Автор работы: Пользователь скрыл имя, 04 Сентября 2013 в 17:59, реферат
- invers.doc
- Серединная окружность
- Круговая плоскость
- Конформность
- Ортогональные окружности
- Задача Архимеда
- Инвариантные окружности инверсии
- Окружность и круг — определение и вычисление с примерами решения
- Определение окружности и круга
- Определение окружности и ее элементов
- Что такое окружность и круг
- Пример №3
- Окружность и треугольник
- Описанная окружность
- Вписанная окружность
- Пример №4
- Пример №5
- Геометрические построения
- Пример №6
- Пример №7
- Пример №8
- Пример №9
- Пример №10
- Пример №11
- Пример №12
- Пример №13
- Задачи на построение
- Пример №14
- Пример №15
- Пример №16
- Пример №17
- Свойство диаметра, перпендикулярного хорде
- Касательная к окружности
- Признак касательной
- Свойство отрезков касательных
- Касание двух окружностей
- Задачи на построение
- Основные задачи на построение
- Решение задач на построение
- Пример №18
- Геометрическое место точек
- Основные теоремы о ГМТ
- Метод геометрических мест
- Пример №19
- Описанная и вписанная окружности треугольника
- Окружность, вписанная в треугольник
- Пример №20
- Задачи, которые невозможно решить с помощью циркуля и линейки
- Циркуль или линейка
- Об аксиомах геометрии
- Метод вспомогательного треугольника
- Пример №21
- Пример №22
- Пример №23
- Реальная геометрия
- Справочный материал по окружности и кругу
- Что называют окружностью
- Окружность, вписанная в треугольник
- Окружность, описанная около треугольника
- Геометрическое место точек в окружности и круге
- Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности
- 🎦 Видео
Краткое описание
Рассмотрим преобразование плоскости, при котором некоторые прямые переходят в окружности. Это замечательное преобразование называется инверсией.
Прикрепленные файлы: 1 файл
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
invers.doc
Серединная окружность
Рассмотрим еще раз чертеж к теореме (2). Пусть прямая А1А2, пересекает второй раз окружность α2 в точке М. Цепочку равенств углов из доказательства теоремы (2) можно продолжить ÐА1С1В1 = ÐС2А2О = ÐС2В2М. Отсюда следует, что прямые А1С1 и МВ2 параллельны. А это значит, что точка О является центром гомотетии окружностей α1 и α2. Таким образом можно сформулировать еще одно утверждение, широко применяемое при решении задач.
Если при инверсии с центром О окружность α1 переходит в окружность α2, то центр инверсии является также центром гомотетии.
Хотелось бы так же просто сформулировать и обратное утверждение, что центр гомотетии двух окружностей является центром подходящей инверсии, переводящей эти окружности друг в друга, однако это не совсем так. Дело в том, что две окружности имеют, вообще говоря, два центра гомотетии. Коэффициент одной гомотетии положителен, а другой – отрицателен. При этом для одного из центров гомотетии подходящая инверсия обязательно существует, а для другого иногда существует, а иногда нет. Разберемся в этой ситуации подробнее.
Пусть точка О – центр гомотетии окружностей α1 и α2; точке А1 окружности α1 соответствует при этой гомотетии точка А2 окружности α2. Прямая А1А2 второй раз пересекает окружности в точках В1 и В2 соответственно. Тогда произведение ОА1 · ОВ2 постоянно и не зависит от выбора точки А1.
Для доказательства выберем на окружности α1 произвольную точку С1, построим гомотетичную ей точку С2, и рассмотрим точки D1 и D2, в которых прямая С1С2 вторично пересекает окружности. Покажем, что ОА1 · ОВ2 = ОD1 · ОC2.
Если обозначить R 2 = ОА1·ОВ2 = ОD1·ОC2, то на чертеже, использованном для доказательства, R – это длина касательной, проведенной к вспомогательной окружности из точки О. Проводя окружность ω радиуса R с центром О, получаем окружность инверсии, переводящей окружность α1 в α2. Ее называют серединной окружностью для α1 и α2.
Но если попытаться проделать то же самое построение для внутреннего центра гомотетии окружностей α1 и α2 на том же самом чертеже, то можно видеть, что хотя теорема (3) остается верной, окружность инверсии, тем не менее, построить не удается, так как точка О лежит внутри вспомогательной окружности и, значит, касательную провести нельзя.
Если же провести эти построения для случая, когда одна окружность лежит внутри другой, то оказывается, что для центра гомотетии с отрицательным коэффициентом можно построить серединную окружность, а для другого нельзя. Фактически, все определяет то обстоятельство, лежит ли точка В2 на луче ОА1.
Лучше всего обстоят дела для пересекающихся окружностей. Для них можно построить две различные серединные окружности. Их центрами являются оба центра гомотетии.
На чертеже можно видеть все три случая.
Можно сформулировать теорему.
Для двух непересекающихся или касающихся окружностей существует одна серединная окружность, а для пересекающихся окружностей существуют две различные серединные окружности. Центром серединной окружности всегда является один из центров гомотетии двух исходных окружностей.
Две окружности радиусов R и r касаются друг друга. Найдите радиус их серединной окружности. (рассмотрите два различных случая)
Круговая плоскость
Формулировка теоремы (4), к сожалению, не является вполне корректной. Неприятность возникает при попытке применить ее к двум равным окружностям. Действительно, для двух непересекающихся или касающихся окружностей, не лежащих одна внутри другой, центром серединной окружности служит внешний центр гомотетии. Но для двух равных окружностей внешний центр гомотетии не существует. Получается, что к формулировке теоремы надо добавить еще несколько строк, описывающих этот частный случай. Однако, лучше поступить совсем другим образом.
Попробуем рассмотреть две «почти равные» окружности. Внешний центр гомотетии лежит где-то «очень далеко», а радиус серединной окружности весьма велик по сравнению с исходными окружностями. Если радиусы исходных окружностей будут отличаться все меньше и меньше, то радиус серединной окружности будет становиться все больше и больше, а сама серединная окружность будет «выпрямляться», становясь все больше похожей на прямую. Эта предельная прямая является, конечно же, осью симметрии двух равных окружностей.
То есть, напрашивается примерно такая формулировка: серединной окружностью двух равных окружностей является их ось симметрии. Звучит достаточно абсурдно: «окружностью является прямая». Но, с другой стороны, образом окружности при инверсии может служить и прямая, и окружность. И значит, окружности и прямые «с точки зрения инверсии» вполне взаимозаменяемы.
Таким образом, надо не исправлять формулировку теоремы, а расширить определение окружности, так чтобы оно включало в себя прямую, как частный случай. Что-то вроде: «прямая – это окружность бесконечного радиуса». Но, для того чтобы это определение было логически корректным, придется вместо евклидовой плоскости рассмотреть другую конструкцию, получившую название «круговая плоскость».
Для этого присоединим к плоскости одну «бесконечно удаленную точку». Пока что проделаем это, как абсолютно формальную процедуру. Просто договоримся, что теперь кроме обычных точек на плоскости есть еще одна невидимая «бесконечно удаленная точка», обладающая лишь одним свойством: бесконечно удаленная точка при любой инверсии является образом центра инверсии.
Будем теперь считать, что прямая – это окружность, проходящая через бесконечно удаленную точку. В дальнейшем будем употреблять слово «окружность» вместо слов «окружность или прямая», считая прямую частным случаем окружности. Теорема (1) становится при этом частным случаем теоремы (2). Окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через бесконечно удаленную точку. Вместо теорем (1) и (2) получаем теорему (1 – 2).
Окружность при инверсии переходит в окружность.
Ясно, также, что «инверсией относительно прямой» можно считать осевую симметрию. В дальнейшем это будет строго доказано.
На круговой плоскости инверсия является взаимно однозначным преобразованием. Каждая точка, без исключения, имеет образ, и каждая точка служит образом некоторой точки.
Любые две окружности могут быть отнесены к одному из трех типов: пересекающиеся, непересекающиеся, касающиеся. При этом параллельные прямые – это окружности, касающиеся в бесконечно удаленной точке. Поскольку инверсия является взаимно однозначным преобразованием, то пара окружностей при инверсии переходит в пару окружностей того же типа.
Докажите, что через две данные точки можно провести не более двух окружностей, касающихся данной окружности.
Конформность
Итак, при инверсии окружности переходят в окружности. Определим угол между пересекающимися окружностями, как угол между касательными в точке их пересечения. Окружности, конечно же, пересекаются в двух точках, и углы в этих точках имеют одну и ту же величину. Воспользуемся этим для доказательства того, что углы при инверсии сохраняются. Это свойство инверсии называют конформностью.
Инверсия сохраняет угол между пересекающимися окружностями.
Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые а и b, которые при инверсии переходят в пересекающиеся окружности α и β. Точка пересечения Р переходит в точку Р’, а второй раз окружности α и β пересекаются в центре инверсии О.
Остается заметить, что из доказательства теоремы (1) следует, что касательные к окружностям α и β в точке О параллельны прямым а и b. Отсюда следует, что угол между прямыми а и b равен углу между касательными в точке О и равен углу между их образами α и β, так как угол между этими окружностями в точке О равен углу в точке Р’.
Если рассмотреть теперь две окружности, пересекающиеся в точке Р и провести к ним в этой точке касательные а и b, то образы этих окружностей пересекаются в точке Р’ и касаются в ней соответственно окружностей α и β. Значит угол между образами этих окружностей равен углу между α и β, который в свою очередь равен углу между касательными а и b, то есть углу между исходными окружностями.
Теперь понятно, почему пересекающиеся окружности имеют ровно две серединные окружности. Они делят пополам углы между исходными окружностями.
Можно ли построить три окружности, такие, что каждая из них является серединной окружностью для двух других?
Ортогональные окружности
По основной лемме любые две пары симметричных точек А1, А2 и В1, В2 лежат на одной окружности. Поскольку при инверсии эта четверка точек в целом остается на месте, то окружность α, проходящая через эти точки, также остается на месте, то есть переходит сама в себя.
При инверсии точки окружности ω остаются неподвижными, а точки на окружности α меняются местами, но в целом окружность α остается на месте. Из предыдущей теоремы о сохранении углов, получаем, что в точке пересечения смежные углы между окружностями α и ω равны между собой. Значит, эти углы – прямые.
Окружности α и ω называют, поэтому, ортогональными (т. е. перпендикулярными). В силу очевидной симметрии, имеет место следующее утверждение: если окружность α переходит в себя при инверсии относительно ω, то окружность ω переходит в себя при инверсии относительно α.
Ортогональные окружности легко построить, пользуясь очевидным свойством: касательные в точке пересечения ортогональных окружностей проходят через их центры.
Полезным дополнением к основной лемме является следующая теорема.
Пусть точки А1 и А2 симметричны относительно окружности ω. Тогда любая окружность α, проходящая через эти точки, ортогональна к окружности ω.
Пусть луч с началом в центре инверсии О пересекает окружность α в точках В1 и В2. По известной теореме о секущих окружности ОА1 · ОА2 = ОВ1 · ОВ2.
По определению симметричных точек ОА1 · ОА2 = R 2 , следовательно ОВ1 · ОВ2 = R 2 , то есть точки В1 и В2 также симметричны относительно окружности ω.
Поскольку точки А1, А2 и В1, В2 при инверсии меняются местами то окружность α, проходящая через эти точки, переходит при инверсии сама в себя. Это и значит, что окружности α и ω ортогональны.
Постройте окружность, которая проходит через данную точку и ортогональна к двум данным окружностям.
Рассмотрим теперь окружность α и какие-нибудь две ортогональные к ней окружности, пересекающиеся в точках А1 и А2. Поскольку при инверсии относительно окружности α ортогональные к ней окружности остаются на месте, то при этой инверсии точка А1 переходит в точку А2, то есть точки А1 и А2 симметричны относительно окружности α.
Теперь совершим инверсию относительно любой другой окружности ω. Окружность α перейдет в какую-то окружность β, а две окружности, ортогональные к α, перейдут в две окружности, ортогональные к β, так как инверсия сохраняет углы.
Отсюда следует, что точки А1 и А2, симметричные относительно окружности α перейдут в точки В1 и В2, симметричные относительно ее образа, окружности β.
Окончательно получаем, что при инверсии окружность и две симметричные относительно нее точки переходят в окружность и две симметричные точки.
Заметим еще, что окружность, ортогональная прямой, это окружность, центр которой лежит на данной прямой. Значит, если окружность α при инверсии перейдет в прямую а, то образы точек А1 и А2 будут симметричны относительно этой прямой.
Теперь можно считать строго доказанным, что осевая симметрия есть частный случай инверсии.
Следующая задача устанавливает полезное свойство ортогональных окружностей
Пусть ортогональные окружности пересекаются в точках М и N; АВ – диаметр одной из них. Тогда прямые AM, AN, BM, BN пересекают другую окружность в концах диаметра, перпендикулярного АВ.
воспользуйтесь тем, что касательные к одной из окружностей в точках М и N проходят через центр другой окружности.
Нетрудно также доказать и обратное утверждение.
Пусть высоты АМ и BN треугольника АВС пересекаются в точке D. Тогда окружности, описанные вокруг четырехугольников ABMN и CMDN, ортогональны.
Задача Архимеда
Несмотря на то, что инверсия интересна и сама по себе, она служит удобным, а порой практически незаменимым инструментом для решения задач, где «главным действующим лицом» является окружность. Многие из этих задач могут быть решены и без применения инверсии, но инверсия позволяет доказывать содержательные утверждения быстро и элегантно. Вот несколько примеров:
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Инвариантные окружности инверсии
Ортогональные окружности. Углом между двумя кривыми
(в частности, между двумя окружностями) называется угол между
касательными к этим кривым в их общей точке. Две пересекающиеся
окружности называются ортогональными (друг другу), если касательные к ним в точке пересечения перпендикулярны (рис. 5). Согласносвойству касательной к окружности центр каждой из двух ортогональных окружностей лежит на касательной к другой окружности в точке их пересечения.
Теорема 4. Окружность г, ортогональная к окружности инверсии, отображается этой инверсией на себя (инвариантна при инверсии).
Доказательство. Если М — произвольная точка окружности г и прямая ОМ пересекает окружность г вторично в точке М‘, то по свойству секущих ОМ*ОМ’=ОТ 2 =R 2 , т.е. точки М и М’ взаимно инверсны относительно окружности щ (рис. 5). Следовательно, окружность г отображается на себя.
Теорема 5 (обратная). Если окружность г, отличная от окружности инверсии, отображается инверсией на себя, то она ортогональна окружности инверсии.
Доказательство. Соответственные точки М и М’ окружности г лежат на одном луче с началом О, причем одна из них вне, другая — внутри окружности щ инверсии (рис. 5). Поэтому окружность г пересекает окружность щ. Пусть Т — одна из точек их пересечения. Докажем, что ОТ — касательная к окружности г. Если бы прямая ОТ пересекала г еще в другой точке Т1, то по свойству секущих ОТ * ОТ1=R 2 . Но ОТ=R и поэтому ОТ1= R, т.е. точки Т и Т1 совпадают, прямая ОТ касается г в точке Т, окружности щ и г ортогональны.
Инверсия как симметрия относительно окружности. Инверсия относительно окружности имеет аналогию с осевой симметрией.
Теорема 6. Окружность, содержащая две инверсные точки, инвариантна при данной инверсии (следовательно, ортогональна окружности инверсии).
Доказательство. Если окружность г содержит точки А и А’, соответственные при инверсии относительно окружности щ, то центр О инверсии лежит вне отрезка АА’, т.е. вне окружности г (рис. 6). Пусть М — произвольная точка окружности г и прямая ОМ пересекает г вторично в точке М’. Тогда по свойству секущих ОМ * ОМ’ = OA * OA’ = R 2 .
Поэтому точки М и М’ взаимно инверсны, и окружность г отображается инверсией на себя.
Следствие. Если две пересекающиеся окружности ортогональны к окружности инверсии, то точки их пересечения взаимно инверсны.
Действительно, если А — одна из точек
пересечения окружностей б и в, каждая из которых ортогональна к окружности щ инверсии, то прямая
OA пересекает как окружность б, так и окружность в в образе А’ точки А (рис. 7).
Иначе говоря, образом точки А, не лежащей на окружности инверсии, служит вторая точка пересечения любых двух окружностей, проходящих через точку А и ортогональных к окружности инверсии.
Это свойство может быть положено в основу определения инверсии.
Возьмем теперь вместо окружности щ прямую щ как предельный случай окружности (окружность бесконечно большого радиуса). Центры окружностей б и в, ортогональных прямой щ, лежат на этой прямой. Предыдущее свойство инверсии (второе ее определение) приводит к тому, что точки А и А’ пересечения окружностей б и в симметричны относительно прямой щ (рис. 8).
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать
Окружность и круг — определение и вычисление с примерами решения
Содержание:
Пусть в природе не существовало бы ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность.
Раньше вы знакомились с основными геометрическими фигурами, устанавливали особенности этих фигур и их взаимное расположение. Но на практике довольно часто приходится решать «обратную» задачу — по определенным особенностям находить фигуру, имеющую их. Именно таково содержание задач на построение, которые будут рассматриваться в этом разделе.
Еще в работах древнегреческих математиков описаны задачи на построение и методы их решения.
Многие из этих задач составляют классику евклидовой геометрии. Кроме практической ценности, такие задачи представляют значительный исследовательский интерес, поскольку в ходе их решения определяются новые особенности построенных фигур.
Окружность и круг:
Определение. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром окружности.
Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности (или длина этого отрезка).
Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окружности.
Дугой окружности называется часть окружности, ограниченная двумя точками.
На рисунке 48 точка О — центр, отрезок ОС — радиус окружности. Радиус обозначают буквой R (или
На рисунке 49 изображены: хорда ЕН, дуга КМ (обозначается: ), диаметр АВ. Диаметр состоит из двух радиусов. Поэтому диаметры окружности равны между собой. Диаметр АВ состоит из радиусов OA и ОВ, откуда Диаметр обозначают буквой D (или d). Тогда
Любые две точки окружности разбивают ее на две дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Эти дуги так и называются — дополнительными. Чтобы различать такие дуги, их иногда обозначают тремя буквами. На рисунке 49 дуги АКМ и АНМ — дополнительные.
Определение. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.
Точки окружности также принадлежат кругу (рис. 50). Поэтому центр, радиус, хорда и диаметр у круга те же, что и у его окружности.
Часть круга, заключенная между двумя радиусами, называется сектором. Часть круга, заключенная между дугой окружности и хордой, соединяющей концы дуги, называется сегментом (рис. 51). Два радиуса разбивают круг на два сектора, хорда разбивает круг на два сегмента.
Полуокружностью называется дуга окружности, концы которой являются концами диаметра. Полукругом называется часть круга, ограниченная полуокружностью и диаметром, соединяющим концы полуокружности. На рисунке 49 дуга АКВ — полуокружность, сегмент АКВ — полукруг.
Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. На рисунке 51 — центральный угол.
Окружности (круги) равны, если равны их радиусы.
Две окружности могут не иметь общих точек, могут пересекаться в двух точках или касаться друг друга в одной точке. Окружности разного радиуса с общим центром называются концентрическими. Часть плоскости между двумя концентрическими окружностями называется кольцом (рис. 52).
Видео:Геометрическое место точек (окружность, биссектриса угла и серединный перпендикуляр отрезка)Скачать
Определение окружности и круга
Окружность — это замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра окружности.
Круг — это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью.
Размеры окружности и круга определяются их радиусом — отрезком, который соединяет центр с точкой на окружности (рис. 3).
В математике «окружность» и «круг» — два различных, хотя и связанных между собой, понятия. Окружность, например, является моделью обруча, а круг — моделью крышки люка.
Определение окружности и ее элементов
Пусть на плоскости отмечена точка О. Очевидно, что от точки О можно отложить бесконечное множество отрезков длиной R (рис. 162). Концы всех таких отрезков на плоскости образуют окружность — фигуру, уже известную из курса математики. Определение Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние. Иначе говорят, что все точки окружности равноудалены от ее центра. Определение Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая ее центр. Иначе говоря, круг состоит из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра круга) на расстояние, не превышающее заданного. На рисунке 163 заштрихованная часть плоскости — круг, ограниченный окружностью с тем же центром. Центр окружности и круга является точкой круга, но не является точкой окружности.
Определение Радиусом окружности (круга) называется расстояние от центра окружности до любой ее точки. Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 — радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ).
Радиус — от латинского «радиус» — луч, спица
Хорда — от греческого «хорда» — струна, тетива
Диаметр — от греческого «диа» — насквозь и «метрео» — измеряющий насквозь; другое значение этого слова — поперечник
Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 — радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ).
Определение:
Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметром называется хорда, проходящая через центр окружности.
На рисунке 164 изображены две хорды окружности, одна из которых является ее диаметром. Обычно диаметр обозначают буквой d. Очевидно, что диаметр вдвое больше радиуса, то есть d = 2R.
Построение окружности выполняют с помощью циркуля.
Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать
Что такое окружность и круг
Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудален ных от данной точки. Эту точку называют центром окружности.
Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называют ради усом. Отрезок, соединяющий две против вольные точки окружности, — хорда окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, — диаметр (рис. 200). Каждый диаметр окружности состоит’ из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше длины радиуса. Длина хорды, не проходящей через центр окружности, меньше длины диаметра, (Почему?)
Окружность на бумаге описывают МА и MB — перпендикуляры на ОА и ОВ (см. рис. 216), то (по гипотенузе и острому углу). Поэтом МА = MB, следовательно, точка М равноудалена от сторон данного угла.
Геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.
Здесь имеются в виду углы меньше развернутого.
Верно ли, что геометрическим местом точек, равноудален-ных от сторон угла, является биссектриса этого угла? Нет. Когда в планиметрии говорят о геометрическом месте точек, не уточняя, о каких именно точках идет речь, то имеют в виду точки плоскости, которой принадлежит данная фигура. При таком условии геометрическим местом точек, равноудаленных от ф сторон угла, является объединение биссектрисы I данного угле g и всех точек некоего другого угла, показанного на рисунке 217,
Ведь каждая точка угла КОР также равноудалена от сторон донного угла АО В (речь идет об углах меньше развернутого).
Когда мы говорим, что геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр этого отрезка, то мы имеем в виду, что речь идет о геометрическом месте точек плоскости, на которой лежит отрезок.
А геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов отрезка, является некая плоскость (мал. 218).
Подумайте, как расположена эта плоскость относительно денного отрезка.
Геометрические места точек пространства изучают в старших классах.
Пример №3
Докажите, что серединные перпендикуляры двух сторон треугольника пересекаются.
Решение:
Пусть n и m— серединные перпендикуляры сторон ВС и АВ треугольника (рис. 219). Докажем, что они не могут быть параллельны. Доказывать будем от противного. Допустим, что n || m. Тогда прямая, перпендикулярная к п, должна быть перпендикулярной и к m, то есть . Но по условию А две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. Таким образом, из допущения, что п || т, следует параллельность сторон АВ и ВС треугольника. А этого не может быть. Поэтому прямые ли т не могут быть параллельными. Они пересекаются.
Окружность и треугольник
Окружность и треугольник могут не иметь общих точек или иметь 1, 2, 3, 4, 5, 6 общих точек (соответствующие рисунки выполните самостоятельно). Заслуживаем внимания случаи, когда окружность проходит через все три вершины треугольника или когда она касается всех и сторон треугольника. Рассмотрим такие случаи подробнее.
Описанная окружность
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника (рис. 223).
Теорема: Около каждого треугольника можно описать только одну окружность. Ее центром является точка пересечения серединных перпендикуляров двух сторон треугольника.
Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 224). Найдем точку, равноудаленную от вершин А, В и С.’ Метрическое место точек, равноудаленных от А и В, — серединный перпендикуляр m отрезка АВ; геометрическое место точек, равноудаленна от В и С, — серединный перпендикуляр n отрезка ВС. Эти два серединных перпендикуляра не могут быть параллельными, они пересекаются в точке О. А она равноудалена от Н и С. Следовательно, ОА = ОВ = ОС, поэтому О — центр окружности, описанной около ABC.
Для каждого отрезка АВ существует серединный перпендикуляр, и только один, а для ВС — серединный перпендикуляр и только один. И точка их пересечения существует всегда, только одна. Таким образом, около каждого треугольника можно описать одну окружность, и только одну.
- Серединные перпендикуляры всех трех сторон произвольного треугольника проходят через одну и ту же точку.
- Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и только одну.
Из доказанной теоремы следует cnocof построения окружности, описанной около треугольника. Чтобы описать около треугольника ABC окружность, достаточно:
- построить серединные перпендикуляры двух сторон данного треугольника;
- определить точку О, в которой эти серединные перпендикуляры пересекаются;
- ) из центра О провести окружность радиуса ОА.
Центр окружности, описанной около треугольника, может лежать во внутренней или внешней области данного треугольника либо на его сторон (рис. 225).
Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в треугольник если она касается всех сторон треугольника (рис. 226). Центр окружности, вписанной в треугольник, лежим’ и внутренней области этого треугольник.
Теорема: В каждый треугольник можно вписан только одну окружность. Ее центром является точка пересечения двух биссектрис треугольника.
Доказательство:
Пусть ABC — произвольный треугольник. Определим точи О, равноудаленную от всех его сторон (рис. 227). Геометрическое место точек, лежащих внутри угла А и равноудаленных второй АВ и АС, — биссектриса l угла А. Гtjметрическое место точек, равноудаленных от сторон АВ и ВС и лежащих внутри угла В, — биссектриса t угла B. Эти две биссектрисы обязательно Пересекаются (докажите это!). Точка U, в которой пересекаются биссектрисы l и t, равноудалена от всех трех сторон данного треугольника. Следовательно, точка О — центр окружности, Вписанной в треугольник АВС.
В каждом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
Из доказанной теоремы следует способ построения окружности, вписанной в треугольник. Чтобы вписать в данный треугольник окружность, достаточно:
- провести две его биссектрисы;
- из точки их пересечения О опустить перпендикуляр OL на произвольную сторону треугольника;
- из центра О радиуса OL описать окружность. Она касается каждой стороны треугольника, следовательно, является вписанной в данный треугольник.
Теорема: Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы.
Пусть ABC — произвольный треугольник с прямым углом С, t— серединный перпендикуляр катета АС, пересекающий гипотенузу АВ в точке О (рис. 228).
Поскольку точка О лежит на серединном перпендикуляре отрезка АС, то .
точка О—середина гипотенузы АВ, равноудаленная от всех вершин треугольника. Таким образом, окружность с центром О и радиусом ОА проходит через все вершины данного треугольника.
Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе.
Теорема: Из любой точки окружности ее Диаметр, не выходящий из этой точки, виден под прямым углом.
Доказательство:
Пусть АВ — произвольный диаметр окружности с центром О, а С— произвольная точка окружности, отличная от А и В (рис. 229). Покажем, чтоПоскольку
Геометрическим местом точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, является окружность диаметра АВ. На самом деле этому ГМТ точки А и В не принадлежат. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах.
Пример №4
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой 6 см.
Решение:
Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является его гипотенузой. Радиус вдвое меньше: 3 см.
Пример №5
Докажите, что диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и Ь и гипотенузой с, равен a + b — c.
Решение:
Пусть в угол С прямой, а К, Р, Т — точки касания вписанной в треугольник окружности (рис. 230). Поскольку АР =АТ и ВК = ВТ, то АС + ВС — АВ = PC + СК = 2r, или 2r = a + b- с.
Геометрические построения
Пользуясь линейкой’ и циркулем, моле но выполнить много геометрических построений, то есть начертить геометрические фигуры. Рассмотрим сначала, как выполняются самые простые геометрические построения.
Пример №6
Постройте треугольник по данным сторонам.
Решение:
Пусть даны три отрезки а, b и с (рис. 232). Нужно построить, треугольник, стороны которого были бы равны этим отрезкам. С помощью линейки проводим произвольную прямую, обозначаем на ней произвольную точку В и циркулем откладываем на этой прямой отрезок ВС = а. Раствором циркуля, равным с описываем дугу окружности с центром В. С той же стороны от прямой СВ описываем дугу окружности радиуса b с центром С. Точку пересечения А этих дуг соединяем отрезками с С и В. Треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить, так как его стороны ВС, АС и АВ равны данным отрезкам.
Если построенные дуги не пересекаются, требуемый треугольник построить невозможно. Это бывшие в том случае, когда один из данных отрезков больше суммы двух других или равен их сумме.
Пример №7
Постройте угол, равный данному углу.
Решение:
Пусть дан угол АОВ и требуется построить угол КРТ, равный (рис. 233). Проводим луч РТ и дуг* равных радиусов с центрами О и Р. Пусть одна из этих д пересекает стороны угла АОВ в точках А и В, а другая луч РТ в точке Т. Дальше раствором циркуля, равным А/ описываем третью дугу с центром Т. Если она пересекает другую дугу в точке К, проводим луч РК. Угол КРТ — то 1 Будем считать, что линейка без делений.
который требовалось построить. Ведь треугольники КРТ и АОВ равны (по трем сторонам), поэтому
Пример №8
Постройте биссектрису данного угла.
Решение:
Пусть АОВ — данный угол (рис. 234). Произвольным раствором циркуля опишем дугу с центром О. Пусть А и В — точки пересечения этой дуги с лучами О А и ОВ. Из центров А и В опишем дуги такими же радиусами. Если D — точка пересечения этих дуг, то луч OD — биссектриса угла АОВ.
Действительно, (по трем сторонам). Поэтому
Пример №9
Разделите данный отрезок пополам.
Решение:
Пусть АВ — данный отрезок (рис. 235). Из точек А и В радиусом АВ описываем дуги. Они пересекутся в неких точках С и D.
Прямая CD точкой М разделит данный отрезок пополам.
Действительно, по трем сторонам , поэтому По первому признаку равенства треугольников . Итак, AM = ВМ.
Пример №10
Через данную точку Р проведите прямую, перпендикулярную и данной прямой а.
Решение:
В зависимости от того, лежит или не лежит точка Р на прямой а, задачу можно решить, как показа но на рисунках 236 и 237. Опишите и аргументируйте эти построения самостоятельно.
Пример №11
Через точку Р, не лежащую на прямой АВ, проведите прямую, параллельную прямой АВ.
Решение:
Через точку Р и про из вольную точку А прямой АВ проводим прямую АТ (рис. 238). Строим угол ТРМ, равный углу РАВ, так, что бы эти углы стали соответственны ми при прямых РК, АВ и секущей АР. Построенная таким образом пря мая РК удовлетворяет задачу: она проходит через данную точку Р и параллельна прямой АВ, поскольку
Геометрическими построениями часто приходилось заниматься многим людям. Еще в доисторические времена мастера, изготавливающие колеса к колесницам, умели делить окружность на несколько равных частей. В наше время выполнять такие построения приходится специалистам, проектирующим или изготавливающим шестеренки, дисковые пилы (рис. 239), турбины и различные роторные механизмы. Как бы вы разделили окружность, например, на 5, 6 или 7 равных частей?
Основные чертежные инструменты — линейка и циркуль — были известны еще несколько тысячелетий назад.
Слово линейка происходит от слова линия, которое на латинском языке сначала означало «льняная нитка», «черта, проведенная ниткой, бечевкой» (производное от лат. Плит — лен). Слово циркуль тоже латинского происхождения, первоначально слово циркулюс означало «окружность, круг», а потом стало означать инструмент, с помощью которого проводят окружности.
В Древней Греции линейку и циркуль признавали единственными приборами геометрических построений. Задачу на построение считали решенной, если все построения в ней выполнялись только с помощью линейки и циркуля. Сейчас специалисты при выполнении построений пользуются угольником, транспортиром, рейсмусом, рейсшиной и другими чертежными приспособлениями.
Пример №12
Разделите данную дугу окружности на две равные части.
Решение:
Пусть дана дуга АВ окружности с центром О (рис. 240). Представим угол АОВ и проведем его биссектрису ОК. Треугольники АОК и КОВ равны, поэтому и дуги АК и КВ равны.
Пример №13
Постройте угол вдвое больше данною.
Решение:
Пусть АОВ — данный угол (рис. 241) Опишем дугу окружности с центром О Если она пересечет стороны данного угла в точках А и В, из В как из центра сделаем засечку ВС = ВА и проведем луч ОС. Угол АОС вдвое больше
Задачи на построение
С геометрическими построениями имеют дело различные специалисты. Геометрические построении выполняют чертежники, архитекторы, конструкторы, топографы, геодезисты, штурманы. Разные геометрические фигуры строят также: слесарь — на жести, столяр — на доске, портной— на ткани, садовник — на земле.
В задаче на построение требуется построить геометрическую фигуру, которая должна удовлетворять определенные условия. В геометрии построения выполняют чаще всего с помощь к линейки и циркуля. Условимся: если в задаче не сказано, какими инструментами следует выполнить построение, то имеются в виду только линейка (без делений) и циркуль.
Более сложные задачи на построение часто решают методом геометрических мест. Пусть, например, в задаче требуете!’ найти точку X, удовлетворяющую два условия. Если первое условие удовлетворяют точки фигуры К, а второе — точки фигуры Р, то X должна принадлежать каждой из этих фигур. Тс есть X — точка пересечения фигур К и Р.
Пример №14
Постройте прямоугольный треугольник по да» ному катету а и гипотенузе с (рис. 243).
Решение:
Строим прямой угол АСВ, на его стороне откладываем отрезок СВ = а. Точки С и В — две вершины треугольника, который требуется построить. Третья верши» должна лежать, во-первых, на луче СА, во-вторых, на pfti стоянии с от В, то есть на окружности радиуса с с центр В. Если эту окружность пересекает луч СА в точке А, 1 треугольник ABC — именно тот, который требовалось не строить. Ведь его угол С прямой, ВС = а, ВА = с.
Второй способ (рис. 244). Откладываем отрезок АВ = с и проводим окружность диаметра АВ — ГМТ, из которых АВ виден под прямым углом. Дальше строим полуокружность радиуса а с центром В — ГМТ, удаленных от В на расстояние а и лежащих по одну сторону от прямой АВ. Если два ГМТ пересекаются в точке С, то треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить.
Составные части решения задачи на построение — анализ, построение, доказательство и исследование. В анализе ищут способ решения задачи, в построении выполняется само построение, в доказательстве обосновывается правильность выполненного построения, в исследовании выясняется, сколько решений имеет задача.
Пример №15
Постройте треугольник по данной стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон (рис. 245).
Решение:
Анализ. Допустим, что требуемый треугольник ABC построен. Его сторона с и угол А = а — даны. Дан также отрезок, равный сумме сторон а и b. По данным отрезкам с и а + b и углу А между ними можно построить A ABD. Вершиной С искомого треугольника будет такая точка отрезка AD, для которой CD = СВ. Следовательно, точка С должна лежать и на серединном перпендикуляре отрезка BD.
Построение. По двум данным отрезкам и углу между ними строим , после чего проводим серединный перпендикуляр I отрезка BD. Пусть прямая I пересекает отрезок АВ в точке С. Проводим отрезок СВ. Треугольник ABC — такой, который требовалось построить.
Доказательство:
В треугольнике по построению. АС + СВ — АС + CD — а + b. Следовательно, удовлетворяет все условия задачи.
Исследование. Задача имеет решение только при условии, что а + b > с.
Если задача несложная и способ ее решения известен, анализ можно не описывать. А в решении не обязательно выделять анализ, построение, доказательство и исследование.
В математике чаще всего имеют дело с задачами: на вычисление, на доказательство, на построение, на преобразование и на исследование. Геометрическими задачами на построение активно интересовались античные геометры. Допуская лишь классические построения (выполняемые только линейкой и циркулем), они исследовали, какие из построений можно вы-полнить, а какие невозможно. В частности, выясняли:
- можно ли любой угол разделить на три равные части;
- можно ли построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга;
- можно ли построить ребро такого куба, объем которого был бы в 2 раза больше объема данного куба.
Много столетий выдающиеся геометры пытались решить эти задачи и не смогли. Эти три классические задачи древности получили специальные названия:
- трисекция угла,
- 2квадратура круга,
- удвоение куба.
Последнюю задачу называют еще делосской задачей, связывая ее с древнегреческой легендой. согласно которой оракул бога Аполлона согласился спасти жителей острова Делос от чумы, если кубический жертовник в делосском храме заменят на жертовник такой же формы, но вдвое большего объема. Только почти через 2000 лет ученые убедились, что ни одну из этих трех задач с помощью лишь линейки и циркуля решить невозможно.
В настоящее время специалисты, которым приходится выполнять геометрические построения, пользуются не только линейкой и циркулем. С точки зрения классических методов такие построения приближенные. Но для практических нужд точности, которую обеспечивают приближенные методы, вполне достаточно
Пример №16
Найдите центр данной окружности.
Решение:
Обозначим на данной окружности три производные точки А, В и С (рис. 246).
Представим хорды АВ, ВС и проведем их серединные перпендикуляры n и m. Точка О, в которой пересекаются прямые n и m., — центр данной окружности. Ведь ОА = ОВ = ОС.
Пример №17
Через данную точку проведите касательную к данной окружности.
Решение:
Если данная точка А лежит на окружности центра О (рис. 247, а), проводим луч ОА, потом — прямую АК, перпендикулярную к ОА. Прямая АК — касательная, которую и требовалось построить.
Если точка А лежит вне данной окружности центра О (рис. 247, б), то на диаметре ОА описываем окружность. Она пересечется с данной окружностью в двух точках К и Р. Прямые АК и АР — искомые касательные, поскольку (Из точек К и Р вспомогательной окружности ее диаметр ОМ виден под прямыми углами АКО и АРО.) В этом случае задача имеет два решения.
Свойство диаметра, перпендикулярного хорде
Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину. Докажите.
Решение
Пусть СО — диаметр окружности с центром О, АВ — хорда этой окружности, Докажем, что М — точка пересечения отрезков АВ и СD— середина отрезка АВ.
В случае, когда хорда АВ сама является диаметром, точка М совпадает с центром О и утверждение задачи очевидно. Пусть хорда АВ не является диаметром (рис. 165). Проведем радиусы OA и ОВ. Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОМ является медианой. Итак, AM = ВМ, что и требовалось доказать.
Докажите самостоятельно еще одно утверждение (опорное): диаметр окружности, проведенной через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.
Касательная к окружности
Определение и свойство касательной
Любая прямая, проходящая через точки окружности, называется секущей; ее отрезок, лежащий внутри окружности, является хордой. На рисунке 167 хорда CD — отрезок секущей b . Рассмотрим теперь прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.
Определение:
Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Общая точка касательной и окружности называется точкой касания.
На рисунке 167 прямая а является касательной к окружности с центром О. Иначе говоря, прямая а касается окружности с центром О в точке А .
Определим взаимное расположение касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания.
Теорема (свойство касательной)
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Доказательство:
Пусть прямая а касается окружности с центром О в точке А (рис. 168). Докажем, что Применим метод доказательства от противного.
Пусть отрезок OA не является перпендикуляром к прямой а. Тогда, по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из точки О можно провести перпендикуляр ОB к прямой а . На луче АВ от точки В отложим отрезок ВС, равный АВ , и соединим точки О и С . Поскольку по построению отрезок ОВ — медиана и высота треугольника АОС, то этот треугольник равнобедренный с основанием АС, то есть OA = ОС . Таким образом, расстояние между точками О и С равно радиусу окружности, и, по определению радиуса, точка С должна лежать на данной окружности. Но это противоречит определению касательной, поскольку А — единственная общая точка окружности с прямой а. Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, то есть OA . Теорема доказана.
Признак касательной
Докажем теорему, обратную предыдущей.
Теорема: (признак касательной)
Если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности.
Доказательство:
Пусть прямая а проходит через точку А, лежащую на окружности с центром О, причем . Докажем, что а — касательная к окружности. Согласно определению касательной, нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой а единственную общую точку. Применим метод доказательства от противного.
Пусть прямая а имеет с окружностью общую точку В , отличную от А (рис. 169). Тогда из определения окружности ОА = ОВ как радиусы, то есть треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. По свойству углов равнобедренного треугольника , что противоречит теореме о сумме углов треугольника.
Следовательно, точка А — единственная общая точка окружности и прямой а, значит, прямая а — касательная к окружности.
Свойство отрезков касательных
Пусть даны окружность с центром О и точка А, не принадлежащая кругу, ограниченному данной окружностью (рис. 170).
Через точку А можно провести две касательные к данной окружности. Отрезки, соединяющие данную точку А с точками касания, называют отрезками касательных, проведенных из точки А к данной окружности. На рисунке 170 АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности из точки А .
Опорная задача
Отрезки касательных, проведенных из данной точки к окружности, равны. Докажите.
Решение
Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О из точки А (рис. 170). Рассмотрим треугольники АОВ и АОС. По свойству касательной то есть эти треугольники являются прямоугольными с общей гипотенузой АО и равными катетами ОВ = ОС как радиусы окружности). Следовательно, по гипотенузе и катету, откуда АВ = АС.
Касание двух окружностей
Определение:
Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.
Общая точка двух окружностей в таком случае называется точкой касания окружностей.
Различают два вида касания окружностей: внутреннее и внешнее.
Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, а);
Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, б).
Рис. 171 Касание двух окружностей. 1. внутреннее; 2. внешнее.
По свойству касательной радиусы данных окружностей, проведенные в точку касания, перпендикулярны общей касательной. Из теоремы о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной, следует, что центры касающихся окружностей и точка касания окружнос тей лежат на одной прямой.
Касающиеся окружности имеют единствен ную общую точку — точку касания.
Если данные окружности имеют радиусы R и r (R > r), то расстояние между центрами окружностей равно R-r в случае внутреннего касания и R+r в случае внешнего касания.
Задачи на построение
Что такое задачи на построение?
Задачи на построение представляют собой отдельный класс геометрических задач, решение которых подчиняется определенным правилам. Цель решения этих задач — построение геометрических фигур с заданными свойствами с помощью чертежных инструментов. Если в условии задачи нет специальных примечаний, то имеются в виду построения с помощью циркуля и линейки. С помощью линейки можно провести:
- произвольную прямую;
- прямую, проходящую через данную точку;
- прямую, проходящую через две данные точки.
Заметим, что никаких других построений линейкой выполнять нельзя. В частности, с помощью линейки нельзя откладывать отрезки заданной длины.
Циркуль — от латинского «циркулус» — окружность, круг.
С помощью циркуля можно:
- провести окружность (часть окружности) произвольного или заданного радиуса с произвольным или заданным центром;
- отложить от начала данного луча отрезок заданной длины.
Кроме того, можно отмечать на плоскости точки и находить точки пересечения прямых и окружностей.
Все перечисленные операции называют элементарными построениями, а решить задачу на построение — это значит найти последовательность элементарных построений, после выполнения которых искомая фигура считается построенной, и доказать, что именно эта фигура удовлетворяет условию задачи.
Итак, решение задач на построение заключается не столько в самом построении фигуры, сколько в нахождении способа построения и доказательстве того, что полученная фигура искомая.
Основные задачи на построение
Если каждый шаг построений описывать полностью, решение некоторых задач может оказаться довольно громоздким. С целью упрощения работы выделяют несколько важнейших задач, которые считаются основными и не детализируются каждый раз при решении более сложных задач.
Построение треугольника с данными сторонами | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Построение биссектрисы угла | |
Пусть дан неразвернутый угол с вершиной А . Построим его биссектрису. | |
С помощью циркуля построим окружность произвольного радиуса с центром А . Пусть В к С — точки пересечения этой окружности со сторонами данного угла. | |
Построим окружности того же радиуса с центрами В и С . Пусть D — точка пересечения этих окружностей. | |
Проведем луч AD. По построению (по третьему признаку). Отсюда , то есть AD — биссектриса данного угла А . |
Построение перпендикулярной прямой | |
Пусть даны прямая а и точка О . Построим прямую, проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а . Рассмотрим два случая | |
Точка O лежит на прямой а | |
Построим окружности радиуса АВ с центрами А и В. Пусть С — одна из точек их пересечения. Проведем прямую через точки С и О. | |
По построению отрезок СО — медиана равностороннего треугольника ABC , которая является также его высотой. Итак, , то есть прямая СО — искомая. | |
Точка O не лежит на прямой а | |
Построим окружность с центром О , которая пересекает прямую O, в точках А и В . | |
Построими окружности того же радиуса с центрами A и В . Пусть Ol — точка пересечения этих окружностей, причем точки О и Ol лежат по разные стороны от прямой а . | |
Проведем прямую . Пусть С — точка пересечения прямых и а . По построению (по третьему признаку). Отсюда . Тогда ОС — биссектриса равнобедренного треугольника АОВ , проведенная к основанию. Она также является медианой и высотой треугольника. Следовательно, а , то есть прямая — искомая. |
Отметим, что построенная прямая перпендикулярна отрезку АВ и проходит через его середину. Такую прямую называют серединным перпендикуляром к отрезку.
Пользуясь описанными построениями, несложно решить задачи на построение середины данного отрезка и на построение прямой, параллельной данной.
Для построения середины отрезка АВ достаточно провести две окружности радиуса АВ с центрами в точках А к В (рис. 172). Обозначив точки пересечения этих окружностей через и можно определить середину отрезка AB как точку пересечения прямых АВ и , после чего провести доказательство, аналогичное доказательству предыдущей задачи.
Для построения прямой, проходящей через данную точку О параллельно данной прямой а, достаточно провести через точку О прямую b , перпендикулярную а, и прямую с, перпендикулярную b (рис. 173). Тогда а || с по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей.
Таким образом, основными задачами на построение будем считать следующие:
- построение треугольника с данными сторонами;
- построение угла, равного данному неразвернутому углу;
- построение биссектрисы данного неразвернутого угла;
- построение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой;
- построение серединного перпендикуляра к данному отрезку;
- построение середины данного отрезка;
- построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.
Если эти задачи применяются как вспомогательные при решение более сложных задач, соответствующие построения можно подробно не описывать.
Решение задач на построение
Решение задач на построение состоит из четырех основных этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.
Общая схема решения задач на построение | ||
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Описанные и вписанные окружности
- Плоские и пространственные фигуры
- Взаимное расположение точек и прямых
- Сравнение и измерение отрезков и углов
- Решение треугольников
- Треугольники и окружность
- Площадь треугольника
- Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
🎦 Видео
"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружностиСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать
РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать
Три точки, задающие окружностьСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Урок по теме ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 8 классСкачать
Построение окружности по трём точкам.Скачать
#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать
Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Серединный перпендикуляр как ГМТ. Описанная окружность"Скачать
КАК ПРОВЕСТИ СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР? #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #перпендикулярСкачать