Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;

2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) — оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Параллельность прямых

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Признаки параллельности прямых

При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой

РисунокОпределение углов
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетВнутренние накрест лежащие углы
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетВнешние накрест лежащие углы
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетСоответственные углы
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетВнутренние односторонние углы
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетВнешние односторонние углы
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Внутренние накрест лежащие углы
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Внешние накрест лежащие углы
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Соответственные углы
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Внутренние односторонние углы
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Внешние односторонние углы
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.

Определение . Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Замечание . Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Видео:Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Признаки параллельности двух прямых

РисунокПризнак параллельности
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

РисунокПризнак параллельности
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетДве прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Переход свойства параллельности прямых

РисунокПризнак параллельности
Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нетЕсли прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Две прямые параллельны если односторонние углы равны верно или нет

Задача . Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.

Решение . Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.

🎬 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Диагностическая работа в формате ОГЭ. Задача-13Скачать

Диагностическая работа в формате ОГЭ. Задача-13

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать

УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 класс

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 классСкачать

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 класс

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ 7 класс геометрия АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ 7 класс геометрия Атанасян

№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать

№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°

Признаки параллельности прямых. Геометрия. 7 КлассСкачать

Признаки параллельности прямых. Геометрия. 7 Класс

Признаки параллельности прямых. Видеоурок по геометрии 7 классСкачать

Признаки параллельности прямых. Видеоурок по геометрии 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: