Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Запомнить соотношения, связывающие пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, помогает цветовая ассоциация.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Свойства прямоугольного треугольника:

1. Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

2. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Например, в треугольнике ABC AF — высота, проведенная к гипотенузе BC, BF — проекция катета AB на гипотенузу, FC — проекция катета AC на гипотенузу.

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

Если выделить каждую пару — катет и его проекция на гипотенузу — одним цветом, запомнить пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике можно быстро и легко.

Как бы ни был расположен на чертеже прямоугольный треугольник, цветовая ассоциация поможет найти пропорциональные отрезки и правильно составить связывающие их соотношения:

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

Выделить пропорциональные отрезки цветами можно на черновике. При решении задачи, в которой прямоугольный треугольник — только один из элементов чертежа, достаточно для нахождения связи между пропорциональными отрезками на черновике изобразить отдельный фрагмент с этим треугольником.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Разделы: Математика

Цели урока:

  1. ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков;
  2. рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла;
  3. формировать у учащихся навыки использования изученной темы в процессе решения задач.

Тип урока: урок изучения нового материала.

План:

  1. Оргмомент.
  2. Актуализация знаний.
  3. Изучение свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла:
    – подготовительный этап;
    – введение;
    – усвоение.
  4. Введение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
  5. Усвоение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
  6. Доказательство следствий:
    – высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;
    – катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
  7. Решение задач.
  8. Подведение итогов.
  9. Постановка домашнего задания.

Видео:Среднее пропорциональное!? А что это!?Скачать

Среднее пропорциональное!? А что это!?

Ход урока

I. ОРГМОМЕНТ

– Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Все готовы к уроку?

II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

– С каким важным математическим понятием вы познакомились на предыдущих уроках? (с понятием подобия треугольников)

– Давайте вспомним, какие два треугольника называются подобными? (два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника)

– Чем мы пользуемся при доказательстве подобия двух треугольников? (признаки подобия треугольников)

– Сформулируйте эти признаки (формулируют три признака подобия треугольников)

III. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВА ВЫСОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА

а) подготовительный этап

– Ребята, посмотрите пожалуйста на первый слайд. (Приложение) Здесь изображены два прямоугольных треугольника – Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноеи Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное. Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноеи Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное– высоты Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноеи Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноесоответственно. Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное.

Задание 1. а) Определите, подобны ли Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноеи Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное.

– Что мы используем при доказательстве подобия треугольников? (признаки подобия треугольников)

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (Две пары: 1. ∟В= ∟В1 (прямые),2. ∟A= ∟A1)

– Сделайте вывод.(по первому признаку подобия треугольников Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное)

Задание 1. б) Определите, подобны ли Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноеи Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное.

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары (т.к. треугольники прямоугольные, то достаточно одной пары равных углов: ∟A= ∟A1)

– Сделайте вывод. (по первому признаку подобия треугольников заключаем, что данные треугольники подобны).

В результате беседы слайд 1 выглядит так:

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

б) открытие теоремы

Задание 2.

– Определите, подобны ли Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноеи Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное, Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноеи Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное. В результате беседы выстраиваются ответы, которые отражены на слайде.

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

– На рисунке было указано, что Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное. Использовали ли мы эту градусную меру при ответах на вопросы заданий? (Нет, не использовали)

– Ребята, сделайте вывод: на какие треугольники разделяет прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла? (делают вывод)

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

– Возникает вопрос: а будут ли эти два прямоугольных треугольника, на которые высота разбивает прямоугольный треугольник, подобны между собой? Давайте попробуем найти пары равных углов.

В результате беседы выстраивается запись:

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

– А теперь давайте сделаем полный вывод.(ВЫВОД: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Т.о. мы с вами сформулировали и доказали теорему о свойстве высоты прямоугольного треугольника.

Установим структуру теоремы и сделаем чертеж. Что в теореме дано и что нужно доказать? Учащиеся записывают в тетрадь:

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

– Докажем первый пункт теоремы для нового рисунка. Какой признак подобия будем использовать и почему? (Первый, т.к. в теореме ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (В данном случае достаточно одной пары: ∟A-общий)

– Сделайте вывод. Треугольники подобны. В результате показывается образец оформления теоремы

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

– Второй и третий пункты распишите дома самостоятельно.

в) усвоение теоремы

– Итак, сформулируйте еще раз теорему (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Сколько пар подобных треугольников в конструкции «в прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла» позволяет найти эта теорема? (Три пары)

Ученикам предлагается следующее задание:

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

IV. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

– А теперь мы изучим с вами новое понятие.

Определение. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) между отрезками AB и CD, если Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

(записывают в тетрадь).

V. УСВОЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

– Теперь обратимся к следующему слайду.

Задание 1. Найдите длину среднего пропорционального отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 16 см.

– Что дано в задаче? (Два отрезка и их длины: MN = 9 см, KP = 16 см)

– Что нужно найти? (Длину среднего пропорционального этих отрезков)

– Какой формулой выражается среднее пропорциональное и как мы его найдем?

(Подставляем данные в формулу и находим длину ср.проп.)Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

Задание №2. Найдите длину отрезка AB, если среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см и CD = 100 см

– Что дано в задаче? (длина отрезка CD = 100 см и среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см)

– Что нужно найти в задаче? (Длину отрезка AB)

– Как будем решать задачу? (Запишем формулу среднего пропорционального отрезков AB и СD, выразим из нее длину AB и подставим данные задачи.)

VI. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ

– Молодцы, ребята. А теперь давайте вернемся к подобию треугольников, доказанному нами в теореме. Сформулируйте еще раз теорему. (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Давайте вначале будем использовать подобие треугольников Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноеи Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное. Что из этого следует? (По определению подобия стороны Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноепропорциональны сходственным сторонам Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное)

– Какое равенство получится при использовании основного свойства пропорции? (Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное)

– Выразите СD и сделайте вывод (Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное;Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное.

Вывод: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)

– А теперь докажите самостоятельно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Доказывают самостоятельно, потом проверяем на слайде

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

VII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9», № 571(б)

– Прочитайте задачу. Что в задаче дано? (Дан прямоугольный Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное)

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

– Что в задаче нужно найти? (Найти Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное)

– Чем будет являться Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноепо отношению к Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноеи Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное? (Это среднее пропорциональное по следствию из доказанной теоремы)

– Как найти Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное? (Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное)

– Как теперь найти Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное? (Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноенайдем из Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноепо теореме Пифагора: Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное)

– Как найдем Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное? ( Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноенайдем из Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноепо теореме Пифагора: Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное)

– Запишите ответ. (Ответ: Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное)

VIII. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

– Подведем итог урока. С каким свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, мы сегодня познакомились? (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Какое новое математическое понятие изучили? (Понятие среднего пропорционального двух отрезков.)

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное м/у…(-… отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между…(-…гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой)

– Где мы применяем изученные утверждения? (При решении задач)

IX. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

д/з: №571, №572 (а,д), самостоятельная работа в тетради, теория.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№19 - Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№19 - Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.)

Проекции катетов на гипотенузу

Так как высота, проведенная к гипотенузе, представляет собой проведенный к ней перпендикуляр, то катеты — это наклонные, а отрезки гипотенузы, на которые делит ее высота — проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника.

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональноеВ треугольнике ABC, изображенном на рисунке, AD — проекция катета AC на гипотенузу AB, BD — проекция катета BC на гипотенузу.

Катеты, их проекции на гипотенузу, гипотенуза и высота прямоугольного треугольника связаны между собой формулами.

1) Свойство высоты, проведенной к гипотенузе.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу.

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

Высота прямоугольного треугольника среднее пропорциональное

2) Свойства катетов прямоугольного треугольника.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

💡 Видео

Вариант 52, № 2. Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольникеСкачать

Вариант 52, № 2. Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

пропорциональные отрезки в ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ 8 классСкачать

пропорциональные отрезки в ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ 8 класс

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Видеоурок 14. Геометрия 8 классСкачать

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Видеоурок 14. Геометрия 8 класс

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Геометрия.Прямоугольный треугольник. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

Геометрия.Прямоугольный треугольник. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Тема 6. Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольникеСкачать

Тема 6. Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.Скачать

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.

Подобие прямоугольных треугольников. Среднее геометрическое (пропорциональное). Геометрия 8-9 классСкачать

Подобие прямоугольных треугольников. Среднее геометрическое (пропорциональное). Геометрия 8-9 класс

№576. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делитСкачать

№576. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном ТреугольникеСкачать

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном Треугольнике

Пропорциональные отрезки в прям. треугольнике ✧ Запомнить за 1 мин!Скачать

Пропорциональные отрезки в прям. треугольнике ✧ Запомнить за 1 мин!

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.Скачать

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
Поделиться или сохранить к себе: