном треугольнике две стороны равны 7 см и 14 см. Найдите его периметр

9. Периметр равнобедренного треугольника равен 63 см. Одна его сторона в три раза больше другой. Найдите боковую сторону треугольника.

10. Определите вид треугольника, если известно, что у него один внешний угол прямой.

4) Нельзя определить.

11. Определите вид треугольника, если известно, что у него один внешний угол острый.

4) Нельзя определить.

12. Определите вид треугольника, если один из его внутренних углов больше суммы двух других углов.

4) Нельзя определить.

13. Определите вид треугольника, если один из его внешних углов равен внутреннему углу.

4) Нельзя определить.

14. В прямоугольном треугольнике две стороны равны 20 см и 13 см. Какая из них является гипотенузой?

3) Нельзя определить.

15. Сколько наклонных можно провести из данной точки к данной прямой?

4) Бесконечно много.

16. Сколько наклонных заданной длины можно провести из данной точки к данной прямой?

4) Бесконечно много.

17. Из точки E к прямой a проведены перпендикуляр EH и наклонные EA , EB , EC . Причем известно, что AH = HB и точка C лежит между точками H и B . Сравните длины наклонных.

18. Из точки F проведены к прямой b перпендикуляр FO , две равные наклонные FM , FN и наклонная FL , причем луч FM является внутренним лучом угла OFL . Сравните проекции данных наклонных.

19. Сравните медиану треугольника с его периметром.

1) Меньше полупериметра.

2) Меньше периметра.

3) Больше полупериметра.

4) Нельзя определить.

20. Укажите точку, сумма расстояний от которой до вершин выпуклого четырехугольника будет наименьшей.

1) Вершина наименьшего угла четырехугольника.

2) Вершина наибольшего угла четырехугольника.

3) Точка пересечения диагоналей четырехугольника.

Тест № 4 «Окружность и круг»

1. Сколько радиусов у окружности?

4) Бесконечно много.

2. Что является пересечением двух диаметров одной окружности?

3) Диаметр, делящий угол между ними пополам.

3. Сколько окружностей можно провести через одну точку?

4) Бесконечно много.

4. Сколь окружностей можно провести через две точки?

4) Бесконечно много.

5. Найдите наименьший радиус окружности, которую можно провести через точки A и B .

1) AB .

2) AB .

4) Нет наименьшего.

6. Какому неравенству удовлетворяют точки C , принадлежащие кругу с центром в точке O и радиусом R ?

2) OC R .

3) OC R .

7. Какому неравенству удовлетворяют точки D , не принадлежащие кругу с центром в точке O и радиусом R ?

2) OD R .

8. Наибольшее и наименьшее расстояния от точки вне окружности до точек окружности равны соответственно 21 см и 5 см. Найдите радиус окружности.

9. Наибольшее и наименьшее расстояния от точки, расположенной внутри окружности до точек окружности равны соответственно 18 см и 13 см. Найдите радиус окружности.

10. Радиус окружности меньше диаметра на 11 см. Найдите диаметр данной окружности.

11. Сколько касательных к данной окружности можно провести через точку, принадлежащую ей.

4). Бесконечно много.

12. Сколько касательных к данной окружности можно провести через точку вне окружности.

4). Бесконечно много.

13. Как расположены относительно друг друга прямая a и окружность ( O ; 15 см), если OH =22,5 см, где OH a и H a ?

1) Не имеют общих точек.

14. Как расположены относительно друг друга прямая b и окружность ( O ; 36 см), если расстояние от точки O до прямой b равно 18 см?

1) Не пересекаются.

4) Не имеют общих точек.

15. Как расположены относительно друг друга прямая и окружность, диаметр которой равен 48 см, если расстояние от ее центра до данной прямой равно 24 см?

1) Не пересекаются.

4) Не имеют общих точек.

16. Запишите условие внутреннего касания двух окружностей ( O 1 ; R 1 ) и ( O 2 ; R 2 ), где R 2 > R 1 .

1) O 1 O 2 R 1 + R 2 .

2) O 1 O 2 R 1 +.

3) O 1 O 2 = R 2 — R 1 .

4) R 2 — R 1 O 1 O 2 R 1 + R 2 .

17. Как расположены две окружности относительно друг друга, если их диаметры равны 64 см и 32 см, а расстояние между центрами равно 48 см?

1) Не имеют общих точек.

3) Касаются внешним образом.

4) Касаются внутренним образом.

18. Как расположены две окружности ( O 1 ; R 1 ) и ( O 2 ; R 2 ), относительно друг друга, если их R 1 =15 см, R 2 =8 см, O 1 O 2 =9 см?

1) Не имеют общих точек.

3) Касаются внешним образом.

4) Касаются внутренним образом.

19. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 3:5. Найдите их, если ширина соответствующего кольца равна 30 см.

1) 15 см и 25 см.

2) 30 см и 50 см.

3) 45 см и 75 см.

4) 90 см и 150 см.

20. Три окружности равного радиуса попарно касаются друг друга. Как расположены центры окружностей относительно друг друга?

1) Принадлежат одной прямой.

2) Принадлежат окружности того же радиуса.

3) Находятся в вершинах равностороннего треугольника.

4) Один центр делит пополам отрезок, соединяющий центры двух других окружностей.

Тест № 5 «Геометрические места точек»

1. Назовите ГМТ, лежащих по одну сторону от данной прямой.

1) Прямая, перпендикулярная данной прямой.

2) Полуплоскость, определяемая данной прямой.

3) Прямая, параллельная данной прямой.

4) Вся плоскость.

2. Назовите геометрическую фигуру, которая является ГМТ, находящихся от данной точки на данное расстояние.

3. Назовите геометрическую фигуру, которая является ГМТ, находящихся на равном расстоянии от сторон угла.

1) Две пересекающиеся прямые.

4. Назовите геометрическую фигуру, которая является ГМТ, находящихся на равном расстоянии от двух точек.

5. Назовите ГМТ, находящихся от данной точки O на расстояние, превосходящее R .

1) Окружность ( O ; R ).

3) Внутренние точки круга ( O ; R )

4) Внешние точки круга ( O ; R ).

6. Сколько существует точек, одинаково удаленных от данной точки?

4). Бесконечно много.

7. Сколько существует точек, одинаково удаленных от двух данных точек?

4). Бесконечно много.

8. Назовите ГМТ, принадлежащих равнобедренному треугольнику и одинаково удаленных от его основания.

1) Середина основания.

2) Медиана, проведенная к боковой стороне.

3) Высота, проведенная к основанию.

4) Серединный перпендикуляр к основанию.

9. Найдите ГМ центров равных окружностей, касающихся внешним образом данной окружности.

1) Касающаяся внешним образом окружность.

2) Касающаяся внутренним образом окружность.

3) Концентрическая к данной окружность.

4) Серединный перпендикуляр к диаметру данной окружности.

10. Найдите ГМ центров окружностей, касающихся данной прямой в данной на ней точке.

1) Окружность, касающаяся прямой в данной точке.

2) Прямая, параллельная данной прямой.

3) Прямая, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку.

4) Окружность, которая пересекается с данной прямой.

11. Найдите ГМ центров окружностей, проходящих через две данные точки.

1) Серединный перпендикуляр к отрезку, определяемому данными точками.

2) Прямая, проходящая через данные точки.

3) Окружность, диаметром которой является отрезок, определяемый данными точками.

4) Окружность, касающаяся прямой, проходящей через данные точки.

12. Каким будет ГМ центров равных окружностей, проходящих через центр данной окружности?

1) Прямая, проходящая через центр данной окружности.

2) Окружность, концентрическая данной.

3) Серединный перпендикуляр к диаметру данной окружности.

4) Окружность, касающаяся данной окружности внешним образом.

13. Найдите ГМ середин равных хорд одной окружности.

1) Окружность, касающаяся внешним образом данной окружности.

2) Окружность, касающаяся внутренним образом данной окружности.

3) Концентрическая окружность к данной окружности.

4) Биссектриса угла между двумя равными пересекающимися хордами.

14. Сколько касательных можно провести к данной окружности из точки внутри нее?

4) Бесконечно много.

15. Какой фигурой является ГМТ, касательные, проведенные из которых к данной окружности, равны?

2) Касательная к данной окружности.

3) Окружность, концентрическая к данной окружности.

4) Две пересекающиеся прямые.

16. Найдите ГМ центров окружностей, касающихся сторон данного угла.

1) Прямая, делящая данный угол пополам.

2) Окружность, касающаяся сторон данного угла.

3) Биссектриса данного угла.

4) Дополнение к биссектрисе данного угла.

17. Из точки M проведены к данной окружности две касательные MA и MB . На меньшей дуге AB взята точка C , из которой проведена еще одна касательная, которая пересекает MA и MB соответственно в точках D и E . Найдите периметр треугольника MDE , если AM =8 см.

18. Найдите условие, при котором ГМТ, удаленных от точки K на R , а от точки L на r , состоит из двух точек, где R > r .

1) KL R+r .

19. Найдите ГМ середин данного отрезка, концы которого движутся по сторонам прямого угла.

1) Серединный перпендикуляр к данному отрезку.

2) Прямая, проходящая через вершину угла и середину отрезка.

3) Биссектриса данного угла.

4) Четверть окружности с центром в вершине данного угла и радиусом, равным половине данного отрезка.

20. Найдите ГМТ пересечения пар равных хорд, проходящих через данные точки A и B , расположенные на окружности.

2) Серединный перпендикуляр к хорде AB .

3) Хорда AB и диаметр, проходящий через середину AB .

4) Стороны треугольника AOB , где O – центр данной окружности.

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Фигура	Рисунок	Определение и свойства
Окружность
Круг
Радиус
Хорда
Диаметр
Касательная
Секущая

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды		Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности		Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📺 Видео